圓與圓的方程圓與圓的方程1.圓心為點C(8，-3)，且過點A(5，1)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）A.(x+8)2+(y-3)2=5B.(x-8)2+(y+3)2=5C.(x+8)2+(y-3)2=25 D.(x-8)2+(y+3)2=25 半徑所以所求的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-8)2+(y+3)2=25.選D.2(85)2( 31)5rCA ，D2.方程y=對應(yīng)的曲線是（ ） 原曲線方程可化為x2+y2=4（y0），表示下半圓,選A.24xA3.半徑為5且圓心在y軸上的圓與x軸相切，則圓的方程為（ ）A.x2+y2+10y=0B.x2+y2+10y=0或x2+y2-10y=0C.x2+y2-10y=0D.x2+y2+10 x=0或x2+y2-10 x=0B設(shè)圓心為（0，b），由題意，則圓的方程為x2+（y-b）2=b2.因為半徑為5.所以 =5,b=5.故圓的方程為x2+y2+10y=0或x2+y2-10y=0.選B. 易錯點：圓心的位置可能在y軸上半軸或下半軸.b4.已知圓C1：(x+1)2+(y-1)2=1，圓C2與圓C1關(guān)于直線x-y-1=0對稱，則圓C2的方程為. 設(shè)圓C2的圓心為（a，b），則依題意，對稱圓的半徑不變，為1，故填(x-2)2+（y+2）2=1.(x-2)2+(y+2)2=1有有，解得解得：a=2b=-2.111022ab111ba 5.若圓x2+y2+（a2-1）x+2ay-a=0關(guān)于直線x-y+1=0對稱，則實數(shù)a=. 依題意直線x-y+1=0，過已知圓的圓心所以解得a=3或a=-1，當(dāng)a=-1時，方程x2+y2+（a2-1）x+2ay-a=0不能表示圓，所以只能取a=3.填3. 易錯點：方程x2+y2+Dx+Ey+F=0僅在D2+E2-4F0時才表示圓，因此需檢驗不等式是否成立.321,2aa （），21102aa ，1.圓的定義：平面內(nèi)到一個定點的距離等于定長的點的集合（軌跡）叫做圓，定點叫做圓心，定長叫做圓的半徑.2.圓的方程（1）標(biāo)準(zhǔn)方程：以（a,b）為圓心，r（r0）為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-a）2+（y-b）2=r2.（2）一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0.當(dāng)D2+E2-4F0時，表示圓的一般方程，其圓心的坐標(biāo)為半徑當(dāng)D2+E2-4F=0時，只表示一個點（-D2,-E2）；當(dāng)D2+E2-4Fr2;若點M（x0,y0）在圓C內(nèi)，則（x0-a）2+（y0-b）20,所以 -10.514.36-10.5=3.86 m答：支柱A2P2的長度約為3.86 m. 2214.52y （）直線與圓的方程在實際生活以及平面幾何中有著廣泛的應(yīng)用，用坐標(biāo)方法解決幾何問題時，先用坐標(biāo)和方程表示相應(yīng)的幾何元素：點、直線、圓，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；然后通過代數(shù)運算解決代數(shù)問題；最后解釋代數(shù)運算的結(jié)果的幾何含義，得到幾何問題的結(jié)論. 一艘輪船在沿直線返回港口的途中，接到氣象臺的臺風(fēng)預(yù)報：臺風(fēng)中心O位于輪船A正西70 km處，受影響的范圍是半徑為30 km的圓形區(qū)域.已知港口B位于臺風(fēng)中心正北40 km處，如果這艘輪船不改變航線，那么它是否會受到臺風(fēng)的影響？以臺風(fēng)中心為原點O，東西方向為x軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，其中，取10 km為單位長度.則受臺風(fēng)影響的圓形區(qū)域?qū)?yīng)的圓心為應(yīng)的圓心為O的圓的方程為的圓的方程為x2+y2=9；輪船航線；輪船航線所在直線所在直線l的方程為的方程為4x+7y-28=0；因為圓心；因為圓心O到直線的距離到直線的距離 所以這艘輪船不改所以這艘輪船不改變航線，不會受到臺風(fēng)的影響變航線，不會受到臺風(fēng)的影響.28365d ，已知圓x2+y2+x-6y+m=0和直線x+2y-3=0交于P，Q兩點，且OPOQ（O為坐標(biāo)原點），求該圓的圓心坐標(biāo)及半徑. 利用OPOQ得到O點在以PQ為直徑的圓上，在利用勾股定理求解.設(shè)已知圓的圓心為C，弦PQ中點為M，因為CMPQ,所以kCM=2，所以CM所在直線的方程為即：y=2x+4.y=2x+4x+2y-3=0,解得M的坐標(biāo)為（-1，2）.1322yx（），由方程組由方程組則以PQ為直徑的圓可設(shè)為(x+1)2+(y-2)2=r2，因為OPOQ所以點O在以PQ為直徑的圓上.所以(0+1)2+(0-2)2=r2，即r2=5，MQ2=5.在RtCMQ中，因為CQ2=CM2+MQ2，所以所以m=3.所以半徑為，圓心為(- ，3). 在解決與圓有關(guān)的問題中.借助與圓的幾何性質(zhì)，往往會使得思路簡潔明了，簡化運算.221164132 25.24m （）（） （）52121.求圓的方程常用待定系數(shù)法，步驟大致是：根據(jù)題意，選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程；根據(jù)條件列出關(guān)于a,b,r或D,E,F的方程組；解出a,b,r或D,E,F代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程.2.研究與圓有關(guān)的最值問題時，可借助圖形的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合求解，一般地形如形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線的斜率的最值問題；形如t=ax+by形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線的截距的最值問題；形如v=（x-a）2+（y-b）2形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動點到定點的最值問題.ybuxa 3.點與圓的位置關(guān)系可利用點與圓心的距離和半徑r的大小來判斷.4.圓的問題的解題技巧：處理有關(guān)圓的問題，要特別注意圓心半徑及平面幾何知識的應(yīng)用，如弦心距，半徑，弦長的一半構(gòu)成的直角三角形經(jīng)常用到，利用圓的一些特殊幾何性質(zhì)解題，往往使問題簡化.1.（2009遼寧卷）已知圓C與直線x-y=0及x-y-4=0都相切，圓心在直線x+y=0上，則圓C的方程為（ ）A. (x+1)2+(y-1)2=2 B. (x-1)2+(y+1)2=2C. (x-1)2+(y-1)2=2 D. (x+1)2+(y+1)2=2 圓心在x+y=0上,排除C、D,再結(jié)合圖象,或者驗證A、B中圓心到兩直線的距離等于半徑 即可.選B. 本小題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.2B 2.(2009廣東卷)以點(2，-1)為圓心且與直線x+y=6相切的圓的方程是 .將直線x+y=6化為x+y-6=0,則易知圓的半徑 所以圓的方程為(x-2)2+(y+1)2= .故填(x-2)2+(y+1)2= .本小題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及點到直線的距離公式. 2225212xy2165r,112 252252