《數(shù)學(xué)第四章 幾何初步與三角形 第六節(jié) 解直角三角形及其應(yīng)用》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《數(shù)學(xué)第四章 幾何初步與三角形 第六節(jié) 解直角三角形及其應(yīng)用（45頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第六節(jié)解直角三角形及其應(yīng)用考點一考點一 銳角三角函數(shù)銳角三角函數(shù) (5(5年年0 0考考) )例例1 1(2018(2018德州中考德州中考) )如圖，在如圖，在4 44 4的正方形方格圖形中，的正方形方格圖形中，小正方形的頂點稱為格點，小正方形的頂點稱為格點，ABCABC的頂點都在格點上，則的頂點都在格點上，則BACBAC的正弦值是的正弦值是 【分析分析】 先根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出先根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出ABCABC的形狀，再的形狀，再由銳角三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)論由銳角三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)論【自主解答自主解答】由勾股定理可得由勾股定理可得ABAB2 23 32 24 42 2

2、2525，BCBC2 21 12 22 22 25 5，ACAC2 22 22 24 42 22020，ABAB2 2BCBC2 2ACAC2 2，ACBACB9090，ABCABC為直角三角形，為直角三角形，sinBACsinBAC . .故答案為故答案為 . . BCAB5555求三角函數(shù)值的方法求三角函數(shù)值的方法在三角形中求一般角的三角函數(shù)值時，往往需要通過作三角在三角形中求一般角的三角函數(shù)值時，往往需要通過作三角形的高，構(gòu)造一個包含所求角的直角三角形，然后利用三角形的高，構(gòu)造一個包含所求角的直角三角形，然后利用三角函數(shù)的定義解決在網(wǎng)格圖中求銳角的三角函數(shù)值，要充分函數(shù)的定義解決在網(wǎng)格圖

3、中求銳角的三角函數(shù)值，要充分利用格點之間連線的特殊位置構(gòu)造直角三角形，借助勾股定利用格點之間連線的特殊位置構(gòu)造直角三角形，借助勾股定理解答理解答1 1(2018(2018墾利模擬墾利模擬) )如圖，已知在如圖，已知在RtRtABCABC中，中，C C9090，ABAB5 5，BCBC3 3，則，則coscos B B的值是的值是( )( )A A2 2(2018(2018濱州中考濱州中考) )在在ABCABC中，中，C C9090，若，若tan Atan A ，則，則sin Bsin B 122 55考點二考點二 特殊角的三角函數(shù)值特殊角的三角函數(shù)值 (5(5年年5 5考考) )例例2 2 在

4、在ABCABC中，若中，若|sin A|sin A | |( ( coscos B) B)2 20 0，A A，B B都是銳角，則都是銳角，則C C 【分析分析】 根據(jù)絕對值及完全平方的非負性，可得出根據(jù)絕對值及完全平方的非負性，可得出A A及及B B的度數(shù)，再利用三角形的內(nèi)角和定理即可得出的度數(shù)，再利用三角形的內(nèi)角和定理即可得出C C的的度數(shù)度數(shù)2232【自主解答自主解答】|sin A|sin A | |( ( coscos B) B)2 20 0，sin Asin A ，coscos B B . .又又A A，B B都是銳角，都是銳角，A A4545，B B3030，C C18018045

5、453030105105. .故答案為故答案為105105. . 22322232熟記特殊角的三角函數(shù)值的兩種方法熟記特殊角的三角函數(shù)值的兩種方法(1)(1)按值的變化：按值的變化：3030，4545，6060角的正余弦的分母都是角的正余弦的分母都是2 2，正弦的分子分別是，正弦的分子分別是1 1， ， ，余弦的分子分別是，余弦的分子分別是 ， ，1 1，正切分別是，正切分別是 ，1 1， . .2332333(2)(2)特殊值法特殊值法在直角三角形中，設(shè)在直角三角形中，設(shè)3030角所對的直角邊為角所對的直角邊為1 1，那么三邊，那么三邊長分別為長分別為1 1， ，2 2；在直角三角形中，設(shè)在

