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模塊綜合檢測 (時間:120分鐘　滿分:150分) 一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的) 1若a,b是異面直線,b,c是異面直線,則a,c的位置關系為(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.相交、平行或異面 B.相交或平行 C.異面 D.平行或異面 解析：a與c可以相交、平行或異面,分別如圖中的①,②,③. 答案：A 2已知直線l1:(k-3)x+(4-2k)y+1=0與l2:2(k-3)x-2y+3=0平行,則k的值是(　　) A.1或3 B.1或 C.3或 D.1或2 解析：當k=3時,l1:-2y+1=0,l2:-2y+3=0,顯然平行;當k=2時,l1:-x+1=0,l2:-2x-2y+3=0,顯然不平行; 當k≠3,且k≠2時,要使l1∥l2,應有(k-3)2(k-3)=4-2k-2≠13?k=52. 綜上所述k=3或k=52,故選C. 答案：C 3由三視圖可知,該幾何體是(　　) A.三棱錐 B.四棱錐 C.四棱臺 D.三棱臺 解析：由三視圖知該幾何體為四棱錐,其中有一側(cè)棱垂直于底面,底面為直角梯形. 答案：B 4在直線3x-4y-27=0上到點P(2,1)距離最近的點的坐標為(　　) A.(5,-3) B.(9,0) C.(-3,5) D.(-5,3) 解析：過P(2,1)向此直線引垂線,其垂足即為所求的點,過點P作直線3x-4y-27=0的垂線方程為4x+3y+m=0.因為點P(2,1)在此垂線上,所以 42+31+m=0.所以m=-11. 由3x-4y-27=0,4x+3y-11=0,聯(lián)立求解,得所求的點的坐標為(5,-3). 答案：A 5若圓C1:x2+y2=1與圓C2:x2+y2-6x-8y+m=0外切,則m=(　　) A.21 B.19 C.9 D.-11 解析：圓C1的圓心是原點(0,0),半徑r1=1,圓C2:(x-3)2+(y-4)2=25-m,圓心C2(3,4),半徑r2=25-m,由兩圓相外切,得|C1C2|=r1+r2,即1+25-m=5,解得m=9.故選C. 答案：C 6某幾何體的三視圖(單位:cm)如圖,則該幾何體的體積是(　　) A.72 cm3 B.90 cm3 C.108 cm3 D.138 cm3 解析：此幾何體是由長方體與三棱柱組合而成的,其體積為643+343=90 (cm3). 答案：B 7若圓C:x2+y2+2x-4y+3=0關于直線2ax+by+6=0對稱,則由點(a,b)向圓所作的切線長的最小值是 (　　) A.2 B.3 C.4 D.6 解析：圓的標準方程為(x+1)2+(y-2)2=2,則圓心為(-1,2),半徑為2.因為圓關于直線2ax+by+6=0對稱,所以圓心在直線2ax+by+6=0上,所以-2a+2b+6=0,即b=a-3,點(a,b)到圓心的距離為d=(a+1)2+(b-2)2=(a+1)2+(a-3-2)2=2a2-8a+26=2(a-2)2+18.所以當a=2時,d有最小值18=32,此時切線長最小,為(32)2-(2)2=16=4,故選C. 答案：C 8一塊石材表示的幾何體的三視圖如圖,將該石材切削、打磨,加工成球,則能得到的最大球的半徑等于(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析：由三視圖可知,石材為一個三棱柱(相對應的長方體的一半),則可知能得到的最大球為三棱柱的內(nèi)切球.由題意可知主視圖三角形的內(nèi)切圓的半徑即為球的半徑,可得R=6+8-102=2. 答案：B 9垂直于直線y=x+1且與圓x2+y2=4相切于第三象限的直線方程是(　　) A.x+y+22=0 B.x+y+2=0 C.x+y-2=0 D.x+y-22=0 解析：由題意設所求直線方程為y=-x+k(k<0), 又圓心(0,0)到直線y=-x+k的距離為2,即|k|1+1=2,∴k=22,又k<0,∴k=-22. 