4.4相似三角形過(guò)關(guān)演練(40分鐘90分)1.已知ab=23,那么aa+b的值為(B)A.13B.25C.35D.34【解析】因?yàn)閍b=23,設(shè)a=2k,則b=3k,則原式=2k2k+3k=25.2.若ABCDEF,相似比為32,則對(duì)應(yīng)高的比為(A)A.32B.35C.94D.49【解析】因?yàn)锳BCDEF,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)“相似三角形對(duì)應(yīng)高之比等于相似比”可得對(duì)應(yīng)高的比為32.3.如圖,ADBECF,直線(xiàn)l1,l2與這三條平行線(xiàn)分別交于點(diǎn)A,B,C和點(diǎn)D,E,F.已知AB=1,BC=3,DE=2,則EF的長(zhǎng)為(C)A.4B.5C.6D.8【解析】ADBECF,ABBC=DEEF,AB=1,BC=3,DE=2,13=2EF,解得EF=6.4.如圖,以點(diǎn)O為位似中心,將ABC放大得到DEF.若AD=OA,則ABC與DEF的面積之比為(B)A.12B.14C.15D.16【解析】以點(diǎn)O為位似中心,將ABC放大得到DEF,AD=OA,OAOD=12,ABC與DEF的面積之比為14.5.(xx哈爾濱)如圖,在ABC中,點(diǎn)D在BC邊上,連接AD,點(diǎn)G在線(xiàn)段AD上,GEBD,且交AB于點(diǎn)E,GFAC,且交CD于點(diǎn)F,則下列結(jié)論一定正確的是(D)A.ABAE=AGADB.DFCF=DGADC.FGAC=EGBDD.AEBE=CFDF【解析】GEBD,GFAC,AEGABD,DFGDCA,AEAB=AGAD,DGDA=DFDC,AEBE=AGDG=CFDF.6.(xx浙江紹興)學(xué)校門(mén)口的欄桿如圖所示,欄桿從水平位置BD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到AC位置,已知ABBD,CDBD,垂足分別為B,D,AO=4 m,AB=1.6 m,CO=1 m,則欄桿C端應(yīng)下降的垂直距離CD為(C)A.0.2 mB.0.3 mC.0.4 mD.0.5 m【解析】ABBD,CDBD,ABO=CDO=90,又AOB=COD,ABOCDO,則AOCO=ABCD,AO=4 m,AB=1.6 m,CO=1 m,41=1.6CD,解得CD=0.4 m.7.將三角形紙片ABC按如圖所示的方式折疊,使點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)D,折痕為EF.已知AB=AC=3,BC=4,若以點(diǎn)B,D,F為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似,那么CF的長(zhǎng)度是(D)A.2B.125或2C.127D.127或2【解析】ABC沿EF折疊,點(diǎn)C和點(diǎn)D重合,FD=CF,設(shè)CF=x,則BF=4-x,以點(diǎn)B,D,F為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似,分兩種情況:若BFD=C,則BDFBAC,FDBF=ACBC,即x4-x=34,解得x=127;若BFD=A,則BDFBCA,FDBF=ACAB=1,即x4-x=1,解得x=2.綜上,CF的長(zhǎng)為127或2.8.如圖,在ABC中,ACB=90,AC=BC=1,E,F為線(xiàn)段AB上兩動(dòng)點(diǎn),且ECF=45,過(guò)點(diǎn)E,F分別作BC,AC的垂線(xiàn)相交于點(diǎn)M,垂足分別為H,G.現(xiàn)有以下結(jié)論:AB=2;當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí),MH=12;AF+BE=EF;MGMH=12.其中正確的是(C)A.B.C.D.【解析】由題意知,ABC是等腰直角三角形,AB=AC2+BC2=2,故正確;如圖1,當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí),點(diǎn)H與點(diǎn)B重合,MBBC,MBC=90,MGAC,MGC=90=ACB=MBC,MGBC,四邊形MGCB是矩形,MH=MB=CG,ECF=45=ABC,A=ACF=45,CF=AF=BF,FG是ACB的中位線(xiàn),MH=GC=12AC=12,故正確;如圖2所示,AC=BC,ACB=90,A=5=45,將ACF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90至BCD,則CF=CD,1=4,6=A=45,BD=AF,2=45,1+3=3+4=45,DCE=2,在ECF和ECD中,CF=CD,2=DCE,CE=CE,ECFECD(SAS),EF=DE.5=45,EBD=90,DE2=BD2+BE2,即EF2=AF2+BE2,故錯(cuò)誤;如圖2,7=1+A=1+45=1+2=ACE,又A=5=45,ACEBFC,AEBC=ACBF,AEBF=ACBC=1,由題意知四邊形CHMG是矩形,MGBC,MH=CG,MHAC,CHBC=AEAB,CGAC=BFAB,即MG1=AE2,MH1=BF2,MG=22AE,MH=22BF,MGMH=22AE22BF=12AEBF=12ACBC=12,故正確.9.