6、直角三角形中，設(shè)4545角所對的直角邊為角所對的直角邊為1 1，那么三邊，那么三邊長分別為長分別為1 1，1 1， . .323 3李紅同學(xué)遇到了這樣一道題：李紅同學(xué)遇到了這樣一道題： tan(tan(2020) )1 1，你猜想銳角你猜想銳角的度數(shù)應(yīng)是的度數(shù)應(yīng)是( )( )A A4040 B B3030 C C2020 D D10103D D4 4(2017(2017煙臺中考煙臺中考) )在在RtRtABCABC中，中，C C9090，ABAB2 2，BCBC ，則，則sin sin 32A125 5(2015(2015東營中考東營中考) )計算：計算：( (1)1)2 0152 015 (

7、3(3)0 0|3|3 | |(tan 30(tan 30) )1 1. .解：原式解：原式1 13 31 13 3 0.0.9333考點三考點三 解直角三角形解直角三角形 (5(5年年0 0考考) )例例3 3 (2018(2018自貢中考自貢中考) )如圖，在如圖，在ABCABC中，中，BCBC1212，tan Atan A ，B B3030，求，求ACAC和和ABAB的長的長【分析分析】 過點過點C C作作CDABCDAB，在直角三角形中求出，在直角三角形中求出ADAD，BDBD，即，即可得解可得解34【自主解答自主解答】如圖，過點如圖，過點C C作作CDABCDAB于點于點D.D.在在

8、RtRtBCDBCD中，中，B B3030，BCBC1212，CDCDBCsinBCsin 30 306 6，BDBDBCcosBCcos 30 306 .6 .3在在RtRtACDACD中，中，6 6(2018(2018貴陽中考貴陽中考) )如圖，如圖，A A，B B，C C是小正方形的頂點，是小正方形的頂點，且每個小正方形的邊長為且每個小正方形的邊長為1 1，則，則tanBACtanBAC的值為的值為( )( )B B7 7(2018(2018齊齊哈爾中考齊齊哈爾中考) )四邊形四邊形ABCDABCD中，中，BDBD是對角線，是對角線，ABCABC9090，tanABDtanABD ，AB

9、AB2020，BCBC1010，ADAD1313，則線段則線段CDCD_341717或或89考點四考點四 解直角三角形的應(yīng)用解直角三角形的應(yīng)用 (5(5年年3 3考考) )命題角度命題角度仰角、俯角問題仰角、俯角問題例例4 4(2017(2017東營中考東營中考) )一數(shù)學(xué)興趣小組來到某一數(shù)學(xué)興趣小組來到某公園，準備測量一座塔的高度如圖，在公園，準備測量一座塔的高度如圖，在A A處測得塔頂?shù)难鼋菫樘帨y得塔頂?shù)难鼋菫?，在，在B B處測得塔頂?shù)奶帨y得塔頂?shù)难鼋菫檠鼋菫?，又測量出，又測量出A A，B B兩點的距離為兩點的距離為s s米，米，則塔高為則塔高為 米米【分析分析】 在在RtRtBCDBCD

10、中，可以用中，可以用CDCD表示出表示出BDBD的長，從而得出的長，從而得出ADAD的長；再在的長；再在RtRtACDACD中，求出中，求出CDCD的長即可的長即可【自主解答自主解答】 在在RtRtBCDBCD中，中， 8 8(2018(2018河口一模河口一模) )某興趣小組借助無人飛機航拍校園，某興趣小組借助無人飛機航拍校園，如圖，無人飛機從如圖，無人飛機從A A處飛行至處飛行至B B處需處需8 8秒，在地面秒，在地面C C處同一方向處同一方向上分別測得上分別測得A A處的仰角為處的仰角為7575，B B處的仰角為處的仰角為3030. .已知無人已知無人飛機的飛行速度為飛機的飛行速度為4

