《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第9章 統(tǒng)計與統(tǒng)計案例 第2講 用樣本估計總體講義 理（含解析）.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第9章 統(tǒng)計與統(tǒng)計案例 第2講 用樣本估計總體講義 理（含解析）.doc（14頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

第2講　用樣本估計總體 [考綱解讀]　1.了解頻率分布直方圖的意義和作用，能根據(jù)頻率分布表畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，并體會它們各自的特點(diǎn)．(重點(diǎn)) 2.理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用，會計算數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差；能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征，并作出合理的解釋． 3.會用樣本的頻率分布估計總體分布，用樣本的基本數(shù)字特征估計總體的基本數(shù)字特征．(難點(diǎn)) 4.會用隨機(jī)抽樣的基本方法和樣本估計總體的思想解決實(shí)際問題． [考向預(yù)測]　從近三年高考情況來看，本講是高考中的一個熱點(diǎn)．預(yù)測2020年將會考查用樣本估計總體，主要體現(xiàn)在利用頻率分布直方圖或莖葉圖估計總體，利用樣本數(shù)字特征估計總體．題型以客觀題呈現(xiàn)，試題難度不大，屬中、低檔題型．頻率分布直方圖與莖葉圖也可能出現(xiàn)于解答題中，與概率等知識綜合命題. 1．用樣本的頻率分布估計總體分布 (1)頻率分布：樣本中所有數(shù)據(jù)(或者數(shù)據(jù)組)的頻數(shù)和樣本容量的比，就是該數(shù)據(jù)的頻率，所有數(shù)據(jù)(或者數(shù)據(jù)組)的頻率的分布變化規(guī)律叫做頻率分布． (2)作頻率分布直方圖的步驟：①求極差，即一組數(shù)據(jù)中的最大值與最小值的差；②決定組距與組數(shù)；③將數(shù)據(jù)分組；④列頻率分布表；⑤畫頻率分布直方圖． 在頻率分布直方圖中，縱軸表示頻率/組距，數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率用各小長方形的面積表示，各小長方形的面積總和等于1. (3)頻率分布折線圖和總體密度曲線 ①頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點(diǎn)，就得到頻率分布折線圖． ②總體密度曲線：隨著樣本容量的增加，作圖時所分的組數(shù)增加，組距減小，相應(yīng)的頻率分布折線圖就會越來越接近于一條光滑的曲線，統(tǒng)計中稱之為總體密度曲線． (4)莖葉圖：統(tǒng)計中還有一種被用來表示數(shù)據(jù)的圖叫莖葉圖，莖是指中間一列數(shù)，葉是從莖的旁邊生長出來的數(shù)． 2．樣本的數(shù)字特征 (1)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù) (2)方差和標(biāo)準(zhǔn)差 方差：s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]， 標(biāo)準(zhǔn)差： s＝ . (3)平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平，標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大?。畼?biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，越波動；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，越穩(wěn)定． 3．各種統(tǒng)計表的優(yōu)點(diǎn)與不足  1．概念辨析 (1)一組數(shù)據(jù)的方差越大，說明這組數(shù)據(jù)的波動越大．(　　) (2)從頻率分布直方圖得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容，把數(shù)據(jù)表示成直方圖后，原有的具體數(shù)據(jù)信息就被抹掉了．(　　) (3)在頻率分布直方圖中，小矩形的面積越大，表示樣本數(shù)據(jù)落在該區(qū)間內(nèi)的頻率越高．(　　) (4)莖葉圖一般左側(cè)的葉按從大到小的順序?qū)?，右?cè)的葉按從小到大的順序?qū)?，相同的?shù)據(jù)可以只記一次．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4) 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2．小題熱身 (1)(2017全國卷Ⅰ)為評估一種農(nóng)作物的種植效果，選了n塊地作試驗(yàn)田．這n塊地的畝產(chǎn)量(單位：kg)分別為x1，x2，…，xn，下面給出的指標(biāo)中可以用來評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是(　　) A．x1，x2，…，xn的平均數(shù) B．x1，x2，…，xn的標(biāo)準(zhǔn)差 C．x1，x2，…，xn的最大值 D．x1，x2，…，xn的中位數(shù) 答案　B 解析　因?yàn)榭梢杂脴O差、方差或標(biāo)準(zhǔn)差來描述數(shù)據(jù)的離散程度，所以要評估畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度，應(yīng)該用樣本數(shù)據(jù)的極差、方差或標(biāo)準(zhǔn)差．故選B. (2)若某校高一年級8個班參加合唱比賽的得分如莖葉圖所示，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)分別是(　　) A．91.5和91.5 B．91.5和92 C．91和91.5 D．92和92 答案　A 解析　由莖葉圖可知，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是(91＋92)＝91.5，平均數(shù)是(87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋96)＝91.5. (3)如圖所示是一樣本的頻率分布直方圖．若樣本容量為100，則樣本數(shù)據(jù)在[15,20]內(nèi)的頻數(shù)是(　　) A．50 B．40 C．30 D．14 答案　C 解析　因?yàn)閇15,20]對應(yīng)的小矩形的面積為1－0.045－0.15＝0.3，所以樣本落在[15,20]的頻數(shù)為0.3100＝30.故選C. (4)已知一組數(shù)據(jù)87,89,90,91,93，則該組數(shù)據(jù)的方差是________． 答案　4 解析　該組數(shù)據(jù)的平均值為(87＋89＋90＋91＋93)＝90，所以該組數(shù)據(jù)的方差為[(87－90)2＋(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(93－90)2]＝4. 