第一節(jié)圓的基本性質考點1圓周角定理及其推論1.xx山東聊城如圖,O中,弦BC與半徑OA相交于點D,連接AB,OC.若A=60,ADC=85,則C的度數(shù)是()A.25B.27.5C.30D.35(第1題)(第2題)2.xx陜西如圖,ABC是O的內接三角形,AB=AC,BCA=65,作CDAB,并與O相交于點D,連接BD,則DBC的大小為()A.15B.35C.25D.453.xx廣東廣州如圖,在O中,AB是直徑,CD是弦,ABCD,垂足為點E,連接CO,AD,BAD=20,則下列說法中正確的是()A.AD=2OBB.CE=EOC.OCE=40D.BOC=2BAD4.(9分)xx湖北宜昌中考改編如圖,在ABC中,AB=AC. 以AB為直徑的半圓交AC于點D,交BC于點E.延長AE至點F,使EF=AE,連接FB,FC.(1)求證:四邊形ABFC是菱形;(2)若AD=7,BE=2,求cosBAD的值.考點2圓內接四邊形的性質5.xx江蘇蘇州如圖,AB是半圓的直徑,O為圓心,C是半圓上的點,D是AC上的點,若BOC=40,則D的度數(shù)為()A.100B.110C.120D.130(第5題)(第6題)6.xx湖北黃石如圖,已知O為四邊形ABCD的外接圓,O為圓心,若BCD=120,AB=AD=2,則O的半徑長為()A.322B.62C.32D.233 7.xx江蘇揚州如圖,已知O的半徑為2,ABC內接于O,ACB=135,則AB=.(第7題)(第8題)8.xx湖南永州如圖,四邊形ABCD是O的內接四邊形,點D是AC的中點,點E是BC上的一點,若CED=40,則ADC=.9.(9分)xx江蘇無錫如圖,四邊形ABCD內接于O,AB=17,CD=10,A=90,cos B=35,求AD的長.1.xx平頂山一模如圖,已知AB是O的直徑,BC是弦,ABC=40,過圓心O作ODBC交弧BC于點D,連接DC,則DCB為()A.20B.25C.30D.352.xx南陽地區(qū)模擬如圖,在O中,AOB的度數(shù)為160,C是優(yōu)弧AB上一點,D,E是AB上不同的兩點(不與點A,B重合),則D+E的度數(shù)為()A.160B.140C.100D.80(第2題)(第3題)3.xx南陽地區(qū)模擬如圖,四邊形ABCD內接于O,F是CD上一點,且DF=BC,連接CF并延長交AD的延長線于點E,連接AC,若ABC=105,BAC=25,則E的度數(shù)為()A.45B.50C.55D.604.xx浙江金華一模如圖,AB是半圓O的直徑,點C在半圓O上,把半圓沿弦AC折疊,AC恰好經過點O,則BC與AC的關系是()A.BC=12ACB.BC=13ACC.BC=ACD.不能確定(第4題)(第5題)5.xx洛陽三模如圖,以ABC的邊BC為直徑的O交AB,AC于點D,E,連接OD,OE,若DOE=40,則A的度數(shù)為.6.(9分)xx合肥瑤海區(qū)一模如圖,在半徑為4的O中,AB,CD是兩條直徑,M為OB的中點,CM的延長線交O于點E,且EM>MC.連接DE,DE=15.(1)求證:AMMB=EMMC;(2)求EM的長.7.(9分)xx焦作一模如圖,在ABC中,以AB為直徑的O交AC,BC于點D,E.連接ED,若ED=EC.(1)求證:AB=AC;(2)填空:若AB=6,CD=4,則BC=;連接OD,當A=時,四邊形ODEB是菱形.8.(9分)xx三門峽二模改編如圖,在ABC中,AB=102,BAC=60,B=45,點D是BC邊上一動點,連接AD,以AD為直徑作O,O交邊AB,AC于點E,F,連接OE,OF,DE,DF,EF.(1)求EFOE的值;(2)當BAD=時,四邊形OEDF正好是菱形,請說明理由;(3)點D運動過程中,線段EF的最小值為(直接寫出結果).第二節(jié)與圓有關的位置關系考點1點與圓的位置關系1.xx山東棗莊如圖,在網格(每個小正方形的邊長均為1)中選取9個格點(格線的交點稱為格點),若以A為圓心,r為半徑畫圓,選取的格點中除點A外恰好有3個在圓內,則r的取值范圍為()A.22<r<17B.17<r<32C.17<r<5D.5<r<292.xx山東泰安如圖,M的半徑為2,圓心M的坐標為(3,4),點P是M上的任意一點,PAPB,且PA,PB與x軸分別交于A,B兩點,若點A,B關于原點O對稱,則AB的最小值為()A.3B.4C.6D.8(第2題)(第3題)3.xx安徽中考改編如圖,RtABC中,ABBC,AB=6,BC=4,P是ABC內部的一個動點,且滿足PAB=PBC,則線段CP長的最小值為.考點2直線與圓的位置關系4.xx湖南湘西州中考改編已知O的半徑為5 cm,圓心O到直線l的距離為6 cm,則直線l與O的位置關系為()A.相交B.相切C.