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三角形與四邊形綜合題 04 三角形與四邊形綜合題 1.[xx玉林] 如圖ZT4-1,點(diǎn)A,B在雙曲線y=3x(x>0)上.點(diǎn)C在雙曲線y=1x(x>0)上,若AC∥y軸,BC∥x軸,且AC=BC,則AB等于 (　　) 圖ZT4-1 A.2 B.22 C.4 D.32 2.[xx泰州] 如圖ZT4-2,在四邊形ABCD中,AC平分∠BAD,∠ACD=∠ABC=90,E,F分別為AC,CD的中點(diǎn),∠D=α,則∠BEF的度數(shù)為　　　　.(用含α的式子表示) 圖ZT4-2 3.[xx衢州] 如圖ZT4-3,點(diǎn)A,B是反比例函數(shù)y=kx(x>0)圖象上的兩點(diǎn),過點(diǎn)A,B分別作AC⊥x軸于點(diǎn)C,BD⊥x軸于點(diǎn)D,連接OA,BC.已知點(diǎn)C(2,0),BD=2,S△BCD=3,則S△AOC=　　　　. 圖ZT4-3 4.[xx陜西] 如圖ZT4-4,點(diǎn)O是?ABCD的對(duì)稱中心,AD>AB,E,F是AB邊上的點(diǎn),且EF=12AB,G,H是BC邊上的點(diǎn),且GH=13BC.若S1,S2分別表示△EOF和△GOH的面積,則S1與S2之間的等量關(guān)系是　　　　. 圖ZT4-4 5.如圖ZT4-5,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=kx(k≠0)經(jīng)過點(diǎn)(a,3a)(a>0),線段BC的兩個(gè)端點(diǎn)分別在x軸與直線y=kx上(點(diǎn)B,C均不與原點(diǎn)O重合)滑動(dòng),且BC=2,分別作BP⊥x軸,CP⊥直線y=kx,交點(diǎn)為P.經(jīng)探究,在整個(gè)滑動(dòng)過程中,P,O兩點(diǎn)間的距離為定值　　　　. 圖ZT4-5 6.如圖ZT4-6,在矩形ABCD中,E是AD上一點(diǎn),PQ垂直平分BE,分別交AD,BE,BC于點(diǎn)P,O,Q,連接BP,EQ. (1)求證:四邊形BPEQ是菱形; (2)若AB=6,F為AB的中點(diǎn),OF+OB=9,求PQ的長(zhǎng). 圖ZT4-6 7.[xx湖州] 如圖ZT4-7,在Rt△ABC中,∠BAC=90,AB≥AC,D,E分別為AC,BC邊上的點(diǎn)(不包括端點(diǎn)),且DCBE=ACBC=m,連接AE,過點(diǎn)D作DM⊥AE,垂足為點(diǎn)M,延長(zhǎng)DM交AB于點(diǎn)F. (1)如圖①,過點(diǎn)E作EH⊥AB于點(diǎn)H,連接DH. ①求證:四邊形DHEC是平行四邊形; ②若m=22,求證:AE=DF. (2)如圖②,若m=35,求DFAE的值. 圖ZT4-7 8.[xx涼山州] 如圖ZT4-8,在?ABCD中,E,F分別是AD,BC上的點(diǎn),將?ABCD沿EF所在直線翻折,使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合,且點(diǎn)A落在點(diǎn)A處. (1)求證:△AED≌△CFD; (2)連接BE,若∠EBF=60,EF=3,求四邊形BFDE的面積. 圖ZT4-8 參考答案 1.B　[解析] 點(diǎn)C在雙曲線y=1x上,AC∥y軸,BC∥x軸,設(shè)Ca,1a,則B3a,1a,Aa,3a.∵AC=BC,∴3a-1a=3a-a,解得a=1(a=-1舍去).∴C(1,1),B(3,1),A(1,3).∴AC=BC=2.在Rt△ABC中,AB=AC2+BC2=22.故選B. 2.270-3α　[解析] ∵∠ACD=90,∴∠CAD=90-∠D=90-α.∵E,F分別為AC,CD的中點(diǎn),∴EF∥AD.∴∠CEF= ∠CAD=90-α.∵AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠CAD=90-α.∵∠ABC=90,E為AC的中點(diǎn),∴AE=BE.