已知線(xiàn)段a,b,c,其中a=4,c=9,那么a和c的比例中項(xiàng)b=6.【解析】b是a,c的比例中項(xiàng),b2=ac,即b2=36,b=6(負(fù)數(shù)舍去).10.如圖,在ABC中,ABAC,D,E分別為邊AB,AC上的點(diǎn),AC=3AD,AB=3AE,點(diǎn)F為BC邊上一點(diǎn),添加一個(gè)條件本題答案不唯一,如A=BDF,A=BFD,ADE=BFD,ADE=BDF,DFAC,BDAE=BFED,BDDE=BFAE,可以使得FDB與ADE相似.(只需寫(xiě)出一個(gè))【解析】AC=3AD,AB=3AE,ADAC=AEAB=13,又A=A,ADEACB,AED=B.故要使FDB與ADE相似,只需再添加一組對(duì)應(yīng)角相等,或夾角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例即可.11.如圖,在ABC中,D是AB的中點(diǎn),點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上,且BC=CE,連接DE交AC于點(diǎn)F,則AFCF=21.【解析】取DE的中點(diǎn)G,連接CG,BC=CE,CGAB,BDCG=21,BD=AD,ADCG=21,又ADFCGF,AFCF=21.12.(xx山東泰安)九章算術(shù)是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作,在“勾股”章中有這樣一個(gè)問(wèn)題:“今有邑方二百步,各中開(kāi)門(mén),出東門(mén)十五步有木,問(wèn):出南門(mén)幾步面見(jiàn)木?”用今天的話(huà)說(shuō),大意是:如圖,四邊形DEFG是一座邊長(zhǎng)為200步(“步”是古代的長(zhǎng)度單位)的正方形小城,東門(mén)H位于GD的中點(diǎn),南門(mén)K位于ED的中點(diǎn),出東門(mén)15步的A處有一樹(shù)木,求出南門(mén)多少步恰好看到位于A處的樹(shù)木(即點(diǎn)D在直線(xiàn)AC上)?請(qǐng)你計(jì)算KC的長(zhǎng)為20003步.【解析】DH=100,DK=100,AH=15,AHDK,CDK=A,而CKD=AHD,CDKDAH,CKDH=DKAH,即CK100=10015,CK=20003.13.(8分)如圖,平行四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E在邊BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上,且OE=OB,連接DE.(1)求證:DEBE;(2)如果OECD,求證:BDCE=CDDE.解:(1)OB=OE,OEB=OBE.四邊形ABCD是平行四邊形,OB=OD,OD=OE,OED=ODE.在BED中,OEB+OBE+OED+ODE=180,OEB+OED=90,即BED=90,DEBE.(2)設(shè)OE交CD于點(diǎn)H.OECD于點(diǎn)H,CHE=90,CEH+HCE=90,CDE=CEH.OEB=OBE,OBE=CDE.在CED與DEB中,CED=DEB,CDE=DBE,CEDDEB,CEDE=CDDB,即BDCE=CDDE.14.(10分)已知RtABC中,B=90,AC=20,AB=10,P是邊AC上一點(diǎn)(不包括端點(diǎn)A,C),過(guò)點(diǎn)P作PEBC于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作EFAC,交AB于點(diǎn)F.設(shè)PC=x,PE=y.(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式.(2)是否存在點(diǎn)P使PEF是直角三角形?若存在,求此時(shí)的x的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.解:(1)在RtABC中,B=90,AC=20,AB=10,sin C=12,PEBC于點(diǎn)E,sin C=PEPC=12,PC=x,PE=y,y=12x(0<x<20).(2)存在點(diǎn)P使PEF是直角三角形.如圖1,當(dāng)FPE=90時(shí),四邊形PEBF是矩形,BF=PE=12x,四邊形APEF是平行四邊形,AF=PE=12x,BF+AF=AB=10,x=10.