相離D.無法確定5.xx黑龍江大慶已知直線y=kx(k0)經過點(12,-5),將直線向上平移m(m>0)個單位,若平移后得到的直線與半徑為6的O相交(點O為坐標原點),則m的取值范圍為.6.(9分)xx湖北仙桃如圖,在O中,AB為直徑,AC為弦.過BC延長線上一點G,作GDAO于點D,交AC于點E,交O于點F,M是GE的中點,連接CF,CM.(1)判斷CM與O的位置關系,并說明理由;(2)若ECF=2A,CM=6,CF=4,求MF的長.考點3切線的性質7.xx黑龍江哈爾濱如圖,點P為O外一點,PA為O的切線,A為切點,PO交O于點B,P=30,OB=3,則線段BP的長為()A.3B.33C.6D.9(第7題)(第8題)8.xx山東泰安如圖,圓內接四邊形ABCD的邊AB過圓心O,過點C的切線與邊AD所在直線垂直于點M,若ABC=55,則ACD等于()A.20B.35C.40D.559.xx江蘇連云港如圖,AB是O的弦,點C在過點B的切線上,且OCOA,OC交AB于點P,已知OAB=22,則OCB=.(第9題)(第10題)10.xx浙江寧波如圖,正方形ABCD的邊長為8,M是AB的中點,P是BC邊上的動點,連接PM,以點P為圓心、PM的長為半徑作P.當P與正方形ABCD的邊相切時,BP的長為.11.(9分)xx北京如圖,AB是O的直徑,過O外一點P作O的兩條切線PC,PD,切點分別為C,D,連接OP,CD.(1)求證:OPCD;(2)連接AD,BC.若DAB=50,CBA=70,OA=2,求OP的長.12.(9分)xx湖北隨州如圖,AB是O的直徑,點C為O上一點,CN為O的切線,連接AC,BC,過點O作OMAB,分別交AC,CN于D,M兩點.(1)求證:MD=MC;(2)若O的半徑為5,AC=45,求MC的長.考點4切線的判定13.(9分)xx湖北黃石如圖,已知A,B,C,D,E是O上五點,O的直徑BE=23,BCD=120,A為BE的中點,延長BA到點P,使BA=AP,連接PE.(1)求線段BD的長;(2)求證:直線PE是O的切線.14.(9分)xx江西如圖,在ABC中,O為AC上一點,以點O為圓心、OC的長為半徑作圓,與BC相切于點C,過點A作ADBO,交BO的延長線于點D,且AOD=BAD.(1)求證:AB為O的切線;(2)若BC=6,tanABC=43,求AD的長.考點5三角形的內切圓和外接圓15.xx廣東廣州如圖,O是ABC的內切圓,則點O是ABC的()A.三條邊的垂直平分線的交點B.三條角平分線的交點C.三條中線的交點D.三條高的交點16.xx湖北武漢已知一個三角形的三邊長分別為5,7,8,則其內切圓的半徑為()A.32B.32C.3D.2317.xx河北如圖,點I為ABC的內心,AB=4,AC=3,BC=2.將ACB平移,使其頂點與點I重合,則圖中陰影部分的周長為()A.4.5B.4C.3D.218.xx山東臨沂如圖,在ABC中,A=60,BC=5 cm.能夠將ABC完全覆蓋的最小圓形紙片的直徑是cm.(第18題)(第19題)19.xx江蘇泰州如圖,在平面直角坐標系xOy中,點A,B,P的坐標分別為(1,0),(2,5),(4,2).若點C在第一象限內,且橫坐標、縱坐標均為整數(shù),P是ABC的外心,則點C的坐標為.20.(9分)xx浙江溫州如圖,D是ABC的BC邊上一點,連接AD,作ABD的外接圓,將ADC沿直線AD折疊,點C的對應點E落在BD上.(1)求證:AE=AB;(2)若CAB=90,cosADB=13,BE=2,求BC的長.21.(9分)xx江蘇南京結果如此巧合!下框中是小穎對一道題目的解答.題目:如圖,RtABC的內切圓與斜邊AB相切于點D,AD=3,BD=4,求ABC的面積.解:設ABC的內切圓分別與AC,BC相切于點E,F,CE的長為x,根據(jù)切線長定理,得AE=AD=3,BF=BD=4,CF=CE=x,根據(jù)勾股定理,得(x+3)2+(x+4)2=(3+4)2,整理,得x2+7x=12,所以SABC=12ACBC=12(x+3)(x+4)=12(x2+7x+12)=12(12+12)=12.小穎發(fā)現(xiàn)12恰好就是34,即ABC的面積等于AD與BD的積.這僅僅是巧合嗎?請你幫她完成下面的探索.已知:ABC的內切圓與AB相切于點D,AD=m,BD=n.可以一般化嗎?(1)若C=90,求證:ABC的面積等于mn.倒過來思考呢?(2)若ACBC=2mn,求證:C=90.改變一下條件(3)若C=60,用m,n表示ABC的面積.