題型五幾何圖形探究題類型一幾何圖形靜態(tài)探究1(xx成都)問題背景：如圖，等腰ABC中，ABAC，BAC120，作ADBC于點D，則D為BC的中點，BADBAC60，于是；遷移應(yīng)用：如圖，ABC和ADE都是等腰三角形，BACDAE120，D，E，C三點在同一條直線上，連接BD.求證：ADBAEC；請直接寫出線段AD，BD，CD之間的等量關(guān)系式；拓展延伸：如圖，在菱形ABCD中，ABC120，在ABC內(nèi)作射線BM，作點C關(guān)于BM的對稱點E，連接AE并延長交BM于點F，連接CE，CF.證明CEF是等邊三角形；若AE5，CE2，求BF的長. 2(xx許昌模擬)在正方形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，動點P在線段BC上(不含點B)，BPEACB，PE交BO于點E，過點B作BFPE，垂足為F，交AC于點G.(1)當(dāng)點P與點C重合時(如圖)，求證：BOGPOE；(2)通過觀察、測量、猜想：_，并結(jié)合圖證明你的猜想；(3)把正方形ABCD改為菱形，其他條件不變(如圖)，若ACB，求的值(用含的式子表示) 3(xx河南)(1)問題發(fā)現(xiàn)如圖，ACB和DCE均為等邊三角形，點A，D，E在同一直線上，連接BE.填空：AEB的度數(shù)為_；線段AD，BE之間的數(shù)量關(guān)系為_(2) 拓展探究如圖，ACB和DCE均為等腰直角三角形，ACBDCE90，點A，D，E在同一直線上，CM為DCE中DE邊上的高，連接BE，請判斷AEB的度數(shù)及線段CM，AE，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由(3)解決問題如圖，在正方形ABCD中，CD，若點P滿足PD1，且BPD90，請直接寫出點A到BP的距離. 4(xx長春改編)【再現(xiàn)】如圖，在ABC中，點D，E分別是AB，AC的中點，可以得到：DEBC，且DEBC.(不需要證明)【探究】如圖，在四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點，判斷四邊形EFGH的形狀，并加以證明；【應(yīng)用】(1)在【探究】的條件下，四邊形ABCD中，滿足什么條件時，四邊形EFGH是菱形？你添加的條件是：_.(只添加一個條件)(2)如圖，在四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點，對角線AC，BD相交于點O.若AOOC，四邊形ABCD面積為5，求陰影部分圖形的面積. 5(xx新鄉(xiāng)模擬)問題背景：已知在ABC中，AB邊上的動點D由A向B運動(與A，B不重合)，同時，點E由點C沿BC的延長線方向運動(E不與C重合)，連接DE交AC于點F，點H是線段AF上一點，求的值(1)初步嘗試如圖，若ABC是等邊三角形，DHAC，且D，E的運動速度相等，小王同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以過點D做DGBC，交AC于點G，先證GHAH.再證GFCF，從而求得的值為_；(2)類比探究如圖，若在ABC中，ABC90，ADHBAC30，且點D，E的運動速度之比是1，求的值；(3)延伸拓展如圖，若在ABC中，ABAC，ADHBAC36，記m，且點D，E的運動速度相等，試用含m的代數(shù)式表示的值(直接寫出結(jié)果，不必寫解答過程) .類型二幾何圖形動態(tài)探究1(xx河南)如圖，在RtABC中，B90，BC2AB8，點D、E分別是邊BC、AC的中點，連接DE，將EDC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為.(1)問題發(fā)現(xiàn)當(dāng)0時，_；當(dāng)180時，_；(2)拓展探究試判斷：當(dāng)0360時，的大小有無變化？請僅就圖的情形給出證明(3)問題解決當(dāng)EDC旋轉(zhuǎn)至A，D，E三點共線時，直接寫出線段BD的長 2已知，點O是等邊ABC內(nèi)的任一點，連接OA，OB，OC.(1)如圖，已知AOB150，BOC120，將BOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60得ADC.DAO的度數(shù)是_；用等式表示線段OA，OB，OC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；(2)設(shè)AOB，BOC.當(dāng)，滿足什么關(guān)系時，OAOBOC有最小值？請在圖中畫出符合條件的圖形，并說明理由；若等邊ABC的邊長為1，直接寫出OAOBOC的最小值. 