11、4米米/ /秒，則這架無人飛機的飛行高度為秒，則這架無人飛機的飛行高度為_米米( (結(jié)果保留根號結(jié)果保留根號) ) 8 8 8 8 39 9(2018(2018聊城中考聊城中考) )隨著我市農(nóng)產(chǎn)品整體品牌形象隨著我市農(nóng)產(chǎn)品整體品牌形象“聊聊勝一籌！勝一籌！”的推出，現(xiàn)代農(nóng)業(yè)得到了更快發(fā)展某農(nóng)場為擴的推出，現(xiàn)代農(nóng)業(yè)得到了更快發(fā)展某農(nóng)場為擴大生產(chǎn)建設(shè)了一批新型鋼管裝配式大棚，如圖大生產(chǎn)建設(shè)了一批新型鋼管裝配式大棚，如圖1 1，線段，線段ABAB，BDBD分別表示大棚的墻高和跨度，分別表示大棚的墻高和跨度，ACAC表示保溫板的長已知墻表示保溫板的長已知墻高高ABAB為為2 2米，墻面與保溫板所成的角

12、米，墻面與保溫板所成的角BACBAC150150，在點，在點D D處處測得測得A A點，點，C C點的仰角分別為點的仰角分別為9 9，15.615.6，如圖，如圖2 2，求保溫板，求保溫板ACAC的長是多少米？的長是多少米？( (精確到精確到0.10.1米米) )( (參考數(shù)據(jù)：參考數(shù)據(jù)： 0.860.86，sin 9sin 90.160.16，coscos 9 90.990.99，tan 9tan 90.160.16，sin 15.6sin 15.60.270.27，coscos 15.6 15.60.960.96，tan 15.6tan 15.60.28.)0.28.)32解：設(shè)解：設(shè)AC

13、ACx x，在，在ABDABD中，中，tan 9tan 9 ，BDBD . . 如圖，作如圖，作CEBDCEBD，垂足為點，垂足為點E E，作，作AGCEAGCE，垂足為點，垂足為點G.G.ABBD29tan 在在RtRtAGCAGC中，中，CAGCAG6060，AGAGACACcoscos 60 60 x x0.5x0.5x，CGCGACACsinsin 60 60 x x，EDEDBDBDBEBEBDBDAGAG 0.5x.0.5x.在在RtRtCEDCED中，中，tanCDEtanCDEtan 15.6tan 15.6 ，1232CEED29tan CECEEDEDtan 15.6tan

14、 15.6( ( 0.5x)0.5x)tan 15.6tan 15.6. .又又CECECGCGGEGE x x2 2，( ( 0.5x)0.5x)tan 15.6tan 15.6 x x2 2，即即( ( 0.5x)0.5x)0.280.280.86x0.86x2 2，解得解得x x1.5(1.5(米米) )答：保溫板答：保溫板ACAC的長約是的長約是1.51.5米米29tan 3229tan 3220.16命題角度命題角度坡度、坡角問題坡度、坡角問題例例5 5 (2018(2018安順中考安順中考) )如圖是某市一座人行天橋的示意圖，如圖是某市一座人行天橋的示意圖，天橋離地面的高天橋離地面

15、的高BCBC是是1010米，坡面米，坡面ACAC的傾斜角的傾斜角CABCAB4545，在距在距A A點點1010米處有一建筑物米處有一建筑物HQ.HQ.為了方便行人推車過天橋，為了方便行人推車過天橋，市政府部門決定降低坡度，使新坡面市政府部門決定降低坡度，使新坡面DCDC的傾斜角的傾斜角BDCBDC3030，若新坡面下，若新坡面下D D處與建筑物之間需留下至少處與建筑物之間需留下至少3 3米寬的人米寬的人行道，問該建筑物是否需要拆除行道，問該建筑物是否需要拆除( (結(jié)果保留一位小數(shù)結(jié)果保留一位小數(shù)) )( (參考數(shù)據(jù)：參考數(shù)據(jù)： 1.4141.414， 1.732)1.732)23【分析分析】

