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微專題七　與圓有關(guān)的計(jì)算與證明 姓名：________　班級(jí)：________　用時(shí)：______分鐘 1．若將半徑為12 cm的半圓形紙片圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐的底面圓半徑是( ) A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．6 cm 2．如圖，在44的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，若將△AOC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到△BOD，則的長(zhǎng)為( ) A．π B.π C．3π D．6π 3. 如圖，已知⊙O的半徑是2，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，若四邊形OABC為菱形，則圖中陰影部分的面積為( ) A.π－2 B.π－ C.π－2 D.π－ 4．一般地，如果在一次試驗(yàn)中，結(jié)果落在區(qū)域D中每一個(gè)點(diǎn)都是等可能的，并用A表示“試驗(yàn)結(jié)果落在區(qū)域D中的某個(gè)小區(qū)域M中”這個(gè)事件，那么事件A發(fā)生的概率為PA＝.如圖，現(xiàn)在往等邊三角形ABC內(nèi)投入一個(gè)點(diǎn)，則該點(diǎn)落在△ABC的內(nèi)切圓中的概率是______. 5．如圖，分別以等邊三角形的每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)間作一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形稱為勒洛三角形．若等邊三角形的邊長(zhǎng)為a，則勒洛三角形的周長(zhǎng)為________． 6．我國(guó)魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立了“割圓術(shù)”，認(rèn)為圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)無限增加時(shí)，周長(zhǎng)就越接近圓周長(zhǎng)，由此求得了圓周率π的近似值．設(shè)半徑為r的圓內(nèi)接正n邊形的周長(zhǎng)為L(zhǎng)，圓的直徑為d.如圖所示，當(dāng)n＝6時(shí)，π≈＝＝3，那么當(dāng)n＝12時(shí)，π≈＝____________．(結(jié)果精確到0.01，參考數(shù)據(jù)：sin 15＝cos 75≈0.259) 7．如圖，⊙O的半徑是2，直線l與⊙O相交于A，B兩點(diǎn)，M，N是⊙O上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在直線l的異側(cè)，若∠AMB＝45，則四邊形MANB面積的最大值是______. 8．如圖1是小明制作的一副弓箭，點(diǎn)A，D分別是弓臂BAC與弓弦BC的中點(diǎn)，弓弦BC＝60 cm.沿AD方向拉動(dòng)弓弦的過程中，假設(shè)弓臂BAC始終保持圓弧形，弓弦不伸長(zhǎng)．如圖2，當(dāng)弓箭從自然狀態(tài)的點(diǎn)D拉到點(diǎn)D1時(shí)，有AD1＝30 cm，∠B1D1C1＝120. (1)圖2中，弓臂兩端B1，C1的距離為________cm. (2)如圖3，將弓箭繼續(xù)拉到點(diǎn)D2，使弓臂B2AC2為半圓，則D1D2的長(zhǎng)為______________cm. 9．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB為直徑，∠BAC的平分線交⊙O于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥AC分別交AC、AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，F(xiàn). (1)求證：EF是⊙O的切線； (2)若AC＝4，CE＝2，求的長(zhǎng)度．(結(jié)果保留π) 10.如圖，已知AB是圓O的直徑．弦CD⊥AB，垂足為H.與AC平行的圓O的一條切線交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，切點(diǎn)為F，連結(jié)AF交CD于點(diǎn)N. (1)求證：CA＝CN； (2)連結(jié)DF，若cos∠DFA＝，AN＝2，求圓O的直徑的長(zhǎng)度． 