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第四節(jié)　二次函數的基本性質 姓名：________　班級：________　限時：______分鐘 1．(xx廈門質檢)拋物線y＝ax2＋2x＋c的對稱軸是直線(　　) A．x＝－ B．x＝－ C．x＝ D．x＝ 2．(xx泰安)二次函數y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖所示，則反比例函數y＝與一次函數y＝ax＋b在同一坐標系內的大致圖象是(　　) 3．(xx山西)用配方法將二次函數y＝x2－8x－9化為y＝a(x－h(huán))2＋k的形式為(　　) A．y＝(x－4)2＋7 B．y＝(x－4)2－25 C．y＝(x＋4)2＋7 D．y＝(x＋4)2－25 4．(xx陜西)對于拋物線y＝ax2＋(2a－1)x＋a－3，當x＝1時，y＞0，則這條拋物線的頂點一定在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．(xx黃岡)當a≤x≤a＋1時，函數y＝x2－2x＋1的最小值為1，則a的值為(　　) A．－1 B．2 C．0或2 D．－1或2 6．(xx紹興)若拋物線y＝x2＋ax＋b與x軸兩個交點間的距離為2，稱此拋物線為定弦拋物線，已知某定弦拋物線的對稱軸為直線x＝1，將此拋物線向左平移2個單位，再向下平移3個單位，得到的拋物線過點(　　) A. (－3，－6) B. (－3，0) C. (－3，－5) D. (－3，－1) 7．(xx河北)對于題目“一段拋物線L：y＝－x(x－3)＋c(0≤x≤3)與直線l：y＝x＋2有唯一公共點，若c為整數，確定所有c的值，”甲的結果是c＝1，乙的結果是c＝3或4，則(　　) A．甲的結果正確 B．乙的結果正確 C．甲、乙的結果合在一起才正確 D．甲、乙的結果合在一起也不正確 8. (xx安順)已知二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象如圖，分析下列四個結論：①abc＜0；②b2－4ac＞0；③3a＋c＞0；④(a＋c)2＜b2，其中正確的結論有(　　) A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 9．(xx濰坊)已知二次函數y＝－(x－h(huán))2(h為常數)，當自變量x的值滿足2≤x≤5時，與其對應的函數值y的最大值為－1，則h的值為(　　) A．3或6 B．1或6 C．1或3 D．4或6 10．(xx天津)已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數，a≠0)經過點(－1，0)，(0，3)，其對稱軸在y軸右側，有下列結論： ①拋物線經過點(1，0)； ②方程ax2＋bx＋c＝2有兩個不相等的實數根； ③－3＜a＋b＜3. 其中，正確結論的個數為：(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 11 .(xx衡陽)如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸交于點A(－1，0)，頂點坐標(1，n)，與y軸的交點在(0，2)，(0，3)之間(包含端點)，則下列結論：①3a＋b＜0；②－1≤a≤－；③對于任意實數m，a＋b≥am2＋bm總成立；④關于x的方程ax2＋bx＋c＝n－1有兩個不相等的實數根．其中結論正確的個數為(　　) A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個 12.(xx三明質檢)二次函數y＝x2＋mx＋m－2的圖象與x軸有________個交點． 13．(xx南平質檢)將拋物線y＝3(x＋1)2－2向右平移3個單位，再向上平移4個單位，那么得到的拋物線對應的函數表達式為________． 14．(xx孝感)如圖，拋物線y＝ax2與直線y＝bx＋c的兩個交點坐標分別為A(－2，4)，B(1，1)，則方程ax2＝bx＋c的解是________． 