第1課時(shí)直線與圓的位置關(guān)系核心必知1預(yù)習(xí)教材，問題導(dǎo)入根據(jù)以下提綱，預(yù)習(xí)教材P126P128，回答下列問題(1)怎樣用幾何法判斷直線與圓的位置關(guān)系？提示：利用圓心到直線的距離d與圓半徑的大小關(guān)系判斷它們之間的位置關(guān)系，若d>r，直線與圓相離；若dr，直線與圓相切；若d<r，直線與圓相交(2)如何用直線和圓的方程判斷它們之間的位置關(guān)系？提示：如果直線l和圓C的方程分別為：AxByC0，(xa)2(yb)2r2.可以用圓心C(a，b)到直線的距離d與圓C的半徑r的大小關(guān)系來判斷直線與圓的位置關(guān)系；把直線與圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為直線與圓的對(duì)應(yīng)方程組成的方程組的解的個(gè)數(shù)問題，這樣當(dāng)方程組無解時(shí)，直線與圓相離；方程組有一組解時(shí)，直線與圓相切；方程組有兩組解時(shí)，直線與圓相交(3)過平面一點(diǎn)P可作幾條圓的切線？提示：當(dāng)點(diǎn)P在圓內(nèi)時(shí)，切線不存在；當(dāng)點(diǎn)P在圓上時(shí)，只能作一條圓的切線；當(dāng)點(diǎn)P在圓外時(shí)，可作兩條圓的切線2歸納總結(jié)，核心必記直線AxByC0與圓(xa)2(yb)2r2的位置關(guān)系及判斷位置關(guān)系相交相切相離公共點(diǎn)個(gè)數(shù)兩個(gè)一個(gè)零個(gè)判定方法幾何法：設(shè)圓心到直線的距離ddrdrdr代數(shù)法：由消元得到一元二次方程的判別式000問題思考用“代數(shù)法”與“幾何法”判斷直線與圓的位置關(guān)系各有什么特點(diǎn)？提示：“幾何法”與“代數(shù)法”判斷直線與圓的位置關(guān)系，是從不同的方面，不同的思路來判斷的“幾何法”更多地側(cè)重于“形”，更多地結(jié)合了圖形的幾何性質(zhì)；_“代數(shù)法”則側(cè)重于“數(shù)”，它傾向于“坐標(biāo)”與“方程”課前反思通過以上預(yù)習(xí)，必須掌握的幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)(1)直線與圓有哪些位置關(guān)系？怎樣判斷？；(2)怎樣解決直線與圓相切及弦長問題？.“大漠孤煙直，長河落日?qǐng)A”是唐朝詩人王維的詩句，它描述了黃昏日落時(shí)分塞外特有的景象如果我們把太陽看成一個(gè)圓，地平線看成一條直線，觀察下面三幅太陽落山的圖片思考1圖片中，地平線與太陽的位置關(guān)系怎樣？提示：(1)相離；(2)相切；(3)相交思考2結(jié)合初中平面幾何中學(xué)過的直線與圓的位置關(guān)系，直線與圓有幾種位置關(guān)系？提示：3種，分別是相交、相切、相離思考3如何判斷直線與圓的位置關(guān)系？提示：可利用圓心到直線的距離d與半徑r的大小關(guān)系講一講1已知直線方程mxym10，圓的方程x2y24x2y10.當(dāng)m為何值時(shí)，圓與直線：(1)有兩個(gè)公共點(diǎn)；(2)只有一個(gè)公共點(diǎn)；(3)沒有公共點(diǎn)嘗試解答法一：將直線mxym10代入圓的方程化簡整理得，(1m2)x22(m22m2)xm24m40.則4m(3m4)當(dāng)>0，即m>0或m<時(shí)，直線與圓相交，即直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)0，即m0或m時(shí)，直線與圓相切，即直線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)<0，即<m<0時(shí)，直線與圓相離，即直線與圓沒有公共點(diǎn)法二：已知圓的方程可化為(x2)2(y1)24，即圓心為C(2,1)，半徑r2.圓心C(2,1)到直線mxym10的距離d .