第7課時(shí)離散型隨機(jī)變量的綜合應(yīng)用基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)(水平一)1.已知X的分布列為X-101P12m16有以下三個(gè)結(jié)論:E(X)=-13;D(X)=119;P(X=0)=13.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為().A.0B.1C.2D.3【解析】由分布列知P(X=0)=13,E(X)=(-1)12+116=-13,D(X)=-1+13212+0+13213+1+13216=59.故正確.【答案】C2.已知離散型隨機(jī)變量的分布列如下:012P0.33k4k若隨機(jī)變量=2+1,則的數(shù)學(xué)期望為().A.1.1B.3.2C.2.2D.4.4【解析】由0.3+3k+4k=1得k=0.1,E()=00.3+10.3+20.4=1.1,E()=2E()+1=21.1+1=3.2.【答案】B3.某運(yùn)動(dòng)員投籃命中率為0.6,他重復(fù)投籃5次,若命中一次得10分,沒命中不得分,命中次數(shù)為X,得分為Y,則E(X),D(Y)分別為().A.0.6,60B.3,12C.3,120D.3,1.2【解析】由題意知XB(5,0.6),Y=10X,E(X)=50.6=3,D(X)=50.60.4=1.2.D(Y)=100D(X)=120,故選C.【答案】C4.某公司的班車在7:00,8:00,8:30發(fā)車,若小明一周內(nèi)每天都在7:50至8:30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車,且到達(dá)發(fā)車站的時(shí)刻是隨機(jī)的,則他連續(xù)5天等車時(shí)間不超過10分鐘的期望和方差分別是().A.54和52B.52和54C.12和34D.34和12【解析】如圖,畫出時(shí)間軸.小明到達(dá)發(fā)車站的時(shí)刻會(huì)隨機(jī)地落在圖中線段AB上,而當(dāng)他到達(dá)發(fā)車站的時(shí)刻落在線段AC或DB上時(shí),才能保證他等車的時(shí)間不超過10分鐘.根據(jù)幾何概型,所求概率P=10+1040=12.因?yàn)樾∶饕恢軆?nèi)每天等車時(shí)間不超過10分鐘的概率都相同,所以小明連續(xù)5天等車時(shí)間不超過10分鐘的天數(shù)符合二項(xiàng)分布.依題意可得XB5,12.所以E(X)=np=512=52,D(X)=np(1-p)=51212=54.【答案】B5.隨機(jī)變量的取值為0,1,2.若P(=0)=15,E()=1,則D()=.【解析】設(shè)P(=1)=p,則P(=2)=45-p.由E()=015+1p+245-p=1,得p=35.故D()=(0-1)215+(1-1)235+(2-1)215=25.【答案】256.某項(xiàng)游戲活動(dòng)的獎(jiǎng)勵(lì)分成一、二、三等獎(jiǎng),且相應(yīng)獲獎(jiǎng)概率是以a1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,相應(yīng)獎(jiǎng)金是以700元為首項(xiàng),-140元為公差的等差數(shù)列,則參與該游戲獲得獎(jiǎng)金的期望為元.【解析】a1+2a1+4a1=1,a1=17,E()=17700+27560+47420=500(元).【答案】5007.某師大附中高一研究性學(xué)習(xí)小組,在某一高速公路服務(wù)區(qū),從小型汽車中按進(jìn)服務(wù)區(qū)的先后,以每間隔10輛就抽取1輛的抽樣方法抽取20名駕駛員進(jìn)行詢問調(diào)查.將他們在某段高速公路的車速(km/h)分成六段:70,75),75,80),80,85),85,90),90,95),95,100,統(tǒng)計(jì)后得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)此研究性學(xué)習(xí)小組在采集中,用到的是什么抽樣方法?并求這20輛小型汽車車速的眾數(shù)和中位數(shù)的估計(jì)值;(2)若從車速在80,90)內(nèi)的車輛中任意抽取3輛,求車速在80,85)和85,90)內(nèi)都有車輛的概率;(3)若從車速在90,100內(nèi)的車輛中任意抽取3輛,求車速在90,95)內(nèi)的車輛數(shù)的數(shù)學(xué)期望.【解析】(1)此研究性學(xué)習(xí)小組在采樣中,用到的抽樣方法是系統(tǒng)抽樣.