考點6正多邊形和圓22.xx四川達州以半徑為2的圓的內接正三角形、正方形、正六邊形的邊心距為三邊作三角形,則該三角形的面積是()A.22B.32C.2D.323.xx湖南株洲如圖,正五邊形ABCDE和正三角形AMN都是O的內接多邊形,則BOM=.24.xx四川宜賓劉徽是中國古代卓越的數(shù)學家之一,他在九章算術中提出了“割圓術”,即用內接或外切正多邊形逐步逼近圓來近似計算圓的面積,設O的半徑為1,若用O的外切正六邊形的面積S來近似估計O的面積,則S=.(結果保留根號)1.xx鄭州外國語模擬改編如圖,O是ABC的外接圓,弦AC的長為2,sin B=23,則O的直徑為()A.4B.3C.2D.1(第1題)(第2題)2.xx南陽地區(qū)模擬如圖,O的半徑為2,ABC是O的內接三角形,連接OB,OC.若BAC與BOC互補,則弦BC的長為()A.43B.33C.23D.33.xx江蘇泰州姜堰區(qū)二模改編如圖,C經過正六邊形ABCDEF的頂點A,E,點P是優(yōu)弧AE上一點,則APE=.4.(9分)xx洛陽二模如圖,AB為O的直徑,CD切O于點D,ACCD于點C,交O于點E,連接AD,BD,ED.(1)求證:BD=ED;(2)若CE=3,CD=4,求AB的長.5.(9分)xx平頂山二模如圖,AB是O的直徑,且AB=6,點M為O外一點,且MA,MC分別切O于點A,C.點D是直線BC與AM延長線的交點.(1)求證:DM=AM;(2)填空:當CM=時,四邊形AOCM是正方形;當CM=時,CDM為等邊三角形.6.(9分)xx安陽二模如圖,AB是半圓O的直徑,點P是半圓上不與點A,B重合的動點,PCAB,點M是OP的中點,連接AM并延長,交PC于點C,連接OC,BC,AP.(1)求證:四邊形OBCP是平行四邊形;(2)填空:當BOP=時,四邊形AOCP是菱形;連接BP,當ABP=時,PC是O的切線.第三節(jié)與圓有關的計算考點1弧長的計算1.xx湖北咸寧如圖,O的半徑為3,四邊形ABCD內接于O,連接OB,OD,若BOD=BCD,則BD的長為()A.B.32C.2D.3(第1題)(第2題)2.xx山東煙臺如圖,ABCD中,B=70,BC=6,以AD為直徑的O交CD于點E,則DE的長為()A.13B.23C.76D.433.xx甘肅蘭州A如圖,ABC的外接圓O的半徑為3,C=55,則劣弧AB的長是.(結果保留)(第3題)(第4題)4.xx山東濰坊如圖,點A1的坐標為(2,0),過點A1作x軸的垂線,交直線l:y=3x于點B1,以原點O為圓心、OB1的長為半徑畫弧,交x軸的正半軸于點A2;再過點A2作x軸的垂線,交直線l于點B2,以原點O為圓心、OB2的長為半徑畫弧,交x軸的正半軸于點A3按此作法進行下去,則A2019B2018的長是.5.(9分)xx湖北荊州問題:已知,均為銳角,tan =12,tan =13,求+的度數(shù).探究:(1)用6個小正方形構造如圖所示的網格圖(每個小正方形的邊長均為1),請借助這個網格圖求出+的度數(shù).延伸:(2)設經過圖中M,P,H三點的圓弧與AH交于R,求MR的長度.考點2扇形面積的計算6.xx黑龍江哈爾濱一個扇形的圓心角為 135,弧長為3 cm,則此扇形的面積是cm2.7.xx山東日照如圖,四邊形ABCD中,AB=CD,ADBC,以點B為圓心、BA為半徑的圓弧與BC交于點E,四邊形AECD是平行四邊形,AB=6,則圖中扇形的面積是.考點3陰影部分面積的計算8.xx山西如圖,正方形ABCD內接于O,O的半徑為2,以點A為圓心,AC長為半徑畫弧交AB的延長線于點E,交AD的延長線于點F,則圖中陰影部分的面積是()A.4-4B.4-8C.8-4D.8-89.xx山東萊蕪如圖,在RtABC中,BCA=90,BAC=30,BC=2,將RtABC繞點A順時針旋轉90得到RtADE,則BC掃過部分的面積為()A.2B.(2-3)C.2-32D.10.xx遼寧營口如圖,將矩形ABCD繞點C沿順時針方向旋轉90到矩形ABCD的位置,AB=2,AD=4,則陰影部分的面積為.(第10題)(第11題)11.xx湖北荊門已知:如圖,ABC內接于O,且半徑OCAB,點D在半徑OB的延長線上,且A=BCD=30,AC=2,則陰影部分的面積為.12.xx四川樂山如圖,OAC的頂點O在坐標原點,OA邊在x軸上,OA=2,AC=1,把OAC繞點A按順時針方向旋轉到OAC,使得點O的坐標是(1,3),則在旋轉過程中線段OC掃過部分(陰影部分)的面積為.1.xx南陽一模如圖,在扇形AOB中,AOB=90,正方形OCED的頂點C,D分別在半徑OA,OB上,頂點E在AB上,以點O為圓心、OC的長為半徑作CD.