2019屆高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第八章立體幾何與空間向量8.8立體幾何中的向量方法二求空間角學(xué)案理北師大版最新考綱考情考向分析1.能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面所成角的計(jì)算問(wèn)題2.了解向量方法在研究立體幾何問(wèn)題中的應(yīng)用.本節(jié)是高考中的必考內(nèi)容，涉及用向量法計(jì)算空間異面直線所成角、直線和平面所成角、二面角及空間距離等內(nèi)容，考查熱點(diǎn)是空間角的求解題型以解答題為主，要求有較強(qiáng)的運(yùn)算能力，廣泛應(yīng)用函數(shù)與方程的思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想.l1與l2所成的角a與b的夾角范圍0，求法cos cos 2.直線與平面所成角的求法設(shè)直線l的方向向量為a，平面的法向量為n，直線l與平面所成的角為，a與n的夾角為，則sin |cos |.3求二面角的大小(1)如圖，AB，CD分別是二面角l的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小，(2)如圖，n1，n2分別是二面角l的兩個(gè)半平面，的法向量，則二面角的大小滿(mǎn)足|cos |cosn1，n2|，二面角的平面角大小是向量n1與n2的夾角(或其補(bǔ)角)知識(shí)拓展利用空間向量求距離(供選用)(1)兩點(diǎn)間的距離設(shè)點(diǎn)A(x1，y1，z1)，點(diǎn)B(x2，y2，z2)，則|AB|. (2)點(diǎn)到平面的距離如圖所示，已知AB為平面的一條斜線段，n為平面的法向量，則B到平面的距離為|.題組一思考辨析1判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)兩直線的方向向量所成的角就是兩條直線所成的角()(2)直線的方向向量和平面的法向量所成的角就是直線與平面所成的角()(3)兩個(gè)平面的法向量所成的角是這兩個(gè)平面所成的角()(4)兩異面直線夾角的范圍是，直線與平面所成角的范圍是，二面角的范圍是0，()(5)若二面角a的兩個(gè)半平面，的法向量n1，n2所成角為，則二面角a的大小是.()題組二教材改編2已知兩平面的法向量分別為m(0,1,0)，n(0,1,1)，則兩平面所成的二面角為()A45 B135C45或135 D90答案A解析cosm，n，即m，n45.兩平面所成二面角為45.3.如圖，正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABCA1B1C1的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為2，則AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角為_(kāi)答案解析以A為原點(diǎn)，以，(AEAB)，所在直線分別為x軸，y軸，z軸(如圖)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)D為A1B1的中點(diǎn)，則A(0,0,0)，C1(1，2)，D(1,0,2)，(1，2)，(1,0,2)C1AD為AC1與平面ABB1A1所成的角，cosC1AD，又C1AD，C1AD.題組三易錯(cuò)自糾4在直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90，M，N分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，BCCACC1，則BM與AN所成角的余弦值為()A. B. C. D.答案C解析以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB，CC1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)直三棱柱的棱長(zhǎng)為2，則可得A(2,0,0)，B(0,2,0)，M(1,1,2)，N(1,0,2)，(1，1,2)，(1,0,2)cos，.5已知向量m，n分別是直線l和平面的方向向量和法向量，若cosm，n，則l與所成的角為_(kāi)答案30解析設(shè)l與所成角為，cosm，n，sin |cosm，n|，090，30.6(xx馬鞍山月考)過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn)A作線段PA平面ABCD，若ABPA，則平面ABP與平面CDP所成的角為_(kāi)答案45解析如圖，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)ABPA1，則A(0,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)，由題意，知AD平面PAB，設(shè)E為PD的中點(diǎn)，連接AE，則AEPD，又CD平面PAD，CDAE，從而AE平面PCD.