思想方法訓(xùn)練3數(shù)形結(jié)合思想一、能力突破訓(xùn)練1.已知i為虛數(shù)單位,如果圖中網(wǎng)格紙的小正方形的邊長是1,復(fù)平面內(nèi)點Z表示復(fù)數(shù)z,那么復(fù)數(shù)z1+i對應(yīng)的點位于復(fù)平面內(nèi)的()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限2.方程sinx-4=14x的實數(shù)解的個數(shù)是()A.2B.3C.4D.以上均不對3.若xx|log2x=2-x,則()A.x2>x>1B.x2>1>xC.1>x2>xD.x>1>x24.若函數(shù)f(x)=(a-x)|x-3a|(a>0)在區(qū)間(-,b上取得最小值3-4a時所對應(yīng)的x的值恰有兩個,則實數(shù)b的值等于()A.22B.2-2或6-32C.632D.2+2或6+325.已知函數(shù)f(x)=與g(x)=x3+t,若f(x)與g(x)圖象的交點在直線y=x的兩側(cè),則實數(shù)t的取值范圍是()A.(-6,0B.(-6,6)C.(4,+)D.(-4,4)6.(2018浙江,9)已知a,b,e是平面向量,e是單位向量.若非零向量a與e的夾角為3,向量b滿足b2-4eb+3=0,則|a-b|的最小值是()A.3-1B.3+1C.2D.2-37.在平面直角坐標系xOy中,若直線y=2a與函數(shù)y=|x-a|-1的圖象只有一個交點,則a的值為.8.函數(shù)f(x)=2sin xsinx+2-x2的零點個數(shù)為.9.若不等式9-x2k(x+2)-2的解集為區(qū)間a,b,且b-a=2,則k=.10.已知函數(shù)f(x)為偶函數(shù)且f(x)=f(x-4),又f(x)=-x2-32x+5,0x1,2x+2-x,1<x2,函數(shù)g(x)=12|x|+a,若F(x)=f(x)-g(x)恰好有4個不同的零點,則a的取值范圍是.11.電視臺播放甲、乙兩套連續(xù)劇,每次播放連續(xù)劇時,需要播放廣告.已知每次播放甲、乙兩套連續(xù)劇時,連續(xù)劇播放時長、廣告播放時長、收視人次如下表所示:連續(xù)劇播放時長(分鐘)廣告播放時長(分鐘)收視人次(萬)甲70560乙60525已知電視臺每周安排的甲、乙連續(xù)劇的總播放時間不多于600分鐘,廣告的總播放時間不少于30分鐘,且甲連續(xù)劇播放的次數(shù)不多于乙連續(xù)劇播放次數(shù)的2倍.分別用x,y表示每周計劃播出的甲、乙兩套連續(xù)劇的次數(shù).(1)用x,y列出滿足題目條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式,并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域;(2)問電視臺每周播出甲、乙兩套連續(xù)劇各多少次,才能使總收視人次最多?二、思維提升訓(xùn)練12.已知函數(shù)f(x)=2-|x|,x2,(x-2)2,x>2,函數(shù)g(x)=b-f(2-x),其中bR,若函數(shù)y=f(x)-g(x)恰有4個零點,則b的取值范圍是()A.74,+B.-,74C.0,74D.74,213.設(shè)函數(shù)f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整數(shù)x0使得f(x0)<0,則a的取值范圍是()A.-32e,1B.-32e,34C.32e,34D.32e,114.已知函數(shù)f(x)=3x-1,x1,f(x-1)+2,x>1,則方程f(x)=2x在區(qū)間0,2 018上的根的個數(shù)是.15.已知函數(shù)f(x)=|lgx|,0<x10,-12x+6,x>10.若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),求abc的取值范圍.16.設(shè)函數(shù)f(x)=ax3-3ax,g(x)=bx2-ln x(a,bR),已知它們在x=1處的切線互相平行.(1)求b的值;(2)若函數(shù)F(x)=f(x),x0,g(x),x>0,且方程F(x)=a2有且僅有四個解,求實數(shù)a的取值范圍.思想方法訓(xùn)練3數(shù)形結(jié)合思想一、能力突破訓(xùn)練1.D解析 由題圖知,z=2+i,z1+i=2+i1+i=2+i1+i1-i1-i=32-12i,則對應(yīng)的點位于復(fù)平面內(nèi)的第四象限.故選D.2.B解析 在同一坐標系內(nèi)作出y=sinx-4與y=x的圖象,如圖,可知它們有3個不同的交點.3.A解析 設(shè)y1=log2x,y2=2-x,在同一坐標系中作出其圖象,如圖,由圖知,交點的橫坐標x>1,則有x2>x>1.4.D解析 結(jié)合函數(shù)f(x)的圖象(圖略)可知,3-4a=-a2,即a=1或a=3.當a=1時,-b2+4b-3=-1(b>3),解得b=2+2;當a=3時,-b2+12b-27=-9(b>9),解得b=6+32,故選D.5.B解析 如圖,由題知,若f(x)=4x與g(x)=x3+t圖象的交點位于y=x兩側(cè),則有23+t>2,(-2)3+t<-2,解得-6<t<6.6.A解析 e為單位向量,b2-4eb+3=0,b2-4eb+4e2=1.(b-2e)2=1.以e的方向為x軸正方向,建立平面直角坐標系,如圖.OE=2e,OB=b,OA=a,=3.由(b-2e)2=1,可知點B在以點E為圓心,1為半徑的圓上.由|a-b|=|OA-OB|=|BA|,可知|a-b|的最小值即為|BA|的最小值,即為圓上的點B到直線OA的距離.