題型練6大題專項(四)立體幾何綜合問題1.如圖,已知四棱臺ABCD-A1B1C1D1的上、下底面分別是邊長為3和6的正方形.A1A=6,且A1A底面ABCD.點P,Q分別在棱DD1,BC上.(1)若P是DD1的中點,證明:AB1PQ;(2)若PQ平面ABB1A1,二面角P-QD-A的余弦值為37,求四面體ADPQ的體積.2.(2018江蘇,22)如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=2,點P,Q分別為A1B1,BC的中點.(1)求異面直線BP與AC1所成角的余弦值;(2)求直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值.3.如圖,在幾何體ABCDE中,四邊形ABCD是矩形,AB平面BEC,BEEC,AB=BE=EC=2,G,F分別是線段BE,DC的中點.(1)求證:GF平面ADE;(2)求平面AEF與平面BEC所成銳二面角的余弦值.4.在如圖所示的組合體中,ABCD-A1B1C1D1是一個長方體,P-ABCD是一個四棱錐.AB=2,BC=3,點P平面CC1D1D,且PD=PC=2.(1)證明:PD平面PBC;(2)求PA與平面ABCD所成角的正切值;(3)當AA1的長為何值時,PC平面AB1D?5.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA平面ABCD,ACAD,ABBC,BAC=45,PA=AD=2,AC=1.(1)證明:PCAD;(2)求二面角A-PC-D的正弦值;(3)設(shè)E為棱PA上的點,滿足異面直線BE與CD所成的角為30,求AE的長.6.已知四邊形ABCD滿足ADBC,BA=AD=DC=12BC=a,E是BC的中點,將BAE沿AE翻折成B1AE,使平面B1AE平面AECD,F為B1D的中點.(1)求四棱錐B1-AECD的體積;(2)證明:B1E平面ACF;(3)求平面ADB1與平面ECB1所成銳二面角的余弦值.題型練6大題專項(四)立體幾何綜合問題1.解 由題設(shè)知,AA1,AB,AD兩兩垂直,以A為坐標原點,AB,AD,AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,則相關(guān)各點的坐標為A(0,0,0),B1(3,0,6),D(0,6,0),D1(0,3,6),Q(6,m,0),其中m=BQ,0m6.(1)證明:若P是DD1的中點,則P0,92,3,PQ=6,m-92,-3.又AB1=(3,0,6),于是AB1PQ=18-18=0,所以AB1PQ,即AB1PQ.(2)由題設(shè)知,DQ=(6,m-6,0),DD1=(0,-3,6)是平面PQD內(nèi)的兩個不共線向量.設(shè)n1=(x,y,z)是平面PQD的一個法向量,則n1DQ=0,n1DD1=0,即6x+(m-6)y=0,-3y+6z=0.取y=6,得n1=(6-m,6,3).又平面AQD的一個法向量是n2=(0,0,1),所以cos<n1,n2>=n1n2|n1|n2|=31(6-m)2+62+32=3(6-m)2+45 .而二面角P-QD-A的余弦值為37,因此3(6-m)2+45=37,解得m=4或m=8(舍去),此時Q(6,4,0).設(shè)DP=DD1(0<1),而DD1=(0,-3,6),由此得點P(0,6-3,6),所以PQ=(6,3-2,-6).因為PQ平面ABB1A1,且平面ABB1A1的一個法向量是n3=(0,1,0),所以PQn3=0,即3-2=0,亦即=23,從而P(0,4,4).于是,將四面體ADPQ視為以ADQ為底面的三棱錐P-ADQ,則其高h=4.故四面體ADPQ的體積V=13SADQh=1312664=24.2.解 如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,設(shè)AC,A1C1的中點分別為O,O1,則OBOC,OO1OC,OO1OB,以O(shè)B,OC,OO1為基底,建立空間直角坐標系O-xyz.因為AB=AA1=2,所以A(0,-1,0),B(3,0,0),C(0,1,0),A1(0,-1,2),B1(3,0,2),C1(0,1,2).(1)因為P為A1B1的中點,所以P32,-12,2,從而BP=-32,-12,2,AC1=(0,2,2),故|cos<BP,AC1>|=|BPAC1|BP|AC1|=|-1+4|522=31020.因此,異面直線BP與AC1所成角的余弦值為31020.(2)因為Q為BC的中點,所以Q32,12,0,因此AQ=32,32,0,AC1=(0,2,2),CC1=(0,0,2).設(shè)n=(x,y,z)為平面AQC1的一個法向量,則AQn=0,AC1n=0,即32x+32y=0,2y+2z=0.不妨取n=(3,-1,1).設(shè)直線CC1與平面AQC1所成角為,則sin =|cos<CC1,n>|=|CC1n|CC1|n|=252=55,所以直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值為55.3.