(0,1,0)，分別是平面PAB，平面PCD的法向量，且，45.故平面PAB與平面PCD所成的角為45.題型一求異面直線所成的角典例 如圖，四邊形ABCD為菱形，ABC120，E，F(xiàn)是平面ABCD同一側(cè)的兩點(diǎn)，BE平面ABCD，DF平面ABCD，BE2DF，AEEC.(1)證明：平面AEC平面AFC；(2)求直線AE與直線CF所成角的余弦值(1)證明如圖所示，連接BD，設(shè)BDACG，連接EG，F(xiàn)G，EF.在菱形ABCD中，不妨設(shè)GB1.由ABC120，可得AGGC.由BE平面ABCD，ABBC2，可知AEEC.又AEEC，所以EG，且EGAC.在RtEBG中，可得BE，故DF.在RtFDG中，可得FG.在直角梯形BDFE中，由BD2，BE，DF，可得EF，從而EG2FG2EF2，所以EGFG.又ACFGG，AC，F(xiàn)G平面AFC，所以EG平面AFC.因?yàn)镋G平面AEC，所以平面AEC平面AFC.(2)解如圖，以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以GB，GC所在直線為x軸，y軸，|為單位長(zhǎng)度，建立空間直角坐標(biāo)系，由(1)可得A(0，0)，E(1,0，)，F(xiàn)，C(0，0)，所以(1，)，.故cos，.所以直線AE與直線CF所成角的余弦值為.思維升華 用向量法求異面直線所成角的一般步驟(1)選擇三條兩兩垂直的直線建立空間直角坐標(biāo)系(2)確定異面直線上兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而確定異面直線的方向向量(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值(4)兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角余弦值的絕對(duì)值跟蹤訓(xùn)練 (xx廣東五校診斷)如圖所示，菱形ABCD中，ABC60，AC與BD相交于點(diǎn)O，AE平面ABCD，CFAE，ABAE2.(1)求證：BD平面ACFE；(2)當(dāng)直線FO與平面BED所成的角為45時(shí)，求異面直線OF與BE所成角的余弦值的大小(1)證明四邊形ABCD是菱形，BDAC.AE平面ABCD，BD平面ABCD，BDAE.又ACAEA，AC，AE平面ACFE，BD平面ACFE.(2)解以O(shè)為原點(diǎn)，OA，OB所在直線分別為x軸，y軸，過(guò)O且平行于CF的直線為z軸(向上為正方向)，建立空間直角坐標(biāo)系，則B(0，0)，D(0，0)，E(1,0,2)，F(xiàn)(1,0，a)(a>0)，(1,0，a)設(shè)平面EBD的法向量為n(x，y，z)，則有即令z1，則n(2,0,1)，由題意得sin 45|cos，n|，解得a3或a(舍去)(1,0,3)，(1，2)，cos，故異面直線OF與BE所成角的余弦值為.題型二求直線與平面所成的角典例 (xx全國(guó))如圖，四棱錐P-ABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M為線段AD上一點(diǎn)，AM2MD，N為PC的中點(diǎn)(1)證明：MN平面PAB；(2)求直線AN與平面PMN所成角的正弦值(1)證明由已知得AMAD2.取BP的中點(diǎn)T，連接AT，TN，由N為PC的中點(diǎn)知TNBC，TNBC2.又ADBC，故TN綊AM，四邊形AMNT為平行四邊形，于是MNAT.因?yàn)锳T平面PAB，MN平面PAB，所以MN平面PAB.(2)解取BC的中點(diǎn)E，連接AE.由ABAC得AEBC，從而AEAD，AE .以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AE，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系由題意知，P(0,0,4)，M(0,2,0)，C(，2,0)，N，(0,2，4)，.設(shè)n(x，y，z)為平面PMN的法向量，則即可取n(0,2,1)于是|cosn，|.設(shè)AN與平面PMN所成的角為，則sin ，即直線AN與平面PMN所成角的正弦值為.思維升華 利用向量法求線面角的方法(1)分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)(2)通過(guò)平面的法向量來(lái)求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線和平面所成的角跟蹤訓(xùn)練 如圖，在直棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADBC，BAD90，ACBD，BC1，ADAA13.