若OA=2,則陰影部分的面積為()A.B.2C.2D.1(第1題)(第2題)2.xx許昌二模如圖,在矩形ABCD中,AB=2,BC=1,將矩形ABCD繞頂點B旋轉得到矩形ABCD,點A恰好落在矩形ABCD的邊CD上,則AD掃過的部分(即陰影部分)的面積為()A.8B.22-2C.2-3D.63.xx信陽二模改編如圖,半徑為5的半圓的初始狀態(tài)是直徑平行于桌面上的直線b,然后半圓沿直線b進行無滑動滾動,使半圓的直徑與直線b重合,則圓心O運動路徑的長度等于.4.xx漯河二模如圖,在RtABC中,ACB=90,AC=43,以點C為圓心,CB的長為半徑畫弧,與AB邊交于點D,將BD繞點D旋轉180后點B與點A恰好重合,則圖中陰影部分的面積為.(第4題)(第5題)5.xx焦作一模如圖,在圓心角為90的扇形AOB中,半徑OA=3,OC=AC,OD=12BD,F是弧AB的中點.將OCD沿CD折疊,點O落在點E處,則圖中陰影部分的面積為.6.xx濰坊二模改編如圖所示的圖形是由若干條圓心相同的圓弧組成,其圓心角為90,最小的扇形半徑為1.若每兩個相鄰圓弧的半徑之差為1,由里往外的陰影部分的面積依次記為S1,S2,S3,S20,則S1+S2+S3+S20=.(第6題)(第7題)7.xx洛陽一模如圖,在圓心角為90的扇形OAB中,半徑OA=2 cm,C為弧AB的中點,D是OA的中點,則圖中陰影部分的面積為cm2.8.xx南陽宛城區(qū)二模如圖,AC是半圓O的一條弦,將弧AC沿AC折疊后恰好過圓心O,O的半徑為2,則圖中陰影部分的面積為.(第8題)(第9題)9.xx平頂山三模如圖,在ABC中,C=90,AC=BC=8,點D為邊AB的中點.以點B為圓心、BD的長為半徑作弧,交BC于點E;以點C為圓心、CD的長為半徑作弧,交AC于點F,則圖中陰影部分的面積為.10.xx開封二模運用圖形變化的方法研究下列問題:如圖,EF是O的直徑,CD,AB是O的弦,且ABCDEF,EF=20,CD=16,AB=12.則圖中陰影部分的面積是.(第10題)(第11題)11.xx鄭州地區(qū)模擬如圖,在RtAOB中,AOB=90,OA=3,OB=2,將RtAOB繞點O順時針旋轉90后得RtFOE,將線段EF繞點E逆時針旋轉90后得線段ED,連接AD,則圖中陰影部分面積是.參考答案第一節(jié)圓的基本性質AC,ABC=BCA=65,A=180-ABC-ACB=50,BDC=BAC=50.CDAB,ABD=BDC=50,DBC=ABC-ABD=65-50=15.故選A.3.D2OB=ABAD,故選項A錯誤;由垂徑定理可知,點E是CD的中點,由圓周角定理及其推論可知,COB=2BAD=40,OCE=50,CEEO,故選項B,C錯誤,選項D正確.AEB=90.AB=AC,CE=BE.又EF=AE,四邊形ABFC是菱形.(3分)(2)設CD=x,則AB=AC=7+x.連接BD,AB為半圓的直徑,ADB=90,AB2-AD2=CB2-CD2,即(7+x)2-72=42-x2,解得x1=1,x2=-8(舍去),(6分)AB=7+x=7+1=8,cosBAD=ADAB=78.(9分)5.BBOC=40,OB=OC,OBC=OCB=12(180-40)=70,D=180-OBC=110.故選B.6.D如圖,作直徑BM,連接DM,BD,則BDM=90.BCD=120,A=60,M=60.又AB=AD=2,BD=2 .在RtBDM中,sin M=BDBM=2BM=32,BM=433,OB=12BM=233,故O的半徑長為233.故選D.7.22如圖,連接OA,OB,在優(yōu)弧AB上任取一點D,連接AD,BD.ACB=135,ADB=45,AOB=2ADB=90.OA=OB=2,AB=22.8.100連接AE.點D是AC的中點,AED=CED=40,AEC=80.四邊形ADCE是O的內接四邊形,ADC+AEC=180,ADC=180-AEC=100.9.如圖,連接BD,分別延長AD,BC交于點E.(1分)A=90,BD是O的直徑,ECD=BCD=90.四邊形ABCD內接于O,ABC+ADC=180.ADC+EDC=180,EDC=ABC,(3分)cosEDC=cosABC=35,CDED=35,即10ED=35,解得ED=503.(4分)在RtEDC中,由勾股定理,得EC=ED2-CD2=403.(6分)易得ECDEAB,CDAB=ECEA,即1017=403EA,解得EA=683,AD=EA-ED=683-503=6.(9分)模擬提升練1.B設OD交BC于點E.ODBC,OEB=90,ABC=40,BOD=50,DCB=12BOD=25.故選B.2.C如圖,連接OC.AOB=160,AOC+BOC=360-AOB=200.D=12AOC,E=12BOC,D+E=12AOC+12BOC=12(AOC+BOC)=100.故選C.3.B四邊形ABCD內接于O,ABC=105,ADC=180-ABC=180-105=75.DF=BC,BAC=25,DCE=BAC=25,E=ADC-DCE=75-25=50.