15．(xx南充節(jié)選)如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常數，a≠0)與x軸交于A，B兩點，頂點P(m，n)．給出下列結論： ①2a＋c＜0； ②若(－，y1)，(－，y2)，(，y3)在拋物線上，則y1＞y2＞y3； ③關于x的方程ax2＋bx＋k＝0有實數解，則k＞c－n. 其中正確結論是________． 16．(xx云南省卷)已知二次函數y＝－x2＋bx＋c的圖象經過A(0，3)，B(－4，－)兩點， (1)求b、c的值； (2)二次函數y＝－x2＋bx＋c的圖象與x軸是否有公共點？若有，求公共點的坐標；若沒有，請說明理由． 1．已知二次函數的圖象以A(－1，4)為頂點，且過點B(2，－5)． (1)求該函數的關系式； (2)求該函數圖象與坐標軸的交點坐標； (3)將該函數圖象向右平移，當圖象經過原點時，A、B兩點隨圖象移至A′、B′，求△O A′B′的面積． 2．(xx杭州)設二次函數y＝ax2＋bx－(a＋b)(a，b是常數，a≠0)． (1)判斷該二次函數圖象與x軸的交點的個數，說明理由； (2)若該二次函數圖象經過A(－1，4)，B(0，－1)，C(1，1)三個點中的其中兩個點，求該二次函數的表達式； (3)若a＋b＜0，點P(2，m)(m＞0)在該二次函數圖象上，求證：a＞0. 3．(xx漳州質檢)已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常數，a≠0)的對稱軸為直線x＝－2. (1)b＝________；(用含a的代數式表示) (2)當a＝－1時，若關于x的方程ax2＋bx＋c＝0在－3＜x＜1的范圍內有解，求c的取值范圍； (3)若拋物線過點(－2，－2)，當－1≤x≤0時，拋物線上的點到x軸距離的最大值為4，求a的值． 4．(xx杭州)在平面直角坐標系中，設二次函數y1＝(x＋a)(x－a－1)，其中a≠0. (1)若函數y1的圖象經過點(1，－2)，求函數y1的表達式； (2)若一次函數y2＝ax＋b的圖象與y1的圖象經過x軸上同一點，探究實數a，b滿足的關系式； (3)已知點P(x0，m)和Q(1，n)在函數y1的圖象上，若m＜n，求x0的取值范圍． 5．(xx南通)在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y＝x2－2(k－1)x＋k2－k(k為常數)． (1)若拋物線經過點(1，k2)，求k的值； (2)若拋物線經過點(2k，y1)和點(2，y2)，且y1＞y2，求k的取值范圍； (3)若將拋物線向右平移1個單位長度得到新拋物線，當1≤x≤2時，新拋物線對應的函數有最小值－，求k的值． 參考答案 【基礎訓練】 1．A　2.C　3.B　4.C　5.D　6.B　7.D　8.B　9.B　10.C 11．D　12.2　13.y＝3(x－2)2＋2　14.x1＝－2，x2＝1 15．②　【解析】 ∵－＜，a＞0，∴a＞－b，∵x＝－1時，y＞0，∴a－b＋c＞0，∴2a＋c＞a－b＋c＞0，故①錯誤；若(－，y1)，(－，y2)，(，y3)在拋物線上，由圖象法可知，y1＞y2＞y3，故②正確；∵拋物線與直線y＝t有交點時，方程ax2＋bx＋c＝t有解，t≥n，∴ax2＋bx＋c－t＝0有實數解，要使得ax2＋bx＋k＝0有實數解，則k＝c－t≤c－n，故③錯誤，故答案為②. 16．解： (1)將點A(0，3)，B(－4，－ )代入二次函數解析式，得 解得. (2)由(1)知，二次函數解析式為y＝－x2＋x＋3，令y＝0，得－x2＋x＋3＝0， 整理得x2－6x－16＝0， 解得x1＝－2，x2＝8， 即該二次函數的圖象與x軸有兩個不同交點，坐標分別為(－2，0)，(8，0)． 【拔高訓練】 1．解：(1)設函數關系式為頂點式y＝a(x＋1)2＋4. 將B(2，－5)代入得：a＝－1. ∴該函數的解析式為：y＝－(x＋1)2＋4＝－x2－2x＋3. (2)令x＝0，得y＝3，因此拋物線與y軸的交點為：(0，3)． 