(1)證明：ACB1D；(2)求直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值(1)證明易知AB，AD，AA1兩兩垂直，如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)ABt，則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)為A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1(t,0,3)，C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3)從而(t,3，3)，(t,1,0)，(t,3,0)，因?yàn)锳CBD，所以t2300，解得t或t(舍去)于是(，3，3)，A(，1,0)，因?yàn)?300，所以，即ACB1D.(2)解由(1)知，(0,3,3)，A(，1,0)，(0,1,0)，設(shè)n(x，y，z)是平面ACD1的一個(gè)法向量，則即令x1，則n(1，)設(shè)直線B1C1與平面ACD1所成的角為，則sin |cosn，|，即直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值為.題型三求二面角典例 (xx全國(guó))如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，ABBCAD，BADABC90，E是PD的中點(diǎn)(1)證明：直線CE平面PAB；(2)點(diǎn)M在棱PC上，且直線BM與底面ABCD所成角為45，求平面MAB與平面ABD夾角的余弦值(1)證明取PA的中點(diǎn)F，連接EF，BF.因?yàn)镋是PD的中點(diǎn)，所以EFAD，EFAD.由BADABC90，得BCAD，又BCAD，所以EF綊BC，四邊形BCEF是平行四邊形，CEBF，又BF平面PAB，CE平面PAB，故CE平面PAB.(2)解由已知得BAAD，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD所在直線分別為x軸，y軸，|為單位長(zhǎng)度，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，P(0,1，)，(1,0，)，(1,0,0)設(shè)M(x，y，z)(0<x<1)，則(x1，y，z)，(x，y1，z)因?yàn)锽M與底面ABCD所成的角為45，而n(0,0,1)是底面ABCD的法向量，所以|cos，n|sin 45，即(x1)2y2z20.又M在棱PC上，設(shè)，則x，y1，z.由解得(舍去)或所以M，從而.設(shè)m(x0，y0，z0)是平面ABM的法向量，則即所以可取m(0，2)于是|cosm，n|.由圖可知平面MAB與平面ABD的夾角是銳角，所以平面MAB與平面ABD夾角的余弦值為.思維升華 利用向量法計(jì)算二面角大小的常用方法(1)找法向量法：分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量，然后通過(guò)兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角的大小(2)找與棱垂直的方向向量法：分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)的兩個(gè)向量，則這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的大小跟蹤訓(xùn)練 (xx天津)如圖，在三棱錐P-ABC中，PA底面ABC，BAC90.點(diǎn)D，E，N分別為棱PA，PC，BC的中點(diǎn)，M是線段AD的中點(diǎn)，PAAC4，AB2.(1)求證：MN平面BDE；(2)求平面CEM與平面EMN夾角的正弦值；(3)已知點(diǎn)H在棱PA上，且直線NH與直線BE所成角的余弦值為，求線段AH的長(zhǎng)(1)證明如圖，以A為原點(diǎn)，分別以AB，AC，AP所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系由題意，可得A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,4,0)，P(0,0,4)，D(0,0,2)，E(0,2,2)，M(0,0,1)，N(1,2,0)(0,2,0)，(2,0，2)設(shè)n(x，y，z)為平面BDE的一個(gè)法向量，則即不妨設(shè)z1，可得n(1,0,1)又(1,2，1)，可得n0.因?yàn)镸N平面BDE，所以MN平面BDE.(2)解易知n1(1,0,0)為平面CEM的一個(gè)法向量設(shè)n2(x1，y1，z1)為平面EMN的一個(gè)法向量，則因?yàn)?0，2，1)，(1,2，1)，所以不妨設(shè)y11，可得n2(4,1，2)因此|cosn1，n2|，于是sinn1，n2.