故選B.4.A如圖,連接OC,BC,過O作OEAC于點D,交半圓O于點E.由折疊可知OD=12OE.AB是半圓O的直徑,ACB=90,ODBC.OA=OB,OD=12BC,BC=OE=OB=OC,COB=60,AOC=120,BC=12AC.故選A.5.70連接BE.DOE=40,ABE=12DOE=20.BC為O的直徑,BEA=BEC=90,A=90-ABE=90-20=70.6.(1)證明:連接AC,EB,則CAM=BEM.又AMC=EMB,AMCEMB,AMEM=MCMB,即AMMB=EMMC.(4分)(2)DC為O的直徑,且DC=42=8,DEC=90,EC=DC2-DE2=82-(15)2=7.OA=OB=4,M為OB的中點,AM=6,BM=2.設EM=x,則CM=7-x.由(1)知AMMB=EMMC,得62=x(7-x).解得x1=3,x2=4.EM>MC,EM=4.(9分)7.(1)證明:ED=EC,EDC=C.四邊形ABED是O的內接四邊形,EDC=B,B=C,AB=AC.(3分)(2)43(7分)60(9分)解法提示:連接AE,AB為O的直徑,AEBC,又AB=AC,BE=EC.C=C,CDE=B,CDECBA,CDCB=CEAC,即4BC=12BC6,BC=43.四邊形ODEB是菱形,OB=BE=OD=ED=OE,BOE=EOD=60,BOD=120,A=60.8.(1)BAC=60,EOF=120.過點O作OHEF于點H,則EH=FH.設OE=x,則OF=x,FH=EH=32x,EF=3x,EFOE=3.(3分)(2)30(4分)理由:四邊形OEDF是菱形,OE=ED=DF=FO.又OE=OD=OF,OE=ED=DF=FO=OD,OED=EOD=DOF=DFO=60.AD是O的直徑,DEA=DFA=90,AEO=OFA=30,又OE=OA=OF,EAO=OAF=30.(7分)(3)53(9分)解法提示:由(1)可知EF=3OE=32AD,故當AD最短,即ADBC時,EF有最小值.AB=102,B=45,ADBC,AD=1022=10,EF的最小值為1032=53.第二節(jié)與圓有關的位置關系真題分點練1.B給各點標上字母,如圖所示,則AB=22+22=22,AC=AD=42+12=17,AE=32+32=32,AF=52+22=29,AG=AM=AN=42+32=5,當17<r<32時,以A為圓心,r為半徑畫圓,選取的格點中除點A外恰好有3個在圓內.故選B.2.C連接OP.PAPB,APB=90.點A,B關于原點O對稱,AO=BO,AB=2PO.若要使AB取得最小值,則OP需取得最小值.連接OM,交M于點P,當點P與P重合時,OP取得最小值,過點M作MQx軸于點Q,則OQ=3,MQ=4,OM=5,又MP=2,OP=3,AB的最小值為2OP=6,故選C.3.2ABBC,ABC=90,ABP+PBC=90.PAB=PBC,BAP+ABP=90,APB=90,點P在以AB為直徑的圓上.設AB的中點為O,連接OC,交O于點P,此時PC最小.在RtBCO中,OBC=90,BC=4,OB=3,OC=5,PC=OC-OP=5-3=2,即PC的最小值為2. 4.C6>5,直線和圓相離.故選C.5.0<m<132把點(12,-5)代入直線y=kx,得-5=12k,k=-512.直線y=-512x向上平移m(m>0)個單位后得到的直線l所對應的函數(shù)關系式為y=-512x+m(m>0),設直線l與x軸,y軸分別交于點A,B,則A(125m,0),B(0,m),即OA=125m,OB=m.在RtOAB中,AB=OA2+OB2=14425m2+m2=135m,過點O作ODAB于點D,SABO=12ODAB=12OAOB,12OD135m=12125m2,解得OD=1213m.由直線l與O相交可知1213m<6,解得m<132,即m的取值范圍為0<m<132.6.(1)CM與O相切.(1分)理由如下:如圖,連接OC.OC=OA,A=1.GDOA,A+2=A+3=1+3=90. (2分)AB為O的直徑,ACB=90,GCE=90.M是GE的中點,MG=ME=MC,(3分)3=MCE,1+MCE=90,OCMC,CM與O相切.(4分)(2)如圖,GCE=90,G+3=90.又A+3=90,A=G.(5分)MG=MC,4=G+MCG=2G.5=2A,4=5,3=MCE=EFC,ECFEMC,CE=CF,ECEM=EFEC.(6分)EM=CM=6,EC=CF=4,EF=EC2EM=426=83,MF=EM-EF=6-83=103.(9分)7.A連接OA,根據(jù)切線的性質可得,OAAP,P=30,OP=2OA.又OA=OB=3,OP=6,BP=OP-OB=3.