令y＝0，則－x2－2x＋3＝0，解得：x1＝－3，x2＝1，即拋物線與x軸的交點為：(－3，0)，(1，0)． (3)設拋物線與x軸的交點為M、N(M在N的左側)，由(2)知：M(－3，0)，N(1，0)． 當函數圖象向右平移經過原點時，M與O重合，因此拋物線向右平移了3個單位． 故A′(2，4)，B′(5，－5)，如解圖． ∴S△OA′B′＝(2＋5)9－24－55＝15. 2．(1)解：由題意Δ＝b2－4a[－(a＋b)]＝b2＋4ab＋4a2＝(2a＋b)2≥0， ∴二次函數圖象與x軸的交點的個數有兩個或一個． (2)解：∵當x＝1時，y＝a＋b－(a＋b)＝0， ∴拋物線不經過點C. 把點A(－1，4)，B(0，－1)分別代入，得 解得 ∴拋物線對應的函數解析式為y＝3x2－2x－1. (3)證明：當x＝2時， m＝4a＋2b－(a＋b)＝3a＋b＞0①， ∵a＋b＜0，∴－a－b＞0②， ①②相加得：2a＞0，∴a＞0. 3．解：(1)4a； (2)當a＝－1時，∵關于x的方程－x2－4x＋c＝0在－3＜x＜1的范圍內有解，即關于x的方程x2＋4x－c＝0在－3＜x＜1的范圍內有解， ∴根的判別式＝16＋4c≥0，即c≥－4， 拋物線y＝x2＋4x＝(x＋2)2－4與直線y＝c在－3＜x＜1的范圍內有交點． 當x＝－2時，y＝－4；當x＝1時，y＝5. 由圖象可知：－4≤c＜5. (3)∵拋物線y＝ax2＋4ax＋c過點(－2，－2)， ∴c＝4a－2， ∴拋物線對應的函數解析式為：y＝ax2＋4ax＋4a－2＝a(x＋2)2－2. 方法一：①當a＞0時，拋物線開口向上． ∵拋物線的對稱軸為直線x＝－2， ∴當－1≤x≤0時，y隨x增大而增大． ∵拋物線上的點到x軸距離的最大值為4， 由圖象可知：4a－2＝4.∴a＝. ②當a＜0時，拋物線開口向下． ∵拋物線對稱軸為直線x＝－2， ∴當－1≤x≤0時，y隨x增大而減小． ∵拋物線上的點到x軸距離的最大值為4， 由圖象可知：4a－2＝－4.∴a＝－. 綜上所述：a＝或a＝－. 4．解： (1)函數y1的圖象經過點(1，－2)， 將其代入得(a＋1)(－a)＝－2， 解得a1＝－2，a2＝1， 當a＝－2時，y1＝(x－2)(x＋2－1)， 化為一般式得y＝x2－x－2， 當a＝1時，y1＝(x＋1)(x－2)， 化為一般式得y1＝x2－x－2， 綜上所述，函數y1的表達式為y1＝x2－x－2； (2)函數y1＝(x＋a)(x－a－1)的圖象與x軸的交點為(－a，0)，(a＋1，0)， ①當函數y2＝ax＋b的圖象經過點(－a，0)時， 把x＝－a，y＝0代入y2＝ax＋b中， 得a2＝b； ②當函數y2＝ax＋b的圖象經過點(a＋1，0)時， 把x＝a＋1，y＝0代入y2＝ax＋b中， 得a2＋a＝－b； (3)拋物線y1＝(x＋a)(x－a－1)的對稱軸是直線x＝＝， ∵二次項系數1＞0， ∴拋物線的開口向上， ∴拋物線上的點離對稱軸的距離越大，它的縱坐標值也越大， ∵m＜n， ∴點Q離對稱軸x＝的距離比點P離對稱軸x＝的距離大， ∴|x0－|＜1－， ∴0＜x0＜1. 5．解： (1)∵拋物線y＝x2－2(k－1)x＋k2－k(k為常數)經過點(1，k2)， ∴1－2(k－1)＋k2－k＝k2.解得k＝. (2)∵拋物線經過點(2k，y1)和點(2，y2)， ∴y1＝(2k)2－4k(k－1)＋k2－k＝k2＋k，y2＝4－4(k－1)＋k2－k＝k2－k＋8； 又∵y1＞y2，∴k2＋k＞k2－k＋8，解得k＞1. (3)∵拋物線y＝x2－2(k－1)x＋k2－k＝(x－k＋1)2－k－1， ∴平移后的解析式為y＝(x－k)2－k－1. ∴該拋物線的對稱軸為直線x＝k. ①若k＜1，則當x＝1時，y有最小值－. ∴(1－k)2－k－1＝－， 解得k1＝1，k2＝. ∵k＜1，∴k1＝1. ②若1≤k≤2，則當x＝k時，y有最小值－. ∴－k－1＝－，解得k＝1. ③若k＞2，則當x＝2時，y有最小值－. ∴(2－k)2－k－1＝－， 解得k1＝3，k2＝. ∵k＞2，∴k＝3. 綜上，k的值為1或3.