所以平面CEM與平面EMN夾角的正弦值為.(3)解由題意，設(shè)AHh(0h4)，則H(0,0，h)，進(jìn)而可得(1，2，h)，(2,2,2)由已知，得|cos，|，整理得10h221h80，解得h或h.所以線段AH的長(zhǎng)為或.題型四求空間距離(供選用)典例 (xx株洲模擬)如圖，BCD與MCD都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，平面MCD平面BCD，AB平面BCD，AB2，求點(diǎn)A到平面MBC的距離解如圖，取CD的中點(diǎn)O，連接OB，OM，因?yàn)锽CD與MCD均為正三角形，所以O(shè)BCD，OMCD，又平面MCD平面BCD，平面MCD平面BCDCD，OM平面MCD，所以MO平面BCD.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OC，BO，OM分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系因?yàn)锽CD與MCD都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，所以O(shè)BOM，則O(0,0,0)，C(1,0,0)，M(0,0，)，B(0，0)，A(0，2)，所以(1，0)，(0，)設(shè)平面MBC的法向量為n(x，y，z)，由得即取x，可得平面MBC的一個(gè)法向量為n(，1,1)又(0,0,2)，所以所求距離為d.思維升華 求點(diǎn)面距一般有以下三種方法(1)作點(diǎn)到面的垂線，點(diǎn)到垂足的距離即為點(diǎn)到平面的距離(2)等體積法(3)向量法其中向量法在易建立空間直角坐標(biāo)系的規(guī)則圖形中較簡(jiǎn)便跟蹤訓(xùn)練 (xx武昌質(zhì)檢)如圖所示，在四棱錐PABCD中，側(cè)面PAD底面ABCD，側(cè)棱PAPD，PAPD，底面ABCD為直角梯形，其中BCAD，ABAD，ABBC1，O為AD的中點(diǎn)(1)求直線PB與平面POC所成角的余弦值；(2)求B點(diǎn)到平面PCD的距離；(3)線段PD上是否存在一點(diǎn)Q，使得平面QAC與平面ACD夾角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解(1)在PAD中，PAPD，O為AD的中點(diǎn)，POAD.又側(cè)面PAD底面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PO平面PAD，PO平面ABCD.在PAD中，PAPD，PAPD，AD2.在直角梯形ABCD中，O為AD的中點(diǎn)，OABC1，OCAD.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC所在直線為x軸，OD所在直線為y軸，OP所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則P(0,0,1)，A(0，1,0)，B(1，1,0)，C(1,0,0)，D(0,1,0)，(1，1，1)OAOP，OAOC，OPOCO，OA平面POC.(0，1,0)為平面POC的法向量，cos，PB與平面POC所成角的余弦值為.(2)(1，1，1)，設(shè)平面PCD的法向量為u(x，y，z)，則取z1，得u(1,1,1)則B點(diǎn)到平面PCD的距離d.(3)假設(shè)存在，且設(shè)(01)(0,1，1)，(0，)，(0，1)，Q(0，1)設(shè)平面CAQ的法向量為m(x1，y1，z1)，則取z11，得m(1，1，1)平面CAD的一個(gè)法向量為n(0,0,1)，平面QAC與平面ACD夾角的余弦值為，|cosm，n|，整理化簡(jiǎn)，得321030.解得或3(舍去)，線段PD上存在滿(mǎn)足題意的點(diǎn)Q，且.利用空間向量求解空間角典例 (12分)如圖，在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，ADAB，ABDC，ADDCAP2，AB1，點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn)(1)證明：BEDC；(2)求直線BE與平面PBD所成角的正弦值；(3)若F為棱PC上一點(diǎn)，滿(mǎn)足BFAC，求平面FAB與平面ABP夾角的余弦值規(guī)范解答(1)證明由題意，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，可得B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)1分由E為棱PC的中點(diǎn)，得E(1,1,1)(0,1,1)，(2,0,0)，故0，所以BEDC.3分(2)解(1,2,0)，(1,0，2)設(shè)n(x，y，z)為平面PBD的一個(gè)法向量，則即不妨令y1，5分可得n(2,1,1)于是有cosn，所以直