09三視圖、表面積與體積計算1.如圖所示的幾何體,其表面積為(5+5),下部分圓柱的底面直徑與該圓柱的高相等,上部分圓錐的母線長為5,則該幾何體的正(主)視圖的面積為().A.4B.6C.8D.10解析設(shè)圓柱與圓錐底面半徑都為a,則圓柱高為2a.因為圓錐的母線長為5,所以幾何體的表面積為5a+a2+4a2=(5a+5a2)=(5+5),解得a=1,所以該幾何體的正(主)視圖的面積為三角形面積與正方形面積之和,為1225-1+22=6,故選B.答案B2.一個簡單幾何體的三視圖如圖所示,其中正(主)視圖是等腰直角三角形,側(cè)(左)視圖是邊長為2的等邊三角形,則該幾何體的體積等于.解析由三視圖還原可知,原圖形是底面邊長為2和3的矩形,一個側(cè)面是正三角形且垂直于底面的四棱錐,高為3,所以該幾何體的體積V=13233=2.答案23.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為().A.8+2B.16+4C.16+2D.8+4解析由三視圖可知,該幾何體由一個正方體截去兩個半圓柱而形成,則該幾何體的表面積為224-122+122=16+2,故選C.答案C4.在如圖所示的斜截圓柱中,已知圓柱底面的直徑為40 cm,母線最長為80 cm,最短為50 cm,則斜截圓柱的側(cè)面積S=cm2.解析如圖,假設(shè)還有一個同樣的斜截圓柱,拼在其上面,則構(gòu)成一個圓柱,于是S=12S圓柱側(cè)=1240(80+50)=2600 cm2.答案2600能力1能正確繪制幾何體的三視圖【例1】已知三棱柱HIG-EFD的底面為等邊三角形,且側(cè)棱垂直于底面,將該三棱柱截去三個角(如圖(1)所示,A,B,C分別是HIG三邊的中點)后得到的幾何體如圖(2),則該幾何體沿圖(2)所示方向的側(cè)(左)視圖為().(1)(2)解析因為平面DEHG平面EFD,所以幾何體的側(cè)(左)視圖為直角梯形,直角腰在側(cè)(左)視圖的左側(cè),故選A.答案A本題主要考查空間想象力和投影知識,借助直三棱柱,即可畫出側(cè)(左)視圖.將長方體ABCD-A1B1C1D1截去一個直三棱柱,兩個三棱錐(如圖(1)所示)后得到的幾何體如圖(2),該幾何體沿圖(2)所示方向的側(cè)(左)視圖為().(1)(2)解析側(cè)(左)視圖輪廓為長方形,故選B.答案B能力2會通過三視圖還原幾何體【例2】某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積V=().A.83B.103C.3D.203解析由三視圖還原幾何體,可知該幾何體為直三棱柱截去一個三棱錐后所得的部分,其中直三棱柱的底面是直角邊為2的等腰直角三角形,高為2,三棱錐的底面與棱柱的底面相同,高為1,故該幾何體的體積V=V柱-V錐=103,故選B.答案B本題主要考查空間想象能力和體積公式.先還原出空間幾何體,再利用V=V柱-V錐求體積.如圖,網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長為1,實線畫出的是某幾何體的三視圖,則圍成該幾何體的所有面中的最大面的面積為().A.272B.95C.9292D.25解析由三視圖可知,該幾何體為三棱錐,如圖所示.由題意知,AB=6,BC=32,BD=CD=35,AD=9,AC=36.因為ABC和ABD為同高的直角三角形,且BC<BD,所以SABC<SABD=95,SBCD=66-36-3312=1312.因為cosADC=DC2+AD2-AC22DCAD=45+81-542359=435,所以sinADC=2935,所以SACD=129352935=9292,故選C.答案C能力3會計算幾何體的表面積【例3】如圖所示的是某幾何體的三視圖,則該幾何體的外接球的表面積為().A.24B.36C.40D.400解析該幾何體是底面為等腰三角形的直三棱柱,由圖可知,底面是頂角為120的等腰ABC,側(cè)棱AA1垂直底面,AC=23,AA1=26,AB=3sin60=2.設(shè)ABC外接圓的半徑為r,則SABC=12AB2sin 120=AB2AC4r,得r=2.