(1)證法一 如圖,取AE的中點H,連接HG,HD,又G是BE的中點,所以GHAB,且GH=12AB.又F是CD的中點,所以DF=12CD.由四邊形ABCD是矩形,得ABCD,AB=CD,所以GHDF,且GH=DF,從而四邊形HGFD是平行四邊形,所以GFDH.又DH平面ADE,GF平面ADE,所以GF平面ADE.證法二 如圖,取AB中點M,連接MG,MF.又G是BE的中點,可知GMAE.又AE平面ADE,GM平面ADE,所以GM平面ADE.在矩形ABCD中,由M,F分別是AB,CD的中點,得MFAD.又AD平面ADE,MF平面ADE,所以MF平面ADE.又因為GMMF=M,GM平面GMF,MF平面GMF,所以平面GMF平面ADE.因為GF平面GMF.所以GF平面ADE.(2)解 如圖,在平面BEC內(nèi),過點B作BQEC.因為BECE,所以BQBE.又因為AB平面BEC,所以ABBE,ABBQ.以B為原點,分別以BE,BQ,BA的方向為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系,則A(0,0,2),B(0,0,0),E(2,0,0),F(2,2,1).因為AB平面BEC,所以BA=(0,0,2)為平面BEC的法向量.設(shè)n=(x,y,z)為平面AEF的法向量.又AE=(2,0,-2),AF=(2,2,-1),由nAE=0,nAF=0,得2x-2z=0,2x+2y-z=0,取z=2,得n=(2,-1,2).從而cos<n,BA>=nBA|n|BA|=432=23.所以平面AEF與平面BEC所成銳二面角的余弦值為23.4.(1)證明 如圖建立空間直角坐標系.設(shè)棱長AA1=a,則D(0,0,a),P(0,1,a+1),B(3,2,a),C(0,2,a).于是PD=(0,-1,-1),PB=(3,1,-1),PC=(0,1,-1),所以PDPB=0,PDPC=0.所以PD垂直于平面PBC內(nèi)的兩條相交直線PC和PB,由線面垂直的判定定理,得PD平面PBC.(2)解 A(3,0,a),PA=(3,-1,-1),而平面ABCD的一個法向量為n1=(0,0,1),所以cos<PA,n1>=-1111=-1111.所以PA與平面ABCD所成角的正弦值為1111.所以PA與平面ABCD所成角的正切值為1010.(3)解 因為D(0,0,a),B1(3,2,0),A(3,0,a),所以DA=(3,0,0),AB1=(0,2,-a).設(shè)平面AB1D的法向量為n2=(x,y,z),則有DAn2=3x=0,AB1n2=2y-az=0,令z=2,可得平面AB1D的一個法向量為n2=(0,a,2).若要使得PC平面AB1D,則要PCn2,即PCn2=a-2=0,解得a=2.所以當AA1=2時,PC平面AB1D.5.解 如圖,以點A為原點建立空間直角坐標系,依題意得A(0,0,0),D(2,0,0),C(0,1,0),B-12,12,0,P(0,0,2).(1)證明:易得PC=(0,1,-2),AD=(2,0,0).于是PCAD=0,所以PCAD.(2)PC=(0,1,-2),CD=(2,-1,0).設(shè)平面PCD的法向量n=(x,y,z).則nPC=0,nCD=0,即y-2z=0,2x-y=0.不妨令z=1,可得n=(1,2,1).可取平面PAC的法向量m=(1,0,0).于是cos<m,n>=mn|m|n|=16=66,從而sin<m,n>=306.所以二面角A-PC-D的正弦值為306.(3)設(shè)點E的坐標為(0,0,h),其中h0,2.由此得BE=12,-12,h.又CD=(2,-1,0),故cos<BE,CD>=BECD|BE|CD|=3212+h25=310+20h2,所以310+20h2=cos 30=32,解得h=1010,即AE=1010.6.(1)解 取AE的中點M,連接B1M.因為BA=AD=DC=12BC=a,ABE為等邊三角形,所以B1M=32a.又因為平面B1AE平面AECD,所以B1M平面AECD,所以V=1332aaasin3=a34.(2)證明 連接ED交AC于點O,連接OF,因為四邊形AECD為菱形,OE=OD,所以FOB1E,所以B1E平面ACF.(3)解 連接MD,則AMD=90,分別以ME,MD,MB1所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系,則Ea2,0,0,Ca,32a,0,A-a2,0,0,D0,32a,0,B10,0,32a,所以EC=a2,32a,0,EB1=-a2,0,3a2,AD=a2,3a2,0,AB1=a2,0,3a2.設(shè)平面ECB1的法向量為u=(x,y,z),則a2x+32ay=0,-a2x+32az=0,令x=1,u=1,-33,33,同理平面ADB1的法向量為v=1,-33,-33,所以cos<u,v>=1+13-131+13+131+13+13=35,故平面ADB1與平面ECB1所成銳二面角的余弦值為35.