線BE與平面PBD所成角的正弦值為.7分(3)解(1,2,0)，(2，2,2)，(2,2,0)，(1,0,0)由點(diǎn)F在棱PC上，設(shè)(01)，故(12，22，2)由BFAC，得0，因此，2(12)2(22)0，解得，即.9分設(shè)n1(x1，y1，z1)為平面FAB的一個(gè)法向量，則即不妨令z11，可得n1(0，3,1)取平面ABP的法向量n2(0,1,0)，則|cosn1，n2|，所以其余弦值為.12分利用向量求空間角的步驟：第一步：建立空間直角坐標(biāo)系；第二步：確定點(diǎn)的坐標(biāo)；第三步：求向量(直線的方向向量、平面的法向量)坐標(biāo)；第四步：計(jì)算向量的夾角(或函數(shù)值)；第五步：將向量夾角轉(zhuǎn)化為所求的空間角；第六步：反思回顧查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)和答題規(guī)范1(xx撫順調(diào)研)在正方體A1B1C1D1ABCD中，AC與B1D所成角的大小為()A. B. C. D.答案D解析以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為1，則A(0,0,0)，C(1,1,0)，B1(1,0,1)，D(0,1,0)(1,1,0)，(1,1，1)，1(1)110(1)0，AC與B1D所成的角為.2.如圖所示，三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱長(zhǎng)為3，底面邊長(zhǎng)A1C1B1C11，且A1C1B190，D點(diǎn)在棱AA1上且AD2DA1，P點(diǎn)在棱C1C上，則的最小值為()A. B C. D答案B解析以C點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB，CC1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則D(1,0,2)，B1(0,1,3)，設(shè)P(0,0，z)，其中0z3，則(1,0,2z)，(0,1,3z)，00(2z)(3z)2，故當(dāng)z時(shí)，取得最小值.3在正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)E為BB1的中點(diǎn)，則平面A1ED與平面ABCD夾角的余弦值為()A. B. C. D.答案B解析以A為原點(diǎn)，AB，AD，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)棱長(zhǎng)為1，則A1(0,0,1)，E，D(0,1,0)，(0,1，1)，.設(shè)平面A1ED的一個(gè)法向量為n1(1，y，z)，則有即n1(1,2,2)平面ABCD的一個(gè)法向量為n2(0,0,1)，|cosn1，n2|，即平面A1ED與平面ABCD夾角的余弦值為.4.(xx西安調(diào)研)已知六面體ABCA1B1C1是各棱長(zhǎng)均等于a的正三棱柱，D是側(cè)棱CC1的中點(diǎn)，則直線CC1與平面AB1D所成的角為()A45 B60C90 D30答案A解析如圖所示，取AC的中點(diǎn)N，連接NB，以N為坐標(biāo)原點(diǎn)，NB，NC所在直線分別為x軸，y軸，建立空間直角坐標(biāo)系則A，C，B1，D，C1，(0,0，a)設(shè)平面AB1D的法向量為n(x，y，z)，由n0，n0，可取n(，1，2)cos，n，直線與平面所成角的范圍是0，90，直線CC1與平面AB1D所成的角為45.5(xx大同模擬)設(shè)正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，則點(diǎn)D1到平面A1BD的距離是()A. B. C. D.答案D解析如圖，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立坐標(biāo)系，則D(0,0,0)，D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，B(2,2,0)，(2,0,0)，(2,2,0)，(2,0,2)，設(shè)平面A1BD的一個(gè)法向量n(x，y，z)，則令z1，得n(1,1,1)D1到平面A1BD的距離d.6二面角的棱上有A，B兩點(diǎn)，直線AC，BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于AB.已知AB4，AC6，BD8，CD2，則該二面角的大小為()A150 B45C60 D120答案C解析如圖所示，二面角的大小就是，22222()2222，(2)262428224.因此24，cos，又，B0，90，60，故二面角為60.7.