由直三棱柱的性質(zhì)可知,球心到底面外接圓圓心的距離d=AA12=6.由球體的性質(zhì)得R2=d2+r2=10,即外接球的表面積為40,故選C.答案C涉及球與棱柱、棱錐的切和接問題時,一般過球心及多面體中的特殊點(一般為接、切點)或線作截面,把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題,再利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系,或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖,確定球心的位置,弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系,列方程(組)求解.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為().A.14+24B.12+32C.12+24D.14+32解析由三視圖可知該空間幾何體為12個圓柱和12個球和1個長方體的組合體,S表=12S球+12S圓柱側(cè)面+12S圓柱底面+S長方體-S長方體的一個底面-12S圓柱底面=12422+12222+1222+42+2(22+24)-1222=12+32,故選B.答案B能力4會計算幾何體的體積【例4】如圖所示的是一個幾何體的三視圖,則該幾何體的體積為().A.23B.43C.233D.433解析由三視圖可知幾何體為直三棱柱,直觀圖如圖所示.其中底面為直角三角形,AD=2,AF=3,高AB=2.該幾何體的體積V=12232=23,故選A.答案A先還原出幾何體,并抓住幾何體特征,再利用體積公式求解.已知一個四棱錐的三視圖如圖所示,則此四棱錐的體積為.解析該幾何體是如圖所示的四棱錐P-ABCD,其中PA底面ABCD,底面四邊形由直角梯形ABED與直角DCE組成,ABDE,ABBC,AB=1,DE=2,BE=EC=1,PA=2.S底面ABCD=1+221+1221=52,V=13522=53.答案53一、選擇題1.如圖所示的是一個空間幾何體的三視圖,則該幾何體的體積為().A.43B.2C.6D.83解析如圖,該幾何體還原后是一個底面為直角三角形的三棱錐S-ABD,VS-ABD=1222132=43,故選A.答案A2.如圖所示的是一個空間幾何體的三視圖,則該幾何體的體積為().A.423B.4C.83D.163解析如圖,該幾何體還原后是一個底面為矩形的四棱錐A1-ABC1D1.連接A1D交AD1于點O,因為A1DAD1,A1DAB,所以A1D平面ABC1D1,所以四棱錐的高H為A1O,AB=2,BC1=22,A1O=2,所以VA1-ABC1D1=222132=83, 故選C.答案C3.如圖所示的是一個空間幾何體的三視圖,則該幾何體的最長棱長為().A.5B.3C.22D.23解析如圖,該幾何體還原后是一個底面為直角三角形的三棱錐C1-MNC.由圖可知棱C1M最長,且C1M=MC2+CC12=MB2+BC2+CC12=3,故選B.答案B4.如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖,則這個幾何體的外接球體積為().A.4B.43C.43D.83解析由題得幾何體還原后為四棱錐P-ABCD,底面ABCD是邊長為2的正方形,且PA底面ABCD,PA=2.把幾何體放在邊長為2的正方體中,P,A,B,C,D恰好是正方體的五個頂點,所以這個正方體的外接球和四棱錐的外接球是同一個球,所以四棱錐的外接球半徑為正方體的體對角線的一半,即3,所以幾何體外接球的體積V=43(3)3=43,故答案為B.答案B5.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積V=().A.83B.103C.3D.203解析如圖,由三視圖還原幾何體,可知該幾何體為直三棱柱截去兩個三棱錐后所得的部分,其中直三棱柱的底面是直角邊為2的等腰直角三角形,高為2,三棱錐的底面與棱柱的底面相同,高為1,故該幾何體的體積V=V柱-2V錐=83,故選A.