題型 　樣本數(shù)字特征的計算及應(yīng)用 1．某同學(xué)使用計算器求30個數(shù)據(jù)的平均數(shù)時，錯將其中一個數(shù)據(jù)105輸入為165，那么由此求出的平均數(shù)與實(shí)際平均數(shù)的差是(　　) A．2.5 B．－2 C．2 D．－2.5 答案　C 解析　將105輸入為165，多輸入了60,6030＝2，所以求出的平均數(shù)與實(shí)際平均數(shù)的差是2. 2．(2018九江二模)已知一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為2，若數(shù)據(jù)ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b(a>0)的方差為8，則a的值為(　　) A．1 B. C．2 D．4 答案　C 解析　根據(jù)方差的性質(zhì)可知，a22＝8，解得a＝2. 3．一組數(shù)據(jù)1,10,5,2，x,2，且2，因此可看出A藥的療效更好． (2)由觀測結(jié)果可繪制如下莖葉圖： 從以上莖葉圖可以看出，A藥療效的試驗(yàn)結(jié)果有的葉集中在莖2,3上，而B藥療效的試驗(yàn)結(jié)果有的葉集中在莖0,1上，由此可看出A藥的療效更好． 題型 　頻率分布直方圖 角度1　求頻率或頻數(shù) 1．黨的十八大以來，脫貧攻堅取得顯著成績.2013年至2016年4年間，累計脫貧5564萬人，2017年各地根據(jù)實(shí)際進(jìn)行創(chuàng)新，精準(zhǔn)、高效地完成了脫貧任務(wù)．某地區(qū)對當(dāng)?shù)?000戶家庭的2017年所得年收入情況調(diào)查統(tǒng)計，年收入的頻率分布直方圖如圖所示，數(shù)據(jù)(單位：千元)的分組依次為[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]，則年收入不超過6萬的家庭大約為(　　) A．900戶 B．600戶 C．300戶 D．150戶 答案　A 解析　由頻率分布直方圖得：年收入不超過6萬的家庭所占頻率為：(0.005＋0.010)20＝0.3，∴年收入不超過6萬的家庭大約為0.33000＝900. 角度2　求數(shù)字特征 2．某城市100戶居民的月平均用電量(單位：度)，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分組的頻率分布直方圖如圖． (1)求直方圖中x的值； (2)求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù)； (3)在月平均用電量為[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]的四組用戶中，用分層抽樣的方法抽取11戶居民，則月平均用電量在[220,240)的用戶中應(yīng)抽取多少戶？ 解　(1)由(0.002＋0.0095＋0.011＋0.0125＋x＋0.005＋0.0025)20＝1，得x＝0.0075，所以直方圖中x的值是0.0075. (2)月平均用電量的眾數(shù)是＝230. 因?yàn)?0.002＋0.0095＋0.011)20＝0.45<0.5，所以月平均用電量的中位數(shù)在[220,240)內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為a，由(0.002＋0.0095＋0.011)20＋0.0125(a－220)＝0.5，得a＝224，所以月平均用電量的中位數(shù)是224. (3)月平均用電量為[220,240)的用戶有0.012520100＝25(戶)，月平均用電量為[240,260)的用戶有0.007520100＝15(戶)，月平均用電量為[260,280)的用戶有0.00520100＝10(戶)，月平均用電量為[280,300]的用戶有0.002520100＝5(戶)， 抽取比例為＝，所以月平均用電量在[220,240)的用戶中應(yīng)抽取25＝5(戶)． 1．頻率分布直方圖的性質(zhì) (1)小長方形的面積＝組距＝頻率； (2)各小長方形的面積之和等于1； (3)小長方形的高＝，所有小長方形的高的和為. 2．頻率分布直方圖中的眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù) (1)最高的小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù)； (2)平分頻率分布直方圖的面積且垂直于橫軸的直線與橫軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是中位數(shù)； (3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．某高校調(diào)查了320名學(xué)生每周的自習(xí)時間(單位：小時)，制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中自習(xí)時間的范圍是[17.5,30]，樣本數(shù)據(jù)分組為[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30]．根據(jù)直方圖，這320名學(xué)生中每周的自習(xí)時間不足22.5小時的人數(shù)是(　　) A．68 B．72 C．76 D．80 答案　B 解析　由頻率分布直方圖得每周的自習(xí)時間不足22.5小時的頻率為(0.02＋0.07)2.5＝0.225，∴這320名學(xué)生中每周的自習(xí)時間不足22.5小時的人數(shù)是0.225320＝72.故選B. 2．從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件，測量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得如下頻數(shù)分布表： 　(1)作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖； (2)估計這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)及方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)； (3)根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品80%”的規(guī)定？ 解　(1)頻率分布直方圖如圖． (2)質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)為 ＝800.06＋900.26＋1000.38＋1100.22＋1200.08＝100. 質(zhì)量指標(biāo)值的樣本方差為 s2＝(－20)20.06＋(－10)20.26＋00.38＋1020.22＋2020.08＝104. 所以這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)的估計值為100，方差的估計值為104. (3)質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品所占比例的估計值為0.38＋0.22＋0.08＝0.68. 由于該估計值小于0.8，故不能認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品的80%”的規(guī)定．