如圖所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱AB，BB1的中點(diǎn)，則直線EF和BC1所成的角是_答案60解析以B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BC所在直線為x軸，BA所在直線為y軸，BB1所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)ABBCAA12，則C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(xiàn)(0,0,1)，則(0，1,1)，(2,0,2)，2，cos，異面直線所成角的范圍是(0,90，EF和BC1所成的角為60.8在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，則直線CD與平面BDC1所成角的正弦值為_(kāi)答案解析以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)AA12AB2，則D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，則(0,1,0)，(1,1,0)，(0,1,2)設(shè)平面BDC1的一個(gè)法向量為n(x，y，z)，則n，n，所以有令y2，得平面BDC1的一個(gè)法向量為n(2，2,1)設(shè)CD與平面BDC1所成的角為，則sin |cosn，|.9已知點(diǎn)E，F(xiàn)分別在正方體ABCDA1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E2EB，CF2FC1，則平面AEF與平面ABC夾角的正切值為_(kāi)答案解析方法一延長(zhǎng)FE，CB相交于點(diǎn)G，連接AG，如圖所示設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為3，則GBBC3，作BHAG于點(diǎn)H，連接EH，則EHB即為所求兩平面的夾角BH，EB1，tanEHB.方法二如圖，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)DA1，由已知條件得A(1,0,0)，E，F(xiàn)，設(shè)平面AEF的法向量為n(x，y，z)，平面AEF與平面ABC的夾角為，由得令y1，z3，x1，則n(1,1，3)，取平面ABC的法向量為m(0,0，1)，則cos |cosn，m|，tan .10(xx河北石家莊二模)設(shè)二面角CD的大小為45，A點(diǎn)在平面內(nèi)，B點(diǎn)在CD上，且ABC45，則AB與平面所成角的大小為_(kāi)答案30解析如圖，作AE平面于點(diǎn)E，在平面內(nèi)過(guò)E作EFCD于點(diǎn)F，連接AF，因?yàn)锳ECD，AEEFE，所以CD平面AEF，所以AFCD，所以AFE為二面角CD的平面角，所以AFE45，因?yàn)锳BC45，所以BAF45.連接BE，則ABE為AB與平面所成的角設(shè)AEm，則EFm，AFm，BFm，AB2m，所以sinABE，又因?yàn)锳BE為銳角，所以ABE30.11(xx洛陽(yáng)二模)已知三棱錐ABCD，AD平面BCD，BDCD，ADBD2，CD2，E，F(xiàn)分別是AC，BC的中點(diǎn)，P為線段BC上一點(diǎn)，且CP2PB.(1)求證：APDE；(2)求直線AC與平面DEF所成角的正弦值(1)證明作PGBD交CD于G，連接AG.2，GDCD.AD平面BCD，ADDC，在RtADG中，tanGAD，DAG30，在RtADC中，AC2AD2CD241216，AC4，又E為AC的中點(diǎn)，DEAE2，又AD2，ADE60，AGDE.AD平面BCD，ADBD，又BDCD，ADCDD，AD，CD平面ADC，BD平面ADC，PG平面ADC，PGDE.又AGPGG，AG，PG平面AGP，DE平面AGP，又AP平面AGP，APDE.(2)解以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DB，DC,DA所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則D(0,0,0)，A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(0,2，0)，E(0，1)，F(xiàn)(1，0)，(1，0)，(0，1)，(0,2，2)設(shè)平面DEF的法向量為n(x，y，z)，則即令x3，則n(3，3)設(shè)直線AC與平面DEF所成的角為，則sin |cos，n|，AC與平面DEF所成角的正弦值為.12(xx河南質(zhì)檢)如圖，在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，ADC90，ADBC，ABAC，ABAC，點(diǎn)E在AD上，且AE2ED.(1)已知點(diǎn)F在BC上，且CF2FB，求證：平面PEF平面PAC；(2)平面APB與平面PBE夾角的余弦值為多少時(shí)，直線PC與平面PAB所成的角為45？