∴∠EBA= ∠BAC=90-α.∴∠BEC=180-2α.∴∠BEF=∠CEF+∠BEC=270-3α. 3.5 4.2S1=3S2S1=32S2,S2=23S1均正確 [解析] 如圖,連接AC,BD. ∵四邊形ABCD為平行四邊形, ∴AO=OC.∴S△AOB=S△BOC. ∵EF=12AB,∴S1=12S△AOB. ∴S△AOB=2S1. ∵GH=13BC, ∴S2=13S△BOC. ∴S△BOC=3S2.∴2S1=3S2. 5.433　[解析] ∵直線y=kx(k≠0)經(jīng)過點(diǎn)(a,3a)(a>0),∴3a=ka,k=3.∴∠BOC=60.由題意可知,∠PCO=∠PBO=90,∴∠PCO+∠PBO=180.∴O,B,P,C四點(diǎn)共圓,OP為直徑,如圖.設(shè)圓心為D,分別連接CD和BD,過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E,則BE=12BC=1.∵∠BDC=2∠BOC=120,∴∠BDE=60,在Rt△BDE中,sin∠BDE=BEDB,∴BD=132=233,∴OP=2BD=433. 6.解:(1)證明:∵PQ垂直平分BE,∴PB=PE,OB=OE.∵四邊形ABCD是矩形,∴AD∥BC.∴∠PEO=∠QBO.在△EOP和△BOQ中,∠PEO=∠QBO,OE=OB,∠POE=∠QOB,∴△EOP≌△BOQ(ASA).∴PE=QB.又∵AD∥BC,∴四邊形BPEQ是平行四邊形.又∵PB=PE,∴四邊形BPEQ是菱形. (2)∵O,F分別為PQ,AB的中點(diǎn),∴AE+BE=2OF+2OB=18.設(shè)AE=x,則BE=18-x.在Rt△ABE中,62+x2=(18-x)2,解得x=8,BE=18-x=10.∴OB=12BE=5.設(shè)PE=y,則AP=8-y,BP=PE=y.在Rt△ABP中,62+(8-y)2=y2,解得y=254.在Rt△BOP中,PO=(254)2-52=154.∴PQ=2PO=152. 7.解:(1)①證明:∵EH⊥AB,∠BAC=90,∴EH∥CA, ∴△BHE∽△BAC.∴BEBC=HEAC.∵DCBE=ACBC,∴BEBC=DCAC.∴HEAC=DCAC.∴HE=DC,∵EH∥DC,∴四邊形DHEC是平行四邊形. ②∵ACBC=22,∠BAC=90,∴AC=AB.∵DCBE=22,HE=DC,∴HEBE=22.∵∠BHE=90,∴BH=HE.∵HE=DC.∴BH=CD.∴AH=AD.∵DM⊥AE,EH⊥AB,∴∠EHA=∠AMF=90.∴∠HAE+∠HEA=∠HAE+∠AFM=90.∴∠HEA=∠AFD.又∵∠EHA= ∠FAD=90,∴△HEA≌△AFD.∴AE=DF. (2)如圖,過點(diǎn)E作EG⊥AB于點(diǎn)G.∵∠BAC=90,∴EG∥CA.∴△EGB∽△CAB.∴EGCA=BEBC.∴EGBE=CABC=35.∵CDBE=35,∴EG=CD.設(shè)EG=CD=3x,AC=3y,則BE=5x,BC=5y.∴BG=4x,AB=4y.∵∠EGA=∠AMF=90,∴∠GEA+∠EAG=∠EAG+∠AFM, ∴∠AFM=∠AEG.又∵∠FAD=∠EGA=90,∴△FAD∽△EGA.∴DFAE=ADAG=3y-3x4y-4x=34. 8.解:(1)證明:由翻折的性質(zhì)可知,AD=AB,∠DEF=∠BEF,∠BFE=∠DFE,∠A=∠A. ∵四邊形ABCD為平行四邊形, ∴AB=CD,∠C=∠A,AD∥BC. ∴AD=CD,∠A=∠C,∠DEF=∠BFE. ∴∠DEF=∠BFE=∠BEF=∠EFD. ∴180-(∠DEF+∠BEF)=180-(∠BFE+∠EFD), 即∠AEB=∠DFC. 又∵∠AEB=∠AED,∴∠DFC=∠AED. 在△AED和△CFD中,∠AED=∠CFD,∠A=∠C,AD=CD, ∴△AED≌△CFD(AAS). (2)過點(diǎn)E作EH⊥BC于點(diǎn)H. ∵∠EBF=60,∠BEF=∠BFE,EF=3, ∴△EBF是等邊三角形. ∴FH=32,EH=EF2-FH2=32 3. 由折疊可知△DEF≌△BEF, ∴四邊形BFDE的面積=2S△BEF=BFEH=332 3=92 3.