11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝x－2與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，P是直線AB上一動(dòng)點(diǎn)，⊙P的半徑為1. (1)判斷原點(diǎn)O與⊙P的位置關(guān)系，并說明理由； (2)當(dāng)⊙P過點(diǎn)B時(shí)，求⊙P被y軸所截得的劣弧的長(zhǎng)； (3)當(dāng)⊙P與x軸相切時(shí)，求出切點(diǎn)的坐標(biāo)． 參考答案 1．D　2.B　3.C 4.π　5.πa　6.3.11　7.4 8．(1)30　(2)10－10 9．解：(1)證明：如圖，連結(jié)OD. ∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA. ∵AD平分∠EAF，∴∠DAE＝∠DAO， ∴∠DAE＝∠ADO，∴OD∥AE. ∵AE⊥EF，∴OD⊥EF， ∴EF是⊙O的切線． (2)如圖，作OG⊥AE于點(diǎn)G，連結(jié)BD， 則AG＝CG＝AC＝2，∠OGE＝∠E＝∠ODE＝90， ∴四邊形ODEG是矩形， ∴OA＝OB＝OD＝CG＋CE＝2＋2＝4，∠DOG＝90. ∵∠DAE＝∠BAD，∠AED＝∠ADB＝90， ∴△ADE∽△ABD， ∴＝，即＝， ∴AD2＝48. 在Rt△ABD中，BD＝＝4. 在Rt△ABD中，∵AB＝2BD， ∴∠BAD＝30， ∴∠BOD＝60， 則的長(zhǎng)度為＝. 10．(1)證明：如圖，連結(jié)OF. ∵M(jìn)E與圓O相切于點(diǎn)F，∴OF⊥ME， 即∠OFN＋∠MFN＝90. ∵∠OFN＝∠OAN，∠OAN＋∠ANH＝90， ∴∠MFN＝∠ANH.(等量代換) 又∵M(jìn)E∥AC，∴∠MFN＝∠NAC， ∴∠ANH＝∠NAC.∴CA＝CN. (2)解：如圖，連結(jié)OC， ∵cos ∠DFA＝， ∴cos C＝. 在直角△AHC中，設(shè)AC＝5a，HC＝4a， 則AH＝3a. 由(1)知，CA＝CN，∴NH＝a. 在直角△ANH中，利用勾股定理得AH2＋NH2＝AN2， 即(3a)2＋a2＝(2)2，解得a＝2. 如圖，連結(jié)OC，在直角△OHC中，利用勾股定理得OH2＋HC2＝OC2. 設(shè)圓O的半徑為R，則(R－6)2＋82＝R2，解得2R＝， ∴圓O的直徑長(zhǎng)度為2R＝. 11．解：(1)原點(diǎn)O在⊙P外． 理由：∵直線y＝x－2與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)， ∴點(diǎn)A(2，0)，點(diǎn)B(0，－2)． 在Rt△OAB中，tan∠OBA＝＝， ∴∠OBA＝30. 如圖，過點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H. 在Rt△OBH中，OH＝OBsin∠OBA＝. ∵>1，∴原點(diǎn)O在⊙P外． (2)如圖，當(dāng)⊙P過點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P在y軸右側(cè)時(shí)， ∵PB＝PC，∴∠PCB＝∠OBA＝30， ∴⊙P被y軸所截得的劣弧所對(duì)的圓心角為180－30－30＝120， ∴弧長(zhǎng)為＝. 同理，當(dāng)⊙P過點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P在y軸左側(cè)時(shí)，弧長(zhǎng)同樣為. ∴當(dāng)⊙P過點(diǎn)B時(shí)，⊙P被y軸所截得的劣弧長(zhǎng)為. (3)如圖，當(dāng)⊙P與x軸相切時(shí)，且位于x軸下方時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為D，連結(jié)DP，則PD⊥x軸， ∴PD∥y軸， ∴∠APD＝∠ABO＝30， ∴在Rt△DAP中，AD＝DPtan ∠DPA＝1tan 30＝， ∴OD＝OA－AD＝2－， ∴此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2－，0)． 當(dāng)⊙P與x軸相切時(shí)，且位于x軸上方時(shí)，根據(jù)對(duì)稱性可以求得此時(shí)切點(diǎn)的坐標(biāo)為(2＋，0)． 綜上所述，當(dāng)⊙P與x軸相切時(shí)，切點(diǎn)的坐標(biāo)為(2－，0)或(2＋，0)．