當(dāng)d<2，即m>0或m<時(shí)，直線與圓相交，即直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)d2，即m0或m時(shí)，直線與圓相切，即直線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)d>2，即<m<0時(shí)，直線與圓相離，即直線與圓沒有公共點(diǎn)判斷直線與圓位置關(guān)系的三種方法(1)幾何法：由圓心到直線的距離d與圓的半徑r的大小關(guān)系判斷(2)代數(shù)法：根據(jù)直線與圓的方程組成的方程組解的個(gè)數(shù)來判斷(3)直線系法：若直線恒過定點(diǎn)，可通過判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷，但有一定的局限性，必須是過定點(diǎn)的直線系練一練1已知圓C: x2y24x0，l是過點(diǎn)P(3,0)的直線，則()Al與C相交Bl與C相切Cl與C相離 D以上三個(gè)選項(xiàng)均有可能解析：選A將點(diǎn)P(3,0)的坐標(biāo)代入圓的方程，得3202439123<0，點(diǎn)P(3,0)在圓內(nèi)過點(diǎn)P的直線l必與圓C相交.講一講2過點(diǎn)A(4，3)作圓C：(x3)2(y1)21的切線，求此切線的方程思路點(diǎn)撥用待定系數(shù)法求解，但千萬不要忽視斜率不存在的情況嘗試解答(43)2(31)217>1，點(diǎn)A在圓外(1)若所求直線的斜率存在，設(shè)切線斜率為k，則切線方程為y3k(x4)因?yàn)閳A心C(3,1)到切線的距離等于半徑1，所以1，解得k.所以切線方程為y3(x4)，即15x8y360.(2)若切線斜率不存在，圓心C(3,1)到直線x4的距離也為1，這時(shí)直線與圓也相切，所以另一條切線方程是x4，綜上，所求切線方程為15x8y360或x4.圓的切線的求法(1)點(diǎn)在圓上時(shí)求過圓上一點(diǎn)(x0，y0)的圓的切線方程：先求切點(diǎn)與圓心連線的斜率k，再由垂直關(guān)系得切線的斜率為，由點(diǎn)斜式可得切線方程如果斜率為零或不存在，則由圖形可直接得切線方程xx0或yy0.(2)點(diǎn)在圓外時(shí)幾何法：設(shè)切線方程為yy0k(xx0)由圓心到直線的距離等于半徑，可求得k，也就得切線方程代數(shù)法：設(shè)切線方程為yy0k(xx0)，與圓的方程聯(lián)立，消去y后得到關(guān)于x的一元二次方程，由0求出k，可得切線方程特別注意：切線的斜率不存在的情況，不要漏解練一練2求過點(diǎn)(1，7)且與圓x2y225相切的直線方程解：由題意知切線斜率存在，設(shè)切線的斜率為k，則切線方程為y7k(x1)，即kxyk70.5.解得k或k.所求切線方程為y7(x1)或y7(x1)，即4x3y250或3x4y250.講一講3直線l經(jīng)過點(diǎn)P(5,5)并且與圓C: x2y225相交截得的弦長為4，求l的方程(鏈接教材P127例2)思路點(diǎn)撥設(shè)出點(diǎn)斜式方程，利用r、弦心距及弦長的一半構(gòu)成三角形可求嘗試解答據(jù)題意知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y5k(x5)，與圓C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，法一：聯(lián)立方程組消去y，得(k21)x210k(1k)x25k(k2)0.由10k(1k)24(k21)25k(k2)>0，解得k>0.又x1x2，x1x2，由斜率公式，得y1y2k(x1x2)|AB| 4.兩邊平方，整理得2k25k20，解得k或k2符合題意故直線l的方程為x2y50或2xy50.法二：如圖所示，|OH|是圓心到直線l的距離，|OA|是圓的半徑，|AH|是弦長|AB|的一半在RtAHO中，|OA|5，|AH|AB|42，則|OH|.，解得k或k2.直線l的方程為x2y50或2xy50.求直線與圓相交的弦長的兩種方法(1)幾何法：如圖1，直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)弦心距為d，圓的半徑為r，弦長為|AB|，則有2d2r2，即|AB|2.