如圖2,當(dāng)PFE=90時(shí),RtAPFRtABC,AFP=C=30,AF=40-2x,平行四邊形AFEP中,AF=PE,40-2x=12x,解得x=16.當(dāng)PEF=90時(shí),此時(shí)不存在符合條件的RtPEF.綜上,當(dāng)x=10或x=16時(shí),存在點(diǎn)P使PEF是直角三角形.15.(10分)(xx浙江寧波)若一個(gè)三角形一條邊的平方等于另兩條邊的乘積,我們把這個(gè)三角形叫做比例三角形.(1)已知ABC是比例三角形,AB=2,BC=3,請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿(mǎn)足條件的AC的長(zhǎng);(2)如圖1,在四邊形ABCD中,ADBC,對(duì)角線(xiàn)BD平分ABC,BAC=ADC.求證:ABC是比例三角形.(3)如圖2,在(2)的條件下,當(dāng)ADC=90時(shí),求BDAC的值.解:(1)ABC是比例三角形,且AB=2,BC=3,當(dāng)AB2=BCAC時(shí),得4=3AC,解得AC=43;當(dāng)BC2=ABAC時(shí),得9=2AC,解得AC=92;當(dāng)AC2=ABBC時(shí),得AC2=6,解得AC=6(負(fù)值舍去).所以當(dāng)AC=43或92或6時(shí),ABC是比例三角形.(2)ADBC,ACB=CAD,又BAC=ADC,ABCDCA,BCCA=CAAD,即CA2=BCAD,ADBC,ADB=CBD,BD平分ABC,ABD=CBD,ADB=ABD,AB=AD,CA2=BCAB,ABC是比例三角形.(3)過(guò)點(diǎn)A作AHBD于點(diǎn)H,AB=AD,BH=12BD,ADBC,ADC=90,BCD=90,BHA=BCD=90,又ABH=DBC,ABHDBC,ABDB=BHBC,即ABBC=BHDB,ABBC=12BD2,又ABBC=AC2,12BD2=AC2,BDAC=2.16.(10分)如圖1,在四邊形ABCD的邊AB上任取一點(diǎn)E(點(diǎn)E不與點(diǎn)A,B重合),分別連接ED,EC,可以把四邊形ABCD分成三個(gè)三角形,如果其中有兩個(gè)三角形相似,我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的“相似點(diǎn)”;如果這三個(gè)三角形都相似,我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的“強(qiáng)相似點(diǎn)”.【試題再現(xiàn)】如圖2,在ABC中,ACB=90,直角頂點(diǎn)C在直線(xiàn)DE上,分別過(guò)點(diǎn)A,B作ADDE于點(diǎn)D,BEDE于點(diǎn)E.求證:ADCCEB.【問(wèn)題探究】在圖1中,若A=B=DEC=40,試判斷點(diǎn)E是否為四邊形ABCD的邊AB上的“相似點(diǎn)”,并說(shuō)明理由.【深入探究】如圖3,ADBC,DP平分ADC,CP平分BCD交DP于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作ABAD于點(diǎn)A,交BC于點(diǎn)B.(1)請(qǐng)證明點(diǎn)P是四邊形ABCD的邊AB上的一個(gè)“強(qiáng)相似點(diǎn)”;(2)若AD=3,BC=5,試求AB的長(zhǎng).解:【試題再現(xiàn)】ACB=90,ACD+BCE=90,ADDE,ACD+CAD=90,BCE=CAD,ADC=CEB=90,ADCCEB.【問(wèn)題探究】點(diǎn)E是四邊形ABCD的邊AB上的“相似點(diǎn)”.理由:DEC=40,DEA+CEB=140.A=40,ADE+AED=140,ADE=CEB,又A=B,ADEBEC,點(diǎn)E是四邊形ABCD的邊AB上的“相似點(diǎn)”.【深入探究】(1)ADBC,ADC+BCD=180,DP平分ADC,CP平分BCD,CDP+DCP=12(ADC+BCD)=90,DAAB,CBAB,DPC=A=B=90,ADP=CDP,ADPPDC,同理BPCPDC,ADPPDCBPC,即點(diǎn)P是四邊形ABCD的邊AB上的一個(gè)“強(qiáng)相似點(diǎn)”.(2)過(guò)點(diǎn)P作PEDC于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)D作DFBC于點(diǎn)F,則四邊形ABFD是矩形,DF=AB,ADP=EDP,DAP=DEP=90,DP=DP,ADPEDP,AD=DE,同理CBPCEP,BC=EC,DC=AD+BC=8.在RtCDF中,CF=BC-BF=BC-AD=5-3=2,由勾股定理得DF=82-22=215,AB=215.名師預(yù)測(cè)1.如圖,DEF是由ABC經(jīng)過(guò)位似變換得到的,點(diǎn)O是位似中心,D,E,F分別是OA,OB,OC的中點(diǎn),則DEF與ABC的面積比是(B)A.12B.14C.15D.16【解析】D,F分別是OA,OC的中點(diǎn),DF=12AC,DEF與ABC的相似比是12,DEF與ABC的面積比是14.2.