一元二次方程及其應(yīng)用 08一元二次方程及其應(yīng)用限時(shí):30分鐘夯實(shí)基礎(chǔ)1.將一元二次方程4x2+7=3x化成一般式后,二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)分別為()A.4,3B.4,7C.4,-3D.4x2,-3x2.一元二次方程x2-6x-5=0配方后可變形為()A.(x-3)2=14B.(x-3)2=4C.(x+3)2=14D.(x+3)2=43.若關(guān)于x的方程x2+3x+a=0有一個(gè)根為-1,則另一個(gè)根為()A.-2B.2C.4D.-34.xx大連 如圖K8-1,有一張矩形紙片,長10 cm,寬6 cm,在它的四角各減去一個(gè)同樣的小正方形,然后折疊成一個(gè)無蓋的長方體紙盒.若紙盒的底面(圖中陰影部分)面積是32 cm2,求剪去的小正方形的邊長.設(shè)剪去的小正方形邊長是x cm,根據(jù)題意可列方程為()A.106-46x=32 B.(10-2x)(6-2x)=32C.(10-x)(6-x)=32 圖K8-1D.106-4x2=325.xx湘潭 若一元二次方程x2-2x+m=0有兩個(gè)不相同的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.m1B.m1C.m>1D.m<16.xx仙桃 若,為方程2x2-5x-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則22+3+5的值為()A.-13B.12C.14D.157.xx淮安 一元二次方程x2-x=0的根是.8.xx南京 設(shè)x1,x2是一元二次方程x2-mx-6=0的兩個(gè)根,且x1+x2=1,則x1=,x2=.9.xx梧州 解方程:2x2-4x-30=0.10.xx十堰 已知關(guān)于x的一元二次方程x2-(2k-1)x+k2+k-1=0有實(shí)數(shù)根.(1)求k的取值范圍;(2)若此方程的兩實(shí)數(shù)根x1,x2滿足x12+x22=11,求k的值.11.xx綏化 已知關(guān)于x的一元二次方程x2-5x+2m=0有實(shí)數(shù)根.(1)求m的取值范圍;(2)當(dāng)m=52時(shí),方程的兩根分別是矩形的長和寬,求該矩形外接圓的直徑.能力提升12.xx泰安 一元二次方程(x+1)(x-3)=2x-5根的情況是()A.無實(shí)數(shù)根B.有一個(gè)正根,一個(gè)負(fù)根C.有兩個(gè)正根,且都小于3D.有兩個(gè)正根,且有一根大于313.xx濰坊 定義x表示不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù),如1.8=1,-1.4=-2,-3=-3.函數(shù)y=x的圖象如圖K8-2所示,則方程x=12x2的解為() A.0或2B.0或2C.1或-2D.2或-2 圖K8-214.xx瀘州 已知x1,x2是一元二次方程x2-2x-1=0的兩實(shí)數(shù)根,則12x1+1+12x2+1的值是.15.如圖K8-3,已知一艘輪船以20海里/時(shí)的速度由西向東航行,途中接到臺(tái)風(fēng)警報(bào),臺(tái)風(fēng)中心正以40海里/時(shí)的速度由南向北移動(dòng),距臺(tái)風(fēng)中心2010海里的圓形區(qū)域(包括邊界)都屬臺(tái)風(fēng)區(qū).當(dāng)輪船到A處時(shí),測(cè)得臺(tái)風(fēng)中心移到位于點(diǎn)A正南方向B處,且AB=100海里,若這艘輪船自A處按原速度繼續(xù)航行,在途中會(huì)不會(huì)遇到臺(tái)風(fēng)?若會(huì),試求輪船最初遇到臺(tái)風(fēng)的時(shí)間;若不會(huì),請(qǐng)說明理由.圖K8-316.xx江漢 已知關(guān)于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2-2=0.(1)若該方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,求m的最小整數(shù)值;(2)若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1,x2,且(x1-x2)2+m2=21,求m的值.17.xx東營 關(guān)于x的方程2x2-5xsinA+2=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,其中A是銳角三角形ABC的一個(gè)內(nèi)角.(1)求sinA的值;(2)若關(guān)于y的方程y2-10y+k2-4k+29=0的兩個(gè)根恰好是ABC的兩邊長,求ABC的周長.拓展練習(xí)18.xx福建A卷 已知關(guān)于x的一元二次方程(a+1)x2+2bx+a+1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.下列判斷正確的是()A.1一定不是關(guān)于x的方程x2+bx+a=0的根B.0一定不是關(guān)于x的方程x2+bx+a=0的根C.1和-1都是關(guān)于x的方程x2+bx+a=0的根D.1和-1不都是關(guān)于x的方程x2+bx+a=0的根參考答案1.C2.A3.A4.B5.D6.B7.x1=0,x2=18.