故選A.8.A圓內接四邊形ABCD的邊AB過圓心O,ADC+ABC=180,ACB=90,ADC=180-ABC=125,BAC=90-ABC=35.由題易得MCA=ABC=55,AMC=90.ADC=AMC+DCM,DCM=ADC-AMC=35,ACD=MCA-DCM=55-35=20.故選A.9.44連接OB.BC是O的切線,OBBC,OBA+CBP=90.OCOA,A+APO=90.OA=OB,OAB=22,OBA=OAB=22,APO=CBP=68.APO=CPB,CPB=CBP=68,OCB=180-68-68=44.10.3或43AB=8,點M是AB的中點,BM=4.當P與CD相切于點C時,如圖(1),設PM=PC=r,則BP=8-r.在RtBPM中,根據(jù)勾股定理,得BM2+BP2=PM2,即42+(8-r)2=r2,解得r=5,BP=8-5=3;當P與AD相切于點E時,如圖(2),連接PE,則PEAD,PE=CD=8,PM=8.在RtBPM中,根據(jù)勾股定理,得BP=PM2-BM2=82-42=4 3.綜上可知,BP=3或43.圖(1)圖(2)11.(1)證明:如圖,連接OC,OD.PC,PD為O的兩條切線,PC=PD.又OC=OD,OP垂直平分CD,即OPCD.(4分)(2)如圖,OD=OA,DAB=50,ADO=DAB=50.四邊形ABCD為O的內接四邊形,CBA=70,ADC=180-CBA=110,ODC=ADC-ADO=60.OPCD,ODC+DOP=90,POD=30.PD為O的切線,OD為半徑,ODP=90.OA=2,OD=OA=2.在RtODP中,OP=ODcosPOD=232=433.(9分)12.(1)證明:連接OC.CN為O的切線,OCCM,OCA+ACM=90.OMAB,OAC+ODA=90.OA=OC,OAC=OCA,ACM=ODA=CDM,MD=MC.(3分)(2)依題意可知AB=52=10.AB為O的直徑,ACB=90,BC=102-(45)2=25.AOD=ACB,A=A,AODACB,ODBC=AOAC,即OD25=545,得OD=52.(6分)設MC=MD=x,則OM=x+52,在RtOCM中,由勾股定理得(x+52)2=x2+52,解得x=154,即MC=154.(9分)13.(1)如圖,連接DE.BE為O的直徑,BDE=90.B,C,D,E四點共圓,BCD+BED=180,BED=60,BD=BEsin 60=2332=3.(4分)(2)證明:如圖,連接AE.BE為O的直徑,BAAE.點A為BE的中點,BA=AE.(6分)又AB=AP,AB=AE=AP,BEP為直角三角形,PEEB,直線PE是O的切線.(9分)14.(1)證明:過點O作OEAB于點E,則OEB=90.BC切O于點C,OCB=90.ADBD,ADB=90.AOD=BOC,CBD=OAD.AOD=BAD,OAD=ABD,ABD=CBO.在OEB和OCB中,OEB=OCB,ABD=CBO,BO=BO,OEBOCB,OE=OC,AB為O的切線.(4分)(2)BC=6,tanABC=43,ACB=90,AC=BCtanABC=8,AB=BC2+AC2=62+82=10.AB與BC均為O的切線,BE=BC=6,AE=AB-BE=10-6=4.設OC=OE=x,在RtAEO中,AO2=AE2+OE2,即(8-x)2=42+x2,解得x=3,OB=OC2+BC2=32+62=35.SBOA=12ABOE=12BOAD,ABOE=BOAD,AD=ABOEBO=10335=25.(9分)15.BO是ABC的內切圓,點O到ABC三邊的距離相等,點O是ABC三條角平分線的交點.故選B.16.C如圖,BC=5,AB=7,AC=8,設內切圓的半徑為R.過點A作ADBC于點D.設BD=x,則CD=5-x.由勾股定理得:AB2-BD2=AC2-CD2,即72-x2=82-(5-x)2,解得x=1,所以AD=AB2-BD2=43.由面積公式可知,SABC=12BCAD=12(AB+BC+AC)R,即12543=12(7+5+8)R,解得R=3.故選C.17.B如圖,連接AI,BI.點I是ABC的內心,CAI=IAD.根據(jù)平移的性質,可知DIAC,AID=CAI,AID=IAD,ID=AD.同理可得IE=BE,故陰影部分的周長為ID+IE+DE=AD+BE+DE=AB=4.故選B.18.1033能夠將ABC完全覆蓋的最小圓形紙片是如圖所示的ABC的外接圓O.連接OB,OC,則BOC=2BAC=120.過點O作ODBC于點D,則BOD=12BOC=60.由垂徑定理得BD=12BC=52 cm,OB=BDsin60=533(cm),故能夠將ABC完全覆蓋的最小圓形紙片的直徑是1033 cm.19.