答案A6.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為().A.24+(5-2)B.24C.24+(22-2)D.16-2解析該幾何體由一個正方體挖去兩個相同的圓錐而形成,由三視圖可知正方體的棱長為2,圓錐的底面圓的半徑為1,母線為2,所以該幾何體的表面積為正方體的表面積減去兩個圓錐的底面的面積再加上兩個圓錐的側(cè)面積,因此S=226-2+122=24+(22-2),故選C.答案C7.將一個長方體去掉一個小長方體,所得幾何體的正(主)視圖與側(cè)(左)視圖如圖所示,則該幾何體的俯視圖為().解析由正(主)視圖可以看出去掉的小長方體在正視圖的左上角,從側(cè)(左)視圖可以看出去掉的小長方體在側(cè)(左)視圖的右上角,故選C.答案C8.已知在四面體ABCD中,AB=CD=34,AC=BD=37,AD=BC=29,則四面體ABCD的外接球的表面積為().A.25B.50C.100D.200解析此四面體可看成一個長方體的一部分,長方體的長、寬、高分別為21、4、13,四面體ABCD如圖所示,所以此四面體的外接球的直徑為長方體的體對角線長,即2R=(21)2+(13)2+42=50,所以外接球的表面積為50,故選B.答案B二、填空題9.如圖,一個正四棱臺的上底面的邊長為32,下底面的邊長為52,高為8,則其外接球的表面積為.解析如圖所示,作出正四棱臺的最大軸截面,由正四棱臺的特征知O1C為四棱臺上底面的外接圓半徑,O2B為四棱臺下底面的外接圓半徑,OC=OB=R,R為球的半徑.因為上、下底面都為正方形,所以O(shè)1C=3,O2B=5,O1O2=h=8.又O1O2+O1C2=R2,O2O2+O2B2=R2,O1O+O2O=O1O2=8,聯(lián)立三式解得O1O=5,O2O=3,R2=34,所以S球=434=136.答案13610.一個幾何體的三視圖如圖所示,則這個幾何體的體積為.解析由三視圖知幾何體的左邊是半圓錐,右邊是四棱錐,如圖所示.其中圓錐的底面半徑為1,高為3,四棱錐的底面是邊長為2的正方形,高為3.所以幾何體的體積為1213123+13223=36+433.答案36+43311.如圖所示的是一個空間幾何體的三視圖,則該幾何體的表面積為.解析該幾何體為一個半球和一個正四棱錐,球的半徑為32,四棱錐的底面邊長為6,高為4,四棱錐的側(cè)面為等腰三角形,側(cè)面的斜高為5,S表=S半球+S四棱錐側(cè)面+S圓-S正=2(32)2+4652+(32)2-36=54+24.答案54+2412.如圖,已知球O的面上四點A、B、C、D,DA平面ABC,ABBC,DA=AB=BC=3,則球O的體積等于.解析由題意知,DAC,DBC都是直角三角形,且有公共的斜邊,所以DC邊的中點到點B和A的距離都等于DC的一半,所以DC邊的中點是球心并且半徑為線段DC長的一半.因為DC=DA2+AB2+BC2=3,所以球的體積V=43323=92.答案92三、解答題13.如圖所示的是一個幾何體的三視圖.(1)求該幾何體的表面積和體積.(2)求該幾何體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比.解析(1)如圖所示,由三視圖知該幾何體為正四面體B1-ACD1,AD1=AC=CD1=B1A=B1C=B1D1=42,S表=4SACD1=434(42)2=323.設(shè)等邊ACD1的中心為O,連接B1O,OC,由正四面體的特征知,B1O是正四面體的高,OC是等邊三角形ACD1的外接圓的半徑,所以B1OC為直角三角形,OC=463.因為OC2+B1O2=B1C2,所以B1O=833,VB1-ACD1=1383383=643.(2)正四面體的外接球即正方體的外接球,外接球的直徑為正方體的體對角線,所以R1=23.設(shè)正四面體B1-ACD1的內(nèi)切球的球心為O1,半徑為R2,連接O1B1,O1A,O1C,O1D1,則VB1-ACD1=4VO1-ACD1=41383R2=643,解得R2=233,所以R1R2=3.