3(xx 河南)如圖，將兩個完全相同的三角形紙片和重合放置，其中C90，BE30.(1)操作發(fā)現(xiàn) 如圖，固定ABC，使DCE繞點C旋轉(zhuǎn)當(dāng)點D恰好落在AB邊上時，填空：線段DE與AC的位置關(guān)系是_；設(shè)BDC的面積為S1，AEC的面積為S2，則S1與S2的數(shù)量關(guān)系是_；(2) 猜想論證 當(dāng)DEC繞點C旋轉(zhuǎn)到圖所示的位置時，小明猜想(1)中S1與S2的數(shù)量關(guān)系仍然成立，并嘗試分別作出了BDC和AEC中BC、CE邊上的高，請你證明小明的猜想；(3) 拓展探究 已知ABC60，點D是其角平分線上一點，BDCD4，DEAB交BC于點E(如圖)，若在射線BA上存在點F，使SDCFSBDC，請直接寫出相應(yīng)的BF的長. 4(xx鄭州模擬)【問題情境】數(shù)學(xué)課上，李老師提出了如下問題：在ABC中，ABCACB，點D是AB邊上任意一點，將射線DC繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)與過點A且平行于BC邊的直線交于點E.請判斷線段BD與AE之間的數(shù)量關(guān)系小穎在小組合作交流中，發(fā)表自己的意見：“我們不妨從特殊情況下獲得解決問題的思路，然后類比到一般情況”小穎的想法獲得了其他成員一致的贊成【問題解決】(1)如圖，當(dāng)60時，判斷BD與AE之間的數(shù)量關(guān)系；解法如下：過D點作AC的平行線交BC于F，構(gòu)造全等三角形，通過推理使問題得到解決，請你直接寫出線段BD與AE之間的數(shù)量關(guān)系：_.【類比探究】(2)如圖，當(dāng)45時，請判斷線段BD與AE之間的數(shù)量關(guān)系，并進(jìn)行證明；(3)如圖，當(dāng)為任意銳角時，請直接寫出線段BD與AE之間的數(shù)量關(guān)系：_.(用含的式子表示，其中090) 5(xx煙臺)【操作發(fā)現(xiàn)】(1)如圖，ABC為等邊三角形，現(xiàn)將三角板中的60角與ACB重合，再將三角板繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)角大于0且小于30)，旋轉(zhuǎn)后三角板的一直角邊與AB交于點D，在三角板斜邊上取一點F，使CFCD，線段AB上取點E，使DCE30，連接AF，EF.求EAF的度數(shù)；DE與EF相等嗎？請說明理由；【類比探究】(2)如圖，ABC為等腰直角三角形，ACB90，先將三角板的90角與ACB重合，再將三角板繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)角大于0且小于45)，旋轉(zhuǎn)后三角板的一直角邊與AB交于點D，在三角板另一直角邊上取一點F，使CFCD，線段AB上取點E，使DCE45，連接AF，EF，請直接寫出探究結(jié)果：求EAF的度數(shù)；線段AE，ED，DB之間的數(shù)量關(guān)系 題型五第22題幾何圖形探究題類型一幾何圖形靜態(tài)探究1遷移應(yīng)用：證明：BACDAE120，DABCAE，在DAB和EAC中，DABEAC; ,圖)解：結(jié)論：CDADBD.理由：如解圖，作AHCD于H.DABEAC，BDCE，在RtADH中，DHADcos30AD，ADAE，AHDE，DHHE，CDDEEC2DHBDADBD；拓展延伸：證明：如解圖，作BHAE于H，連接BE.四邊形ABCD是菱形，ABC120，ABD，BDC是等邊三角形，BABDBC，E、C關(guān)于BM對稱，BCBEBDBA，F(xiàn)EFC，A、D、E、C四點共圓，ADCAEC120，F(xiàn)EC60，EFC是等邊三角形，解：AE5，ECEF2，AHHE2.5，F(xiàn)H4.5，在RtBHF中，BFH30，cos30，BF3. 2(1)證明：四邊形ABCD是正方形，P與C重合，OBOP，BOCBOG90，PFBG，PFB90，GBO90BGO，EPO90BGO，GBOEPO，在BOG和POE中，BOGPOE(ASA)；(2)解：猜想.證明：如解圖，過P作PMAC交BG于M，交BO于N，PNEBOC90，BPNOCB.OBCOCB45，NBPNPB，NBNP.MBN90BMN，NPE90BMN，MBNNPE，在BMN和PEN中，BMNPEN(ASA)，BMPE.BPEACB，BPNACB，BPFMPF.PFBM，BFPMFP90.在BPF和MPF中，BPFMPF(ASA). BFMF. 即BFBM.BFPE.即；(3)解：如解圖，過P作PMAC交BG于點M，交BO于點N，BPNACB，PNEBOC90.