(7,4),(6,5)或(1,4)點A,B,P的坐標分別為(1,0),(2,5),(4,2),PA=PB=32+22=13.點C在第一象限內,且橫坐標、縱坐標均為整數(shù),P是ABC的外心,PC=PA=PB=13=22+32,則點C的坐標為 (7,4),(6,5)或(1,4).20.(1)證明:由折疊可得ADEADC,AED=ACD,AE=AC.ABD=AED,ABD=ACD,AB=AC,AE=AB.(3分)(2)如圖,過點A作AHBE于點H.AB=AE,BE=2,BH=EH=1,ABE=AEB=ADB.又cosADB=13,cosABE=13,BHAB=13,AC=AB=3.BAC=90,AC=AB,BC=32.(9分)21.設ABC的內切圓分別與AC,BC相切于點E,F,CE的長為x,由題易得AE=AD=m,BF=BD=n,CF=CE=x.(1)在RtABC中,根據(jù)勾股定理,得(x+m)2+(x+n)2=(m+n)2,整理,得x2+(m+n)x=mn,所以SABC=12ACBC=12(x+m)(x+n)=12x2+(m+n)x+mn=12(mn+mn)=mn.(3分)(2)證明:由ACBC=2mn,得(x+m)(x+n)=2mn,整理,得x2+(m+n)x=mn,所以AC2+BC2=(x+m)2+(x+n)2=2x2+(m+n)x+m2+n2=m2+n2+2mn=(m+n)2=AB2,根據(jù)勾股定理的逆定理,可得C=90.(6分)(3)如圖,過點A作AGBC,垂足為點G.在RtACG中,AG=ACsin 60=32(x+m),CG=ACcos 60=12(x+m),所以BG=BC-CG=x+n-12(x+m).在RtABG中,根據(jù)勾股定理,得AG2+BG2=AB2,即32(x+m)2+x+n-12(x+m)2=(m+n)2,整理,得x2+(m+n)x=3mn,所以SABC=12BCAG=12(x+n)32(x+m)=34x2+(m+n)x+mn=34(3mn+mn)=3mn.(9分)22.A如圖(1),O的半徑OC=2,邊心距OD=2sin 30=1;如圖(2),O的半徑OB=2,邊心距OE=2sin 45=2;如圖(3),O的半徑OA=2,邊心距OD=2cos 30=3,則該三角形的三邊長分別為1,2,3.12+(2)2=(3)2,該三角形是直角三角形,其面積為1212=22.故選A.圖(1)圖(2)圖(3)23.48連接OA.五邊形ABCDE是正五邊形,AOB=3605=72.AMN是正三角形,AOM=3603=120,BOM=AOM-AOB=48.24.23如圖,六邊形ABCDEF為正六邊形,ABO為等邊三角形.O的半徑為1,OM=1,BM=AM=33,AB=233,S=6SABO=6122331=23.模擬提升練1.B如圖,作直徑AD,連接CD,則ACD=90,D=B,sin D=sin B=23,在RtADC中,AC=2,AD=ACsinD=3,O的直徑為3.故選B.2.CBAC與BOC互補,BAC+BOC=180.BAC=12BOC,BOC=120.如圖,過點O作ODBC,垂足為點D,則BD=CD,DOC=12BOC=60,DC=OCsin 60=232=3,BC=2DC=23,故選C.3.30如圖,連接AC,EC.六邊形ABCDEF是正六邊形,BAF=F=DEF=B=D=(6-2)1806=120,AB=BC=CD=DE,BAC=BCA=12(180-B)=30,同理CED=30,CAF=BAF-BAC=120-30=90,同理CEF=90.在四邊形ACEF中,ACE=360-90-90-120=60,APE=12ACE=30.4.(1)證明:如圖,連接OD,OE.CD切O于點D,ODCD.又ACCD,ODAC.EAO=DOB,AEO=EOD.又EAO=AEO,DOB=EOD,BD=ED.(4分)(2)ACCD,ACD=90.又CE=3,CD=4,ED=5.BD=ED,BD=5.AB為O的直徑,ADB=90,ACD=ADB.四邊形ABDE內接于O,CED=B,CDEDAB,CEDB=DEAB,即35=5AB,解得AB=253.(9分)5.(1)證明:如圖,連接OM.(1分)MA,MC分別切O于點A,C,MAOA,MCOC.在RtMAO和RtMCO中,MO=MO,AO=CO,RtMAORtMCO,MC=MA.(3分)OC=OB,2=B,又1+2=90,D+B=90,1=D,DM=MC,DM=AM. (5分)(2)3(7分)3(9分)解法提示:由四邊形AOCM是正方形,可知CM=OA=12AB=126=3.由CDM為等邊三角形,可知CMD=60.由(1)得,RtMAORtMCO,CMO=AMO=12(180-CMD)=60,CM=OC3=3.6.(1)證明:點M是OP的中點,OM=PM.PCAB,AOM=CPM.