(2)代數(shù)法：如圖2所示，將直線方程與圓的方程聯(lián)立，設(shè)直線與圓的兩交點(diǎn)分別是A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|x1x2| |y1y2|(直線l的斜率k存在)練一練3求直線l：3xy60被圓C: x2y22y40截得的弦長解：法一：由直線l與圓C的方程，得消去y，得x23x20.設(shè)兩交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根與系數(shù)的關(guān)系有x1x23，x1x22，|AB|.弦AB的長為.法二：圓C: x2y22y40可化為x2(y1)25.其圓心坐標(biāo)為C(0,1)，半徑r，點(diǎn)C(0,1)到直線l的距離為d，所以半弦長.所以弦長|AB|.課堂歸納感悟提升1本節(jié)課的重點(diǎn)是理解直線和圓的三種位置關(guān)系，會(huì)用圓心到直線的距離來判斷直線與圓的位置關(guān)系，能解決直線與圓位置關(guān)系的綜合問題難點(diǎn)是解決直線與圓的位置關(guān)系2本節(jié)課要重點(diǎn)掌握的規(guī)律方法(1)直線與圓位置關(guān)系的判斷方法，見講1.(2)求圓的切線的方法，見講2.(3)求直線與圓相交時(shí)弦長的方法，見講3.3本節(jié)課的易錯(cuò)點(diǎn)是在解決直線與圓位置關(guān)系問題時(shí)易漏掉斜率不存在的情況，如講2、講3.課下能力提升(二十四)學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)練題組1直線與圓的位置關(guān)系1直線3x4y120與圓(x1)2(y1)29的位置關(guān)系是()A過圓心 B相切C相離 D相交但不過圓心解析：選D圓心(1，1)到直線3x4y120的距離d，0<d<r，所以相交但不過圓心2(2016洛陽高一檢測(cè))直線l: y1k(x1)和圓x2y22y0的關(guān)系是()A相離 B相切或相交C相交 D相切解析：選Cl過定點(diǎn)A(1,1)，1212210，點(diǎn)A在圓上，直線x1過點(diǎn)A且為圓的切線，又l斜率存在，l與圓一定相交，故選C.3求實(shí)數(shù)m的取值范圍，使直線xmy30與圓x2y26x50分別滿足：(1)相交；(2)相切；(3)相離解：圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式為(x3)2y24，故圓心(3,0)到直線xmy30的距離d，圓的半徑r2.(1)若相交，則d<r，即<2，所以m(，2)(2，)(2)若相切，則dr，即2，所以m2.(3)若相離，則d>r，即>2，所以m(2，2)題組2圓的切線問題4若直線yxa與圓x2y21相切，則a的值為()A. BC1 D1解析：選B由題意得1，所以a，故選B.5圓心為(3,0)且與直線xy0相切的圓的方程為()A(x)2y21 B(x3)2y23C(x)2y23 D(x3)2y29解析：選B由題意知所求圓的半徑r，故所求圓的方程為(x3)2y23，故選B.6(2015重慶高考)若點(diǎn)P(1,2)在以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的圓上，則該圓在點(diǎn)P處的切線方程為_解析：設(shè)切線斜率為k，則由已知得： kkOP1.k.切線方程為x2y50.答案：x2y507已知圓C：(x1)2(y2)22，過點(diǎn)P(2，1)作圓C的切線，切點(diǎn)為A，B.求直線PA，PB的方程解：切線的斜率存在，設(shè)切線方程為y1k(x2)，即kxy2k10.圓心到直線的距離等于，即，k26k70，解得k7或k1，故所求的切線方程為y17(x2)或y1(x2)，即7xy150或xy10.題組3圓的弦長問題8設(shè)A、B為直線yx與圓x2y21的兩個(gè)交點(diǎn)，則|AB|()A1 B. C. D2解析：選D直線yx過圓x2y21的圓心C(0,0)，則|AB|2.9過點(diǎn)(1，2)的直線l被圓x2y22x2y10截得的弦長為，求直線l的方程解：由題意，直線與圓要相交，斜率必須存在，設(shè)為k.設(shè)直線l的方程為y2k(x1)又圓的方程為(x1)2(y1)21，圓心為(1,1)，半徑為1，所以圓心到直線的距離d.解得k1或.所以直線l的方程為y2x1或y2(x1)，即xy10或17x7y30.