由(2)同理可得BFBM，MBNEPN，BMNPEN，.在RtBNP中，tan，tan，即tan，. 3解：(1)ACB和DCE均為等邊三角形，CACB，CDCE，ACBDCE60，ACDBCE.在ACD和BCE中，ACDBCE(SAS)ADCBEC.DCE為等邊三角形，CDECED60.點A，D，E在同一直線上，ADC120，BEC120，AEBBECCED60；ADBE；(2)AEB90，AEBE2CM.理由：ACB和DCE均為等腰直角三角形，CACB，CDCE，ACBDCE90.ACDBCE.在ACD和BCE中，ACDBCE(SAS)ADBE，ADCBEC.DCE為等腰直角三角形，CDECED45.點A，D，E在同一直線上，ADC135，BEC135，AEBBECCED90.CDCE，CMDE，DMME.DCE90，DMMECM，AEADDEBE2CM；(3)點A到BP的距離為或.理由如下：PD1，點P在以點D為圓心，1為半徑的圓上BPD90，點P在以BD為直徑的圓上點P是這兩圓的交點當(dāng)點P在如解圖所示位置時，連接PD、PB、PA，作AHBP，垂足為H，過點A作AEAP，交BP于點E，四邊形ABCD是正方形，ADB45.ABADDCBC，BAD90.BD2.DP1，BP.BPDBAD90，A、P、D、B在以BD為直徑的圓上，APBADB45.PAE是等腰直角三角形又BAD是等腰直角三角形，點B、E、P共線，AHBP，由(2)中的結(jié)論可得：BP2AHPD.2AH1.AH；當(dāng)點P在如解圖所示位置時，連接PD、PB、PA，作AHBP，垂足為H，過點A作AEAP，交PB的延長線于點E，同理可得：BP2AHPD.2AH1.AH.綜上所述：點A到BP的距離為或. 4解：【探究】平行四邊形理由：如解圖，連接AC，E是AB的中點，F(xiàn)是BC的中點，EFAC，EFAC，同理HGAC，HGAC，綜上可得：EFHG，EFHG，故四邊形EFGH是平行四邊形【應(yīng)用】(1)添加ACBD，理由：連接AC，BD，同(1)知，EFAC，同【探究】的方法得，F(xiàn)GBD，ACBD，EFFG，四邊形EFGH是平行四邊形，EFGH是菱形；(2)如解圖，由【探究】得，四邊形EFGH是平行四邊形，F(xiàn)，G是BC，CD的中點，F(xiàn)GBD，F(xiàn)GBD，CFGCBD，SBCD4SCFG，同理：SABD4SAEH，四邊形ABCD面積為5，SBCDSABD5，SCFGSAEH，同理：SDHGSBEF，S四邊形EFGHS四邊形ABCD(SCFGSAEHSDHGSBEF)5，設(shè)AC與FG，EH相交于M，N，EF與BD相交于P，F(xiàn)GBD，F(xiàn)GBD，CMOMOC，同理：ANONOA，OAOC，OMON，易知，四邊形ENOP，F(xiàn)MOP是平行四邊形，SEPONSFMOP，S陰影S四邊形EFGH. 5解：(1)ABC是等邊三角形，AGD是等邊三角形，ADGD，由題意知：CEAD，CEGD，DGBC，GDFCEF，在GDF與CEF中，GDFCEF(AAS)，CFGF，DHAG，AHGH，ACAGCG2GH2GF2(GHGF)2HF，2；(2)如解圖，過點D作DGBC交AC于點G，則ADGABC90.BACADH30，AHDH，GHDBACADH60，HDGADGADH60，DGH為等邊三角形GDGHDHAH，ADGDtan60GD.由題意可知，ADCE.GDCE.DGBC，GDFCEF.在GDF與CEF中，GDFCEF(AAS)，GFCF.GHGFAHCF，即HFAHCF，HFAC，即2；(3).理由如下：如解圖，過點D作DGBC交AC于點G，易得ADAG，ADEC，AGDACB.在ABC中，BACADH36，ABAC，AHDH，ACBB72，GHDHADADH72.AGDGHD72，GHDBHGDACB，ABCDGH.m，GHmDHmAH.由ADGABC可得m.DGBC，m.FGmFC.GHFGm(AHFC)m(ACHF)，即HFm(ACHF). 類型二幾何圖形動態(tài)探究1解：(1)當(dāng)0時，RtABC中，B90，AC4，點D、E分別是邊BC、AC的中點，AE422，BD824，.如解圖，當(dāng)180時，可得ABDE，；(2)當(dāng)0360時，的大小沒有變化，ECDACB，ECADCB，又，ECADCB，；(3)當(dāng)D在AE上時，如解圖，AC4，CD4，CDAD，AD8，ADBC，ABDC，B90，四邊形ABCD是矩形，BDAC4；當(dāng)D在AE延長線上時，如解圖，連接BD，過點D作AC的垂線交AC于點Q，過點B作AC的垂線交AC于點P，AC4，CD4，CDAD，AD8，原圖中點D、E分別是邊BC、AC的中點，DEAB(82)42，AEADDE826，由(2)可得，BD.