在AOM和CPM中,AOM=CPM,OM=PM,AMO=CMP,AOMCPM,(3分)PC=OA.OA=OB,PC=OB.又PCOB,四邊形OBCP是平行四邊形.(5分)(2)120(7分)45(9分)解法提示:四邊形AOCP是菱形,AO=AP,又AO=OP,AOP是等邊三角形,AOP=60,BOP=120.PCOB,CPB=OBP,又OP=OB,OPB=OBP,OPB=BPC.PC是O的切線,OPC=90,ABP=OPB=12OPC=1290=45.第三節(jié)與圓有關的計算真題分點練1.C四邊形ABCD內接于O,BCD+A=180.BOD=2A,BOD=BCD,2A+A=180,A=60,BOD=120,BD的長為1203180=2.故選C.2.B連接OE,如圖所示.四邊形ABCD是平行四邊形,D=B=70,AD=BC=6,OA=OD=3.OD=OE,OED=D=70,DOE=180-270=40,DE的長為403180=23.故選B.3.116C=55,AOB=2C=110, 劣弧AB的長為1103180=116.4.220193根據(jù)題意可得OA1=2,A1B1=2 3,tanA1OB1=3,A1OB1=60,OB1=4,OA2=OB1=4=22,OB2=8,OA3=OB2=8=23.依此規(guī)律,可得OA2 019=22 019,A2019B2018的長是6022019180=220193.5.(1)連接MH,MA,則tanPHM=12=tan ,PHM=.易得AM=MH=5,AH=10,AM2+MH2=AH2,AMH是等腰直角三角形,AHM=45,+=PHM+PHA=AHM=45. (4分)(2)設MH交QN于點O,連接MR,RO,則點O是M,P,H三點所在圓的圓心,MH為O的直徑,MRH=90.AHM=45,MRH是等腰直角三角形,RMO=45,ROMH,MR的長度=903605=54.(9分)6.6設扇形的半徑為r cm,則135r180=3,解得r=4,所以扇形的面積為1234=6(cm2).7.6四邊形AECD是平行四邊形,AE=CD.BE=AB=CD=6,AB=BE=AE,ABE是等邊三角形,B=60,S扇形ABE=6062360=6.8.A由圓及正方形的對稱性可知,陰影部分的面積為扇形EAF的面積減去ABD的面積,即S陰影=S扇形EAF-SABD=9036042-1224=4-4.故選A.9.D在RtABC中,BCA=90,BAC=30,BC=2,AC=23,AB=4.由旋轉可知,SABC=SADE,DAE=CAB=30,AE=AC=23,AD=AB=4,CAE=DAB=90,S陰影部分=S扇形BAD+SABC-S扇形CAE-SADE=S扇形BAD-S扇形CAE=9042360-90(23)2360=.故選D.10.83-23如圖,連接CE.四邊形ABCD是矩形,BC=AD=4,CD=AB=2,BCD=ADC=90,由旋轉可知CE=BC=4,CE=2CD,DEC=30,DCE=60,由勾股定理得DE=23,S陰影部分=S扇形ECB-SCDE=6042360-12223=83-23.11.23-23OCAB,A=BCD=30,O=60,AC=BC,BC=AC=2,OBC是等邊三角形,OCB=60,OCD=OCB+BCD=60+30=90,CD=3OC=23,S陰影=SOCD-S扇形BOC=12223-6022360=23-23.12.2如圖,過點O作OMOA于點M,則OMA=90,點O的坐標是(1,3),OM=3,OM=1,AO=2,AM=2-1=1,tanOAM=31=3,OAM=60,CAC=OAO=60.把OAC繞點A按順時針方向旋轉到OAC,SOAC=SOAC,S陰影部分=S扇形OAO+SOAC-SOAC-S扇形CAC=S扇形OAO-S扇形CAC=6022360-6012360=2.模擬提升練1.D連接OE,由題分析可知,S陰影部分=S扇形BOE+SCOE-S扇形COD.四邊形OCED是正方形,BOE =45,S扇形BOE=45OA2360=4522360=2.在RtOCE中,CE=OC=22=2,SOCE=12OCCE=1.又S扇形COD=90OC2360=2,S陰影部分=S扇形BOE+SCOE-S扇形COD=2+1-2=1,故選D.2.A如圖,連接BD,BD,在RtABC中,AB=AB=2,BC=1,由勾股定理得AC=1,BC=AC,ABC=45,ABA=45, DBD=45.在RtABD中,由勾股定理得BD=3,S陰影=S梯形ABAD-S扇形ABA+S扇形DBD-SABD-SABD=12(2-1+2)1-45(2)2360+45(3)2360-12(2-1)1-1221=2-12-4+38-2+12=8.故選