這20輛小型汽車車速的眾數(shù)的估計(jì)值為87.5 km/h,中位數(shù)的估計(jì)值為87.5 km/h.(2)車速在80,90)內(nèi)的車輛有(0.2+0.3)20=10輛,其中車速在80,85)和85,90)內(nèi)的車輛分別有4輛和6輛.設(shè)事件Ai為“車速在80,85)內(nèi)有i輛車”,事件Bj為“車速在85,90)內(nèi)有j輛車”,事件A為“車速在80,85)和85,90)內(nèi)都有車輛”,P(A)=P(A2B1)+P(A1B2)=C42C61C103+C41C62C103=45.(3)車速在90,100內(nèi)的車輛共有7輛,車速在90,95)和95,100內(nèi)的車輛分別有5輛和2輛.若從車速在90,100內(nèi)的車輛中任意抽取3輛,設(shè)車速在90,95)內(nèi)的車輛數(shù)為X,則X的可能取值為1,2,3.P(X=1)=C51C22C73=17,P(X=2)=C52C21C73=47,P(X=3)=C53C20C73=27.故X的分布列為X123P174727車速在90,95)內(nèi)的車輛數(shù)的數(shù)學(xué)期望為E(X)=117+247+327=157.拓展提升(水平二)8.已知隨機(jī)變量X的分布列為XmnP13a若E(X)=2,則D(X)的最小值為().A.0B.2C.4D.無法計(jì)算【解析】依題意有a=1-13=23,所以E(X)=13m+23n=2,即m+2n=6. 又D(X)=13(m-2)2+23(n-2)2=2n2-8n+8=2(n-2)2,所以當(dāng)n=2時(shí),D(X)有最小值0.【答案】A9.從一批含有13件正品、2件次品的產(chǎn)品中不放回地抽取3次,每次抽取1件,設(shè)抽取的次品數(shù)為,則E(5+1)=().A.2B.1C.3D.4【解析】的可能取值為0,1,2,P(=0)=C133C153=2235,P(=1)=C21C132C153=1235,P(=2)=C22C131C153=135.所以的分布列為012P22351235135E()=02235+11235+2135=25,所以E(5+1)=5E()+1=525+1=3.【答案】C10.退休年齡延遲是平均預(yù)期壽命延長和人口老齡化背景下的一種趨勢.某機(jī)構(gòu)為了了解某城市市民的年齡構(gòu)成,從該城市市民中隨機(jī)抽取年齡段在20,80內(nèi)的600人進(jìn)行調(diào)查,并按年齡層次繪制頻率分布直方圖,如圖所示.若規(guī)定年齡分布在60,80內(nèi)的人為“老年人”,將上述人口分布的頻率視為該城市年齡段在20,80的人口分布的概率.從該城市年齡段在20,80內(nèi)的市民中隨機(jī)抽取3人,記抽到“老年人”的人數(shù)為X,則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為.【解析】由頻率分布直方圖可知,“老年人”所占頻率為15,從該城市年齡段在20,80內(nèi)的市民中隨機(jī)抽取3人,抽到“老年人”的概率為15.隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布,且XB3,15,隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=315=35.【答案】3511.如圖,從A1(1,0,0),A2(2,0,0),B1(0,1,0),B2(0,2,0),C1(0,0,1),C2(0,0,2)這6個(gè)點(diǎn)中隨機(jī)選取3個(gè)點(diǎn),將這3個(gè)點(diǎn)及原點(diǎn)O兩兩相連構(gòu)成一個(gè)“立體”,記該“立體”的體積為隨機(jī)變量V(如果選取的3個(gè)點(diǎn)與原點(diǎn)在同一個(gè)平面內(nèi),此時(shí)“立體”的體積V=0).(1)求V=0的概率;(2)求V的分布列及數(shù)學(xué)期望E(V).【解析】(1)從6個(gè)點(diǎn)中隨機(jī)選取3個(gè)點(diǎn),共有C63=20種選法,選取的3個(gè)點(diǎn)與原點(diǎn)O在同一個(gè)平面上的選法有C31C43=12種,故P(V=0)=1220=35.(2)V的所有可能取值為0,16,13,23,43,P(V=0)=35,PV=16=C33C63=120,PV=13=C32C63=320,PV=23=C32C63=320,PV=43=C33C63=120.因此V的分布列為V016132343P35120320320120故E(V)=035+16120+13320+23320+43120=940.