又直線OA為y=3x,點E為(2,0),點E到直線OA的距離d=232=3.|BA|的最小值為3-1,即|a-b|的最小值為3-1.7.-解析 在同一坐標系畫出y=2a和y=|x-a|-1的圖象如圖.由圖可知,要使兩函數(shù)的圖象只有一個交點,則2a=-1,a=-.8.2解析 f(x)=2sin xsinx+2-x2=2sin xcos x-x2=sin 2x-x2.如圖,在同一平面直角坐標系中作出y=sin 2x與y=x2的圖象,當x0時,兩圖象有2個交點,當x<0時,兩圖象無交點,綜上,兩圖象有2個交點,即函數(shù)的零點個數(shù)為2.9.2解析 令y1=9-x2,y2=k(x+2)-2,在同一個坐標系中作出其圖象,如圖.9-x2k(x+2)-2的解集為a,b,且b-a=2,結(jié)合圖象知b=3,a=1,即直線與圓的交點坐標為(1,22),k=22+21+2=2.10.2,198解析 由f(x)=f(x-4),知f(x)是周期為4的函數(shù);由f(x)是偶函數(shù),得f(-x)=f(x+4),得圖象的對稱軸為直線x=2.若F(x)恰有4個零點,則有g(shù)(1)>f(1),g(3)<f(3),解得a2,198.11.解 (1)由已知,x,y滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式為70x+60y600,5x+5y30,x2y,x0,y0,即7x+6y60,x+y6,x-2y0,x0,y0,該二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域為圖1中的陰影部分:圖1(2)設(shè)總收視人次為z萬,則目標函數(shù)為z=60x+25y.考慮z=60x+25y,將它變形為y=-125x+z25,這是斜率為-125,隨z變化的一族平行直線.z25為直線在y軸上的截距,當z25取得最大值時,z的值最大.又因為x,y滿足約束條件,所以由圖2可知,當直線z=60x+25y經(jīng)過可行域上的點M時,截距z25最大,即z最大.解方程組7x+6y=60,x-2y=0,得點M的坐標為(6,3).所以,電視臺每周播出甲連續(xù)劇6次,乙連續(xù)劇3次時才能使總收視人次最多.圖2二、思維提升訓(xùn)練12.D解析 由f(x)=2-|x|,x2,(x-2)2,x>2,得f(x)=2+x,x<0,2-x,0x2,(x-2)2,x>2,f(2-x)=2+2-x,2-x<0,2-(2-x),02-x2,(2-x-2)2,2-x>2=x2,x<0,x,0x2,4-x,x>2,所以f(x)+f(2-x)=x2+x+2,x<0,2,0x2,x2-5x+8,x>2.因為函數(shù)y=f(x)-g(x)=f(x)+f(2-x)-b恰有4個零點,所以函數(shù)y=b與y=f(x)+f(2-x)的圖象有4個不同的交點.畫出函數(shù)y=f(x)+f(2-x)的圖象,如圖.由圖可知,當b74,2時,函數(shù)y=b與y=f(x)+f(2-x)的圖象有4個不同的交點.故選D.13.D解析 設(shè)g(x)=ex(2x-1),h(x)=a(x-1),則不等式f(x)<0即為g(x)<h(x).因為g(x)=ex(2x-1)+2ex=ex(2x+1),當x<-12時,g(x)<0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減;當x>-12時,g(x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增.所以g(x)的最小值為g-12.而函數(shù)h(x)=a(x-1)表示經(jīng)過點P(1,0),斜率為a的直線.如圖,分別作出函數(shù)g(x)=ex(2x-1)與h(x)=a(x-1)的大致圖象.顯然,當a0時,滿足不等式g(x)<h(x)的整數(shù)有無數(shù)多個.函數(shù)g(x)=ex(2x-1)的圖象與y軸的交點為A(0,-1),與x軸的交點為D12,0.取點C-1,-3e.由圖可知,不等式g(x)<h(x)只有一個整數(shù)解時,須滿足kPCa<kPA.而kPC=0-3e1-(-1)=32e,kPA=0-(-1)1-0=1,所以32ea<1.故選D.14.2 019解析 畫出y=f(x)與y=2x的圖象如圖所示,由圖象可得,方程f(x)=2x在0,2 018內(nèi)的根分別是x=0,1,2,3,2 018,共2 019個.15.解 因為-lg a=lg bab=1,所以abc=c,也就是說只需要求出c的取值范圍即可,如下圖所示,繪制出圖象,平移一條平行于x軸的直線,可以發(fā)現(xiàn)c的取值范圍是10<c<12,因此10<abc<12.故abc的取值范圍是(10,12).16.解 函數(shù)g(x)=bx2-ln x的定義域為(0,+).(1)f(x)=3ax2-3af(1)=0,g(x)=2bx-1xg(1)=2b-1,依題意2b-1=0,得b=12.(2)當x(0,1)時,g(x)=x-1x<0,當x(1,+)時,g(x)=x-1x>0.所以當x=1時,g(x)取得極小值g (1)=12.當a=0時,方程F(x)=a2不可能有且僅有四個解.當a<0,x(-,-1)時,f(x)<0,x(-1,0)時,f(x)>0,所以當x=-1時,f(x)取得極小值f(-1)=2a,又f(0)=0,所以F(x)的圖象如圖所示.從圖象可以看出F(x)=a2不可能有四個解.當a>0,x(-,-1)時,f(x)>0,x(-1,0)時,f(x)<0,所以當x=-1時,f(x)取得極大值f(-1)=2a.又f(0)=0,所以F(x)的圖象如圖所示.從圖象看出方程F(x)=a2有四個解,則12<a2<2a,所以實數(shù)a的取值范圍是22,2.圖圖