綜上所述，BD的長為4或. 2解：(1)AOB150，BOC120，AOC90，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，OCD60，ADCBOC120，DAO360609012090；線段OA，OB，OC之間的數(shù)量關(guān)系是OA2OB2OC2.如解圖，連接OD.BOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60得ADC，ADCBOC，OCD60.CDOC，OCD是等邊三角形，OCODCD，CODCDO60，AOB150，BOC120，AOC90，AOD30，ADO60.DAO90.在RtADO中，DAO90，OA2AD2OD2，OA2OB2OC2；(2)當(dāng)120時，OAOBOC有最小值作圖如解圖，將AOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60得AOC，連接OO.AOCAOC，OCOACA60.OCOC，OAOA，ACAC，AOCAOC.OCO是等邊三角形OCOCOO，COOCOO60.AOBBOC120，AOCAOC120.BOOOOA180.B，O，O，A四點共線OAOBOCOAOBOOBA時值最?。划?dāng)?shù)冗匒BC的邊長為1時，OAOBOC的最小值為AB. 3解：(1)DEC繞點C旋轉(zhuǎn)使點D恰好落在AB邊上，ACCD，BAC90B903060，ACD是等邊三角形，ACD60，又CDEBAC60，ACDCDE，DEAC；B30，C90，CDACAB，BDADAC，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，ACD的邊AC、AD上的高相等，BDC的面積和AEC的面積相等(等底等高的三角形的面積相等)，即S1S2；(2)DEC是由ABC繞點C旋轉(zhuǎn)得到，BCCE，ACCD，ACNBCN90，DCMBCN1809090，ACNDCM，在ACN和DCM中，ACNDCM(AAS)，ANDM，BDC的面積和AEC的面積相等(等底等高的三角形的面積相等)，即S1S2；(3)如解圖，過點D作DF1BE，易求四邊形BEDF1是菱形，BEDF1，且BE、DF1上的高相等，此時SDCF1SBDE；過點D作DF2BD，ABC60，F(xiàn)1DBE，F(xiàn)2F1DABC60，BF1DF1，F(xiàn)1BDABC30，F(xiàn)2DB90，F(xiàn)1DF2ABC60，DF1F2是等邊三角形，DF1DF2，BDCD，ABC60，點D是角平分線上一點，DBCDCB6030，CDF1180BCD18030150，CDF236015060150，CDF1CDF2，在CDF1和CDF2中，CDF1CDF2(SAS)，點F2也是所求的點，ABC60，點D是角平分線上一點，DEAB，DBCBDEABD6030，又BD4，BEED4cos302，BF1，BF2BF1F1F2，故BF的長為或. 4解：(1)當(dāng)60時，ABC、DCE是等邊三角形，ECDC，ACBC，ACBDCE60，ACBACDDCEACD，即BCDACE，在BDC和AEC中，BDCAEC(SAS)，BDAE；(2)BDAE；理由如下：如解圖，過點D作DFAC，交BC于F.DFAC，ACBDFB.ABCACB，45，ABCACBDFB45.DFB是等腰直角三角形BDDFBF.AEBC，ABCBAE180.DFBDFC180，BAEDFC.ABCBCDADC，ABCCDE，ADEBCD.ADEFCD.DFAC，.BDAE.(3)補全圖形如解圖，AEBC，EACACB，EACEDC，A、D、C、E四點共圓，ADEACE，ADEEDCADCABCBCD，ABCEDC，ADEBCD，ACEBCD，ABCEAC，BDCAEC，又2cos，BD2cosAE. 5解：(1)ABC是等邊三角形，ACBC，BACB60，DCF60，ACFBCD，在ACF和BCD中，ACFBCD(SAS)，CAFB60，EAFBACCAF120；相等；理由如下：DCF60，DCE30，F(xiàn)CE603030，DCEFCE，在DCE和FCE中，DCEFCE(SAS)，DEEF；(2)ABC是等腰直角三角形，ACB90，ACBC，BACB45，DCF90，ACFBCD，在ACF和BCD中，ACFBCD(SAS)，CAFB45，AFBD，EAFBACCAF90；AE2DB2DE2；理由如下：DCF90，DCE45，F(xiàn)CE904545，DCEFCE，在DCE和FCE中，DCEFCE(SAS)，DEEF，在RtAEF中，AE2AF2EF2，又AFDB，AE2DB2DE2.