16、 在在RtRtABCABC，RtRtDBCDBC中，利用銳角三角函數(shù)分別中，利用銳角三角函數(shù)分別計算計算ABAB，DBDB，然后計算，然后計算DHDH的長，根據(jù)的長，根據(jù)DHDH與與3 3的關(guān)系得結(jié)論的關(guān)系得結(jié)論【自主解答自主解答】由題意知，由題意知，AHAH1010米，米，BCBC1010米米在在RtRtABCABC中，中，CABCAB4545，ABABBCBC1010米米在在RtRtDBCDBC中，中，CDBCDB3030， DBDB 10 (10 (米米) )DHDHAHAH(DB(DBAB)AB)101010 10 1010202010102.7(2.7(米米) )，答：該建筑物需要拆

17、除答：該建筑物需要拆除BCtan CDB333解決坡度、坡角問題時的注意點解決坡度、坡角問題時的注意點首先要認真讀題，弄清題意，理解坡度、坡角的實際意義及首先要認真讀題，弄清題意，理解坡度、坡角的實際意義及坡度與坡角的關(guān)系，其次是從圖中確定要解的直角三角形，坡度與坡角的關(guān)系，其次是從圖中確定要解的直角三角形，充分使用坡度、坡角提供的相關(guān)數(shù)據(jù)，正確選擇關(guān)系式充分使用坡度、坡角提供的相關(guān)數(shù)據(jù)，正確選擇關(guān)系式1010(2018(2018棗莊中考棗莊中考) )如圖，某商店營業(yè)大廳自動扶梯如圖，某商店營業(yè)大廳自動扶梯ABAB的的傾斜角為傾斜角為3131，ABAB的長為的長為1212米，則大廳兩層之間的高

18、度為米，則大廳兩層之間的高度為_米米( (結(jié)果保留兩個有效數(shù)字結(jié)果保留兩個有效數(shù)字)()(參考數(shù)據(jù)：參考數(shù)據(jù)：sin 31sin 310.5150.515，coscos 31 310.8570.857，tan 31tan 310.601)0.601) 6.2 6.2 1111(2018(2018邵陽中考邵陽中考) )某商場為方便某商場為方便消費者購物，準備將原來的階梯式自消費者購物，準備將原來的階梯式自動扶梯改造成斜坡式自動扶梯如圖所示，已知原階梯式自動扶梯改造成斜坡式自動扶梯如圖所示，已知原階梯式自動扶梯動扶梯ABAB長為長為10 m10 m，坡角，坡角ABDABD為為3030；改造后的斜坡

19、式自；改造后的斜坡式自動扶梯的坡角動扶梯的坡角ACBACB為為1515，請你計算改造后的斜坡式自動，請你計算改造后的斜坡式自動扶梯扶梯ACAC的長度的長度( (結(jié)果精確到結(jié)果精確到0.1 m0.1 m參考數(shù)據(jù)：參考數(shù)據(jù)：sin 15sin 150.260.26，coscos 15 150.970.97，tan 15tan 150.27)0.27)解：在解：在RtRtABDABD中，中，ABDABD3030，ABAB1010，ADADAB AB sinABDsinABD1010sin 30sin 305.5.在在RtRtACDACD中，中，ACDACD1515，sinACDsinACD ，ACA

20、C 19.2.19.2.答：改造后的斜坡式自動扶梯答：改造后的斜坡式自動扶梯ACAC的長度約為的長度約為19.2 m.19.2 m.ADACADsin ACD515sin 命題角度命題角度方向角問題方向角問題例例6 6(2018(2018濟寧中考濟寧中考) )如圖，在一筆直的海岸線如圖，在一筆直的海岸線l l上有相距上有相距2 km2 km的的A A，B B兩個觀測站，兩個觀測站，B B站在站在A A站的正東方向上，從站的正東方向上，從A A站站測得船測得船C C在北偏東在北偏東6060的方向上，從的方向上，從B B站站測得船測得船C C在北偏東在北偏東3030的方向上，則船的方向上，則船C