故直線方程為y=-x-22,即x+y+22=0. 答案：A 10如圖,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,BB1=4,長為1的線段PQ在棱AA1上移動,長為3的線段MN在棱CC1上移動,點R在棱BB1上移動,則四棱錐R-PQMN的體積是 (　　) A.12 B.10 C.6 D.不確定 解析：設四棱錐R-PQMN的高為d,則d=322,S四邊形PQMN=(1+3)32=62,VR-PQMN=S四邊形PQMNd=62322=6,故選C. 答案：C 11已知點A,B,C,D為同一球面上的四點,且AB=AC=AD=2,AB⊥AC,AC⊥AD,AD⊥AB,則這個球的表面積是(　　) A.16π B.20π C.12π D.8π 解析：這四點可看作一個正方體的四個頂點,且該正方體的八個頂點都在球面上,即球為正方體的外接球,所以23=2R,R=3,S=4πR2=12π,故選C. 答案：C 12已知A(-2,0),B(0,2),實數(shù)k是常數(shù),M,N是圓x2+y2+kx=0上兩個不同點,P是圓x2+y2+kx=0上的動點,如果點M,N關于直線x-y-1=0對稱,則△PAB面積的最大值是(　　) A.3-2 B.4 C.3+2 D.6 解析：依題意得圓x2+y2+kx=0的圓心-k2,0位于直線x-y-1=0上,于是有--1=0,即k=-2,因此圓心坐標是(1,0),半徑是1.由題意可得|AB|=22,直線AB的方程是x-2+y2=1,即x-y+2=0,圓心(1,0)到直線AB的距離等于|1-0+2|2=322,點P到直線AB的距離的最大值是322+1,△PAB面積的最大值為2232+22=3+2,故選C. 答案：C 二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.把答案填在題中的橫線上) 13正方體不在同一表面上的兩個頂點的坐標分別為A(1,3,1),B(5,7,5),則正方體的棱長為　　　. 解析：由題意可知,|AB|為正方體的對角線長. 設正方體的棱長為x,則|AB|=3x. ∵|AB|=(5-1)2+(7-3)2+(5-1)2=43, ∴43=3x,即x=4. 答案：4 14經(jīng)過點P(2,-3)作圓x2+y2=20的弦AB,且使|AB|=8,則弦AB所在的直線方程為　　　　　. 解析：如圖,因為|AB|=8,所以|OC|=20-16=2.當直線AB的斜率存在時,設AB所在直線方程為y+3=k(x-2),即kx-y-2k-3=0,圓心O到AB的距離為|-2k-3|k2+(-1)2=2,解得k=-512.此時,AB所在的直線方程為5x+12y+26=0.當直線AB的斜率不存在時,可知AB所在的直線方程為x=2時,符合題意.故所求弦AB所在直線的方程是5x+12y+26=0或x=2. 答案：5x+12y+26=0或x=2 15設甲、乙兩個圓柱的底面積分別為S1,S2,體積分別為V1,V2.若它們的側(cè)面積相等,且S1S2=94,則V1V2的值是　　　　　. 解析：因為S1S2=πr12πr22=r12r22=94,所以r1r2=32.又圓柱的側(cè)面積S側(cè)=2πrh,所以S側(cè)1=2πr1h1=S側(cè)2=2πr2h2,則h1h2=r2r1=23,故V1V2=S1h1S2h2=9423=32. 答案： 16在三棱錐P-ABC中,底面是邊長為2 cm的正三角形,PA=PB=3 cm,轉(zhuǎn)動點P時,三棱錐的最大體積為　　　　　. 解析：點P到平面ABC距離最大時體積最大,此時平面PAB⊥平面ABC,如圖,易求得PD=22 cm.所以V=1334422=263(cm3). 答案：263 cm3 三、解答題(本大題共6小題,共70分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 17(本小題滿分10分)過點P(1,2)的直線l被兩平行線l1:4x+3y+1=0與l2:4x+3y+6=0截得的線段長|AB|=2,求直線l的方程. 