(1)證明ABAC，ABAC，ACB45，底面ABCD是直角梯形，ADC90，ADBC，ACD45，即ADCD，ACAD，又ABAC，BCAC2AD，AE2ED，CF2FB，AEBFAD，又AEBF，四邊形ABFE是平行四邊形，ABEF，ACEF，PA底面ABCD，PAEF，PAACA，PA，AC平面PAC，EF平面PAC，又EF平面PEF，平面PEF平面PAC.(2)解PAAC，ACAB，PAABA，PA，AB平面PAB，AC平面PAB，則APC為PC與平面PAB所成的角，若PC與平面PAB所成的角為45，則tanAPC1，即PAAC，取BC的中點(diǎn)G，連接AG，則AGBC，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AG，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，B(1，1,0)，C(1,1,0)，E，P(0,0，)，設(shè)平面PBE的法向量為n(x，y，z)，則即令y3，則x5，z，n(5,3，)(1,1,0)是平面PAB的一個(gè)法向量，cosn，即當(dāng)平面APB與平面PBE夾角的余弦值為時(shí)，直線PC與平面PAB所成的角為45.13(xx全國(guó))已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為()A. B. C. D.答案C解析方法一將直三棱柱ABCA1B1C1補(bǔ)形為直四棱柱ABCDA1B1C1D1，如圖所示，連接AD1，B1D1，BD.圖由題意知ABC120，AB2，BCCC11，所以AD1BC1，AB1，DAB60.在ABD中，由余弦定理知BD22212221cos 603，所以BD，所以B1D1.又AB1與AD1所成的角即為AB1與BC1所成的角，所以cos .故選C.方法二以B1為坐標(biāo)原點(diǎn)，B1C1所在的直線為x軸，垂直于B1C1的直線為y軸，BB1所在的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示圖由已知條件知B1(0,0,0)，B(0,0,1)，C1(1,0,0)，A(1，1)，則(1,0，1)，(1，1)所以cos，.所以異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為.故選C.14(xx長(zhǎng)春一檢)已知三棱錐SABC中，SA，SB，SC兩兩垂直，且SASBSC2，Q是三棱錐SABC外接球上一動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)Q到平面ABC的距離的最大值為_(kāi)答案解析將三棱錐SABC放入棱長(zhǎng)為2的正方體中，則到平面ABC的距離最大的點(diǎn)應(yīng)在過(guò)球心且和平面ABC垂直的直徑上，因?yàn)檎襟w的外接球直徑和正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)相等，所以2R2(R為外接球的半徑)，則點(diǎn)Q到平面ABC的距離的最大值為2R2.15(xx安徽皖南八校聯(lián)考)已知三棱錐PABC的所有頂點(diǎn)都在表面積為16的球O的球面上，AC為球O的直徑當(dāng)三棱錐PABC的體積最大時(shí)，二面角PABC的大小為，則sin 等于()A. B. C. D.答案C解析如圖，設(shè)球O的半徑為R，由4R216，得R2，設(shè)點(diǎn)P到平面ABC的距離為d，則0<d2，因?yàn)锳C為球的直徑，所以AB2BC2AC216，則V三棱錐PABCABBCd2，當(dāng)且僅當(dāng)ABBC2，d2時(shí)，V三棱錐PABC取得最大值，此時(shí)平面PAC平面ABC，連接PO，因?yàn)镻OAC，平面PAC平面ABCAC，PO平面PAC，所以PO平面ABC，過(guò)點(diǎn)P作PDAB于D，連接OD，因?yàn)锳BPO，ABPD，POPDP，所以AB平面POD，則ABOD，所以PDO為二面角PABC的平面角，因?yàn)镺DBC，所以PD，則sin sinPDO.故選C.16(xx浙江)如圖，已知正四面體D-ABC(所有棱長(zhǎng)均相等的三棱錐)，P，Q，R分別為AB，BC，CA上的點(diǎn)，APPB，2，分別記二面角D-PR-Q，D-PQ-R，D-QR-P的平面角為，則()A BC D答案B解析如圖，作出點(diǎn)D在底面ABC上的射影O，過(guò)點(diǎn)O分別作PR，PQ，QR的垂線OE，OF，OG，連接DE，DF，DG，則DEO，DFO，DGO.由圖可知它們的對(duì)邊都是DO，只需比較EO，F(xiàn)O，GO的大小即可如圖，在AB邊上取點(diǎn)P，使AP2PB，連接OQ，OR，則O為QRP的中心設(shè)點(diǎn)O到QRP三邊的距離為a，則OGa，OFOQsinOQFOQsinOQPa，OEORsinOREORsinORPa，OFOGOE，.故選B.