如圖,已知在ABCD中,E為AD的中點(diǎn),CE的延長(zhǎng)線(xiàn)交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F,則下列選項(xiàng)中的結(jié)論錯(cuò)誤的是(C)A.FAFB=12B.AEBC=12C.BECF=12D.SABESFBC=14【解析】四邊形ABCD是平行四邊形,CDAB,CD=AB,DECAEF,CDAF=CEEF=DEAE,E為AD的中點(diǎn),CD=AF,FE=EC,FAFB=12,故A正確;FE=EC,FA=AB,AEBC=12,故B正確;FBC不一定是直角,BECF不一定等于12,故C錯(cuò)誤;AEBC,AE=12BC,SFAESFBC=14,SFAE=SABE,SABESFBC=14,故D正確.3.如圖,在ABCD中,點(diǎn)F是BD的一個(gè)四等分點(diǎn),EC交對(duì)角線(xiàn)BD于點(diǎn)F,S1,S2分別表示三角形DEF和四邊形ABFE的面積,則S1S2等于(C)A.19B.110C.111D.112【解析】點(diǎn)F是BD的一個(gè)四等分點(diǎn),DFFB=13.由ADBC得DEFBCF,S1=19SCFB=1934SBCD=112SBCD=112SABD,S2=SABD-S1=1112SABD,S1S2=111.4.一副三角板按如圖所示疊放在一起,則COOB=31.【解析】設(shè)BD=x,則AD=2x,在RtABD中,由勾股定理得AB=(2x)2-x2=3x=AC,又ACBD,AOCDOB,COOB=ACBD=3xx=3.5.已知在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A(0,3),B(-6,0).連接AB,作直線(xiàn)y=1,交AB于點(diǎn)P1,過(guò)點(diǎn)P1作P1Q1x軸于點(diǎn)Q1;連接AQ1,交直線(xiàn)y=1于點(diǎn)P2,作P2Q2x軸于點(diǎn)Q2;,以此類(lèi)推.則點(diǎn)Q3的坐標(biāo)為-169,0;PnQnA的面積為2n3n-1.(用含n的代數(shù)式表示)【解析】點(diǎn)A(0,3),B(-6,0),直線(xiàn)y=1交AB于點(diǎn)P1,OA=3,OB=6,P1Q1=P2Q2=P3Q3=1,P1Q1x軸于點(diǎn)Q1,P2Q2x軸于點(diǎn)Q2,P1Q1P2Q2P3Q3PnQny軸,BP1Q1BAO,P2Q1Q2AQ1O,P3Q2Q3AQ2O,P1Q1OA=BQ1OB,P2Q2OA=Q1Q2OQ1,P3Q3OA=Q2Q3OQ2,BQ1=2,Q1Q2=43,Q2Q3=89,Q1(-4,0),Q2-83,0,Q3-169,0,即Q1-2230,0,Q2-2331,0,Q3-2432,0,Qn-1-2n3n-2,0,Qn-2n+13n-1,0,SP1Q1A=12P1Q1OQ1=12OQ1=124=2,同理可得SP2Q2A=12OQ2=43,SPnQnA=12OQn=2n3n-1.6.在ABC中,AC=4,AB=5,BC=6,P是BC上一點(diǎn),且BP=2.過(guò)點(diǎn)P畫(huà)直線(xiàn)PE交ABC的另一邊于點(diǎn)E,使截得的三角形與ABC相似,則線(xiàn)段PE的長(zhǎng)為43或85或103.【解析】分三種情況:當(dāng)PE1CA時(shí),BPE1BCA,BPBC=PE1AC,26=PE14,PE1=43;當(dāng)BPE2=A時(shí),BPE2BAC,BPAB=PE2AC,25=PE24,PE2=85;當(dāng)PE3AB時(shí),CPE3CBA,CPBC=PE3AB,46=PE35,PE3=103.綜上,PE的值為43或85或103.7.已知在正方形ABCD中,AB=4,E為CD邊的中點(diǎn),F為AD邊的中點(diǎn),AE交BD于點(diǎn)G,交BF于點(diǎn)H,連接DH.(1)求證:BG=2DG;(2)求AHHGGE的值;(3)求BHHD的值.解:(1)四邊形ABCD是正方形,ABCD,AB=CD,DE=CE,ABGEDG,DEAB=DGBG=12,BG=2DG.(2)ABCD,AB=CD,DE=CE,ABGEDG,DEAB=DGBG=EGAG=12,在RtADE中,AD=4,DE=2,AE=25,EG=253,同理可得BF=25,AB=AD,BAF=ADE,AF=DE,BAFADE,ABF=DAE,DAE+BAH=90,ABF+BAH=90,AHB=90,AEBF,AH=ABAFBF=4225=455,HG=25-455-253=8515,AHHGGE=4558515253=645.(3)作DMAE于點(diǎn)M.由(2)可知DM=AH=455,EM=DE2-DM2=255,HM=EH-EM=455,DH=4105,BH=AB2-AH2=855,BHHD=8554105=2.