解由題意可知l與l1,l2不垂直,則設直線l的方程為y-2=k(x-1). 由y=kx+2-k,4x+3y+1=0, 解得A3k-73k+4,-5k+83k+4; 由y=kx+2-k,4x+3y+6=0, 解得B3k-123k+4,8-10k3k+4. ∵|AB|=2, ∴53k+42+5k3k+42=2, 整理,得7k2-48k-7=0, 解得k1=7或k2=-17. 因此,所求直線l的方程為x+7y-15=0或7x-y-5=0. 18(本小題滿分12分)如圖,AA1B1B是圓柱的軸截面,C是底面圓周上異于A,B的一點,AA1=AB=2. (1)求證:平面A1AC⊥平面BA1C; (2)求VA1-ABC的最大值. (1)證明∵C是底面圓周上異于A,B的一點,且AB為底面圓的直徑,∴BC⊥AC. 又AA1⊥底面ABC,∴BC⊥AA1, 又AC∩AA1=A,∴BC⊥平面A1AC. 又BC?平面BA1C, ∴平面A1AC⊥平面BA1C. (2)解在Rt△ACB中,設AC=x, ∴BC=AB2-AC2=4-x2(00, 即-2a>0,解得a<0. 則實數(shù)a的取值范圍是(-∞,0). 由于12?(-∞,0), 故不存在實數(shù)a,使得過點P(2,0)的直線l垂直平分弦AB. 21(本小題滿分12分)如圖,四棱錐P-ABCD的底面ABCD為菱形,∠ABC=60,PA⊥底面ABCD,PA=AB=2,E為PA的中點. (1)求證:PC∥平面EBD; (2)求三棱錐C-PAD的體積VC-PAD; (3)在側(cè)棱PC上是否存在一點M,滿足PC⊥平面MBD,若存在,求PM的長;若不存在,說明理由. (1)證明設AC,BD相交于點F,連接EF, ∵四棱錐P-ABCD底面ABCD為菱形, ∴F為AC的中點, 又∵E為PA的中點,∴EF∥PC. 又∵EF?平面EBD,PC?平面EBD, ∴PC∥平面EBD. (2)解∵底面ABCD為菱形,∠ABC=60, ∴△ACD是邊長為2的正三角形, 又∵PA⊥底面ABCD, ∴PA為三棱錐P-ACD的高, ∴VC-PAD=VP-ACD=13S△ACDPA=1334222=233. (3)解在側(cè)棱PC上存在一點M,滿足PC⊥平面MBD,下面給出證明. ∵四棱錐P-ABCD的底面ABCD為菱形, ∴AC⊥BD, ∵PA⊥平面ABCD,BD?平面ABCD, ∴BD⊥PA. ∵AC∩PA=A,∴BD⊥平面PAC, ∴BD⊥PC. 在△PBC內(nèi),可求PB=PC=22,BC=2, 在平面PBC內(nèi),作BM⊥PC,垂足為M, 設PM=x,則有8-x2=4-(22-x)2, 解得x=322<22. 連接MD,∵PC⊥BD,BM⊥PC,BM∩BD=B,BM?平面BDM,BD?平面BDM. ∴PC⊥平面BDM. ∴滿足條件的點M存在,此時PM的長為322. 22(本小題滿分12分)已知以點Ct,2t(t∈R,t≠0)為圓心的圓與x軸交于點O和點A,與y軸交于點O和點B,其中O為原點. (1)求證:△OAB的面積為定值; (2)設直線y=-2x+4與圓C交于點M,N,若OM=ON,求圓C的方程. (1)證明∵圓C過原點O, ∴OC2=t2+4t2. 設圓C的方程是(x-t)2+y-2t2=t2+4t2, 令x=0,得y1=0,y2=4t; 令y=0,得x1=0,x2=2t, ∴S△OAB=12OAOB=124t|2t|=4, 即△OAB的面積為定值. (2)解∵OM=ON,CM=CN, ∴OC垂直平分線段MN. ∵kMN=-2,∴kOC=12. ∴2t=12t,解得t=2或t=-2. 當t=2時,圓心C的坐標為(2,1),OC=5, 此時,C到直線y=-2x+4的距離d=15<5,圓C與直線y=-2x+4相交于兩點. 符合題意,此時,圓的方程為(x-2)2+(y-1)2=5. 當t=-2時,圓心C的坐標為(-2,-1),OC=5,此時C到直線y=-2x+4的距離d=95>5. 圓C與直線y=-2x+4不相交, 因此,t=-2不符合題意,舍去. 故圓C的方程為(x-2)2+(y-1)2=5.