-2,39.解:2x2-4x-30=0,x2-2x-15=0,(x-5)(x+3)=0.x1=5,x2=-3.10.解:(1)關(guān)于x的一元二次方程x2-(2k-1)x+k2+k-1=0有實(shí)數(shù)根,0,即-(2k-1)2-41(k2+k-1)=-8k+50.解得k58.(2)由根與系數(shù)的關(guān)系,可得x1+x2=2k-1,x1x2=k2+k-1,x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=(2k-1)2-2(k2+k-1)=2k2-6k+3.x12+x22=11,2k2-6k+3=11,解得k=-1或k=4.k58,k=4舍去.k=-1.11.解:(1)方程x2-5x+2m=0有實(shí)數(shù)根,=(-5)2-42m0.m258.當(dāng)m258時(shí),原方程有實(shí)數(shù)根.(2)當(dāng)m=52時(shí),原方程可化為x2-5x+5=0,設(shè)方程的兩個(gè)根分別為x1,x2,則x1+x2=5,x1x2=5.該矩形對(duì)角線長為x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=25-10=15.該矩形外接圓的直徑是15.12.D解析 根據(jù)x2-4x+2=0,解得x1=2+2,x2=2-2,故選D.13.A解析 當(dāng)1x<2時(shí),12x2=1,解得x1=2,x2=-2(舍);當(dāng)0x<1時(shí),12x2=0,x=0;當(dāng)-1x<0時(shí),12x2=-1,方程沒有實(shí)數(shù)解;當(dāng)-2x<-1時(shí),12x2=-2,方程沒有實(shí)數(shù)解.所以方程x=12x2的解為0或2.14.6解析 由根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2=2,x1x2=-1,原式=2x1+2x2+2(2x1+1)(2x2+1)=2(x1+x2)+24x1x2+2(x1+x2)+1=22+24(-1)+22+1=6.15.解:設(shè)途中會(huì)遇到臺(tái)風(fēng),且最初遇到的時(shí)間為t時(shí),此時(shí)輪船位于C處,臺(tái)風(fēng)中心移到E處,如圖.連接CE,則AC=20t,AE=AB-BE=100-40t,AC2+AE2=EC2.(20t)2+(100-40t)2=(2010)2,即400t2+10000-8000t+1600t2=4000.t2-4t+3=0,(t-1)(t-3)=0.解得t1=1,t2=3(不合題意,舍去).答:輪船在途中會(huì)遇到臺(tái)風(fēng),最初遇到的時(shí)間為離開A處1小時(shí).16.解:(1)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,=(2m+1)2-41(m2-2)=4m+9.0,4m+90,m-94.m的最小整數(shù)值為-2.(2)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1,x2,x1+x2=-(2m+1),x1x2=m2-2.又(x1-x2)2+m2=21,(x1+x2)2-4x1x2+m2=21.-(2m+1)2-4(m2-2)+m2=21.m1=2,m2=-6.m-94時(shí),方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,m=2.17.解:(1)關(guān)于x的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,=25sin2A-16=0.sin2A=1625.sinA=45.A為銳角,sinA=45.(2)y2-10y+k2-4k+29=0,(y-5)2+(k-2)2=0.k=2,y1=y2=5.ABC是等腰三角形,且腰長為5.分兩種情況:A是頂角時(shí),如圖,AB=AC=5,過點(diǎn)B作BDAC于點(diǎn)D.在RtABD中,sinA=45,BD=4,AD=3.DC=2.BC=25.ABC的周長為10+25.A是底角時(shí),如圖,BA=BC=5,過點(diǎn)B作BDAC于點(diǎn)D.在RtABD中,sinA=45,BD=4,AD=DC=3,AC=6.ABC的周長為16.綜上,ABC的周長為10+25或16.18.D解析 因?yàn)殛P(guān)于x的方程(a+1)x2+2bx+a+1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,所以=0.所以4b2-4(a+1)2=0,(b+a+1)(b-a-1)=0.解得a-b+1=0或a+b+1=0.所以1是關(guān)于x的方程x2+bx+a=0的根,或-1是關(guān)于x的方程x2+bx+a=0的根;另一方面,若1和-1都是關(guān)于x的方程x2+bx+a=0的根,則必有a+b=-1,a-b=-1,解得a=-1,b=0,此時(shí)有a+1=0,這與已知(a+1)x2+2bx+a+1=0是關(guān)于x的一元二次方程相矛盾,所以1和-1不都是關(guān)于x的方程x2+bx+a=0的根.故選D.