能力提升綜合練1已知a，bR，a2b20，則直線l: axby0與圓x2y2axby0的位置關(guān)系是()A相交 B相切 C相離 D不能確定解析：選B聯(lián)立化簡得x2y20，則即直線l與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)(0,0)，因此它們相切，故選B.2(2015安徽高考)直線3x4yb與圓x2y22x2y10相切，則b的值是()A2或12 B2或12 C2或12 D2或12解析：選D因?yàn)橹本€3x4yb與圓心為(1,1)，半徑為1的圓相切，所以1b2或12，故選D.3(2014浙江高考)已知圓x2y22x2ya0截直線xy20所得弦的長度為4，則實(shí)數(shù)a的值是()A2B4C6D8解析：選B圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2(y1)22a，r22a，則圓心(1,1)到直線xy20的距離為.由22()22a，得a4.4若點(diǎn)P(2，1)為圓C：(x1)2y225的弦AB的中點(diǎn)，則直線AB的方程為()Axy10 B2xy30C2xy50 Dxy30解析：選D圓心是點(diǎn)C(1,0)，由CPAB，得kAB1，又直線AB過點(diǎn)P，所以直線AB的方程為xy30.5過點(diǎn)P(1,6)且與圓(x3)2(y2)24相切的直線方程是_解析：當(dāng)所求直線的斜率存在時(shí)，設(shè)所求直線的方程為y6k(x1)，則d2，解得k，此時(shí)，直線方程為： 4y3x270；當(dāng)所求直線的斜率不存在時(shí)，所求直線的方程為x1，驗(yàn)證可知，符合題意答案：4y3x270或x16直線l: yxb與曲線C: y有兩個(gè)公共點(diǎn)，則b的取值范圍是_解析：如圖所示，y是一個(gè)以原點(diǎn)為圓心，長度1為半徑的半圓，yxb是一個(gè)斜率為1的直線，要使兩圖有兩個(gè)交點(diǎn)，連接A(1,0)和B(0,1)，直線l必在AB以上的半圓內(nèi)平移，直到直線與半圓相切，則可求出兩個(gè)臨界位置直線l的b值，當(dāng)直線l與AB重合時(shí)，b1；當(dāng)直線l與半圓相切時(shí)，b.所以b的取值范圍是1，)答案：1，)7(1)圓C與直線2xy50切于點(diǎn)(2,1)，且與直線2xy150也相切，求圓C的方程；(2)已知圓C和y軸相切，圓心C在直線x3y0上，且被直線yx截得的弦長為2，求圓C的方程解：(1)設(shè)圓C的方程為(xa)2(yb)2r2.兩切線2xy50與2xy150平行，2r4，r2，r2，即|2ab15|10，r2，即|2ab5|10，又過圓心和切點(diǎn)的直線與切線垂直，由解得所求圓C的方程為(x2)2(y1)220.(2)設(shè)圓心坐標(biāo)為(3m，m)圓C和y軸相切，得圓的半徑為3|m|，圓心到直線yx的距離為|m|.由半徑、弦心距、半弦長的關(guān)系得9m272m2，m1，所求圓C的方程為(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)29.8已知P是直線3x4y80上的動(dòng)點(diǎn)，PA、PB是圓C: x2y22x2y10的兩條切線，A、B是切點(diǎn)(1)求四邊形PACB面積的最小值；(2)直線上是否存在點(diǎn)P，使BPA60，若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由解：(1)如圖，連接PC，由P點(diǎn)在直線3x4y80上，可設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為.所以S四邊形PACB2SPAC2|AP|AC|AP|.因?yàn)閨AP|2|PC|2|CA|2|PC|21，所以當(dāng)|PC|2最小時(shí)，|AP|最小因?yàn)閨PC|2(1x)2229.所以當(dāng)x時(shí)，|PC|9.所以|AP|min2.即四邊形PACB面積的最小值為2.(2)由(1)知圓心C到P點(diǎn)距離3為C到直線上點(diǎn)的最小值，若APB60易得需PC2，這是不可能的，所以這樣的點(diǎn)P是不存在的