21、C到海岸線到海岸線l l的距離是的距離是 km.km.【分析分析】 過點過點C C作作CHlCHl，垂足為點，垂足為點H.H.然后解直角三角形即然后解直角三角形即可求得答案可求得答案【自主解答自主解答】如圖，過點如圖，過點C C作作CHlCHl，垂足為點，垂足為點H.H.由題意得由題意得ACHACH6060，CBHCBH6060，BCHBCH3030. .設(shè)設(shè)CHCHx.x.在在RtRtACHACH中，中，AHAHCHCHtanACHtanACHx xtantan 60 60 x.x.在在RtRtBCHBCH中，中，BHBHCHCHtanBCHtanBCHx xtantan 30 30 x.x

22、.AHAHBHBHABAB， x x x x2 2，解得，解得x x ，即船即船C C到海岸線到海岸線l l的距離是的距離是 km.km.故答案為故答案為 . . 333333333解決方向角問題的方法解決方向角問題的方法方向角問題應(yīng)結(jié)合實際問題抽象出示意圖并構(gòu)造三角形，還方向角問題應(yīng)結(jié)合實際問題抽象出示意圖并構(gòu)造三角形，還要分析三角形中的已知元素和未知元素，如果這些元素不在要分析三角形中的已知元素和未知元素，如果這些元素不在同一個三角形中或者在同一個斜三角形中，就需要添加輔助同一個三角形中或者在同一個斜三角形中，就需要添加輔助線在解題的過程中，有時需要設(shè)未知數(shù)，通過構(gòu)造方程線在解題的過程中，

23、有時需要設(shè)未知數(shù)，通過構(gòu)造方程( (組組) )來求解這類題目主要考查學(xué)生解決實際問題的能力來求解這類題目主要考查學(xué)生解決實際問題的能力1212(2018(2018廣饒模擬廣饒模擬) )在綜合實踐課上，在綜合實踐課上，小聰所在小組要測量一條河的寬度，如小聰所在小組要測量一條河的寬度，如圖，河岸圖，河岸EFMNEFMN，小聰在河岸，小聰在河岸MNMN上點上點A A處處用測角儀測得河對岸小樹用測角儀測得河對岸小樹C C位于東北方向，然后沿河岸走了位于東北方向，然后沿河岸走了3030米，到達米，到達B B處，測得河對岸電線桿處，測得河對岸電線桿D D位于北偏東位于北偏東3030方向，方向，此時，其他同

24、學(xué)測得此時，其他同學(xué)測得CDCD1010米請根據(jù)這些數(shù)據(jù)求出河的寬米請根據(jù)這些數(shù)據(jù)求出河的寬度為度為 _米米( (結(jié)果保留根號結(jié)果保留根號) )3030101031313(2018(2018青島中考青島中考) )某區(qū)域平面示意圖如圖，點某區(qū)域平面示意圖如圖，點O O在河的在河的一側(cè)，一側(cè)，ACAC和和BCBC表示兩條互相垂直的公路甲勘測員在表示兩條互相垂直的公路甲勘測員在A A處測處測得點得點O O位于北偏東位于北偏東4545，乙勘測員在，乙勘測員在B B處測得點處測得點O O位于南偏西位于南偏西73.773.7，測得，測得ACAC840 m840 m，BCBC500 m500 m請求出點請求

25、出點O O到到BCBC的距離參考數(shù)據(jù)：的距離參考數(shù)據(jù)：sin 73.7sin 73.7 ，coscos 73.7 73.7 ，tan 73.7tan 73.7 . .2425725247解：如圖，作解：如圖，作OMBCOMBC于點于點M M，ONACONAC于點于點N N， 則四邊形則四邊形ONCMONCM為矩形，為矩形，ONONMCMC，OMOMNC.NC.設(shè)設(shè)OMOMx x，則，則NCNCx x，ANAN840840 x.x.在在RtRtANOANO中，中，OANOAN4545，ONONANAN840840 x x，則，則MCMCONON840840 x x，在在RtRtBOMBOM中，中，BMBM x.x.OMtan OBM724由題意得由題意得840840 x x x x500500，解得解得x x480.480.答：點答：點O O到到BCBC的距離為的距離為480 m.480 m.724