題型練8大題專項(xiàng)(六)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合問題1.(2018北京,理18)設(shè)函數(shù)f(x)=ax2-(4a+1)x+4a+3ex.(1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線與x軸平行,求a;(2)若f(x)在x=2處取得極小值,求a的取值范圍.2.已知a3,函數(shù)F(x)=min2|x-1|,x2-2ax+4a-2,其中minp,q=p,pq,q,p>q.(1)求使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范圍;(2)求F(x)的最小值m(a);求F(x)在區(qū)間0,6上的最大值M(a).3.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+b(a,bR).(1)試討論f(x)的單調(diào)性;(2)若b=c-a(實(shí)數(shù)c是與a無關(guān)的常數(shù)),當(dāng)函數(shù)f(x)有三個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí),a的取值范圍恰好是(-,-3)1,3232,+,求c的值.4.已知a>0,函數(shù)f(x)=eaxsin x(x0,+).記xn為f(x)的從小到大的第n(nN*)個(gè)極值點(diǎn).證明:(1)數(shù)列f(xn)是等比數(shù)列;(2)若a1e2-1,則對一切nN*,xn<|f(xn)|恒成立.5.(2018天津,理20)已知函數(shù)f(x)=ax,g(x)=logax,其中a>1.(1)求函數(shù)h(x)=f(x)-xln a的單調(diào)區(qū)間;(2)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(x1,f(x1)處的切線與曲線y=g(x)在點(diǎn)(x2,g(x2)處的切線平行,證明x1+g(x2)=-2ln(lna)lna;(3)證明當(dāng)ae1e時(shí),存在直線l,使l是曲線y=f(x)的切線,也是曲線y=g(x)的切線.6.設(shè)函數(shù)f(x)=ablnxx,g(x)=-12x+(a+b)(其中e為自然對數(shù)的底數(shù),a,bR,且a0),曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線方程為y=ae(x-1).(1)求b的值;(2)若對任意x1e,+,f(x)與g(x)有且只有兩個(gè)交點(diǎn),求a的取值范圍.題型練8大題專項(xiàng)(六)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合問題1.解 (1)因?yàn)閒(x)=ax2-(4a+1)x+4a+3ex,所以f(x)=2ax-(4a+1)ex+ax2-(4a+1)x+4a+3ex=ax2-(2a+1)x+2ex(xR).f(1)=(1-a)e.由題設(shè)知f(1)=0,即(1-a)e=0,解得a=1.此時(shí)f(1)=3e0,所以a的值為1.(2)由(1)得f(x)=ax2-(2a+1)x+2ex=(ax-1)(x-2)ex.若a>12,則當(dāng)x1a,2時(shí),f(x)<0;當(dāng)x(2,+)時(shí),f(x)>0.所以f(x)在x=2處取得極小值.若a12,則當(dāng)x(0,2)時(shí),x-2<0,ax-112x-1<0,所以f(x)>0.所以2不是f(x)的極小值點(diǎn).綜上可知,a的取值范圍是12,+.2.解 (1)由于a3,故當(dāng)x1時(shí),(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=x2+2(a-1)(2-x)>0,當(dāng)x>1時(shí),(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=(x-2)(x-2a).所以,使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范圍為2,2a.(2)設(shè)函數(shù)f(x)=2|x-1|,g(x)=x2-2ax+4a-2,則f(x)min=f(1)=0,g(x)min=g(a)=-a2+4a-2,所以,由F(x)的定義知m(a)=minf(1),g(a),即m(a)=0,3a2+2,-a2+4a-2,a>2+2.當(dāng)0x2時(shí),F(x)f(x)maxf(0),f(2)=2=F(2),當(dāng)2x6時(shí),F(x)g(x)maxg(2),g(6)=max2,34-8a=maxF(2),F(6).所以,M(a)=34-8a,3a<4,2,a4.3.解 (1)f(x)=3x2+2ax,令f(x)=0,解得x1=0,x2=-2a3.當(dāng)a=0時(shí),因?yàn)閒(x)=3x2>0(x0),所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(-,+)內(nèi)單調(diào)遞增;當(dāng)a>0時(shí),x-,-2a3(0,+)時(shí),f(x)>0,x-2a3,0時(shí),f(x)<0,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間-,-2a3,(0,+)內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間-2a3,0內(nèi)單調(diào)遞減;當(dāng)a<0時(shí),x(-,0)-2a3,+時(shí),f(x)>0,x0,-2a3時(shí),f(x)<0,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(-,0),-2a3,+內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間0,-2a3內(nèi)單調(diào)遞減.(2)由(1)知,函數(shù)f(x)的兩個(gè)極值為f(0)=b,f-2a3=427a3+b,則函數(shù)f(x)有三個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于f(0)f-2a3=b427a3+b<0,從而a>0,-427a3<b<0或a<0,0<b<-427a3.又b=c-a,所以當(dāng)a>0時(shí),427a3-a+c>0或當(dāng)a<0時(shí),427a3-a+c<0.設(shè)g(a)=427a3-a+c,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)有三個(gè)零點(diǎn)時(shí),a的取值范圍恰好是(-,-3)1,3232,+,則在(-,-3)內(nèi)g(a)<0,且在1,3232,+內(nèi)g(a)>0均恒成立,從而g(-3)=c-10,且g32=c-10,因此c=1.此時(shí),f(x)=x3+ax2+1-a=(x+1)x2+(a-1)x+1-a,因函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn),則x2+(a-1)x+1-a=0有兩個(gè)異于-1的不等實(shí)根,所以=(a-1)2-4(1-a)=a2+2a-3>0,且(-1)2-(a-1)+1-a0,解得a(-,-3)1,3232,+.綜上c=1.4.證明 (1)f(x)=aeaxsin x+eaxcos x=eax(asin x+cos x)=a2+1eaxsin(x+),其中tan =1a,0<<2.令f(x)=0,由x0得x+=m,即x=m-,mN*.對kN,若2k<x+<(2k+1),即2k-<x<(2k+1)-,則f(x)>0;若(2k+1)<x+<(2k+2),即(2k+1)-<x<(2k+2)-,則f(x)<0.因此,在區(qū)間(m-1),m-)與(m-,m)上,f(x)的符號總相反.于是當(dāng)x=m-(mN*)時(shí),f(x)取得極值,所以xn=n-(nN*).此時(shí),f(xn)=ea(n-)sin(n-)=(-1)n+1ea(n-)sin .易知f(xn)0,而f(xn+1)f(xn)=(-1)n+2ea(n+1)-sin(-1)n+1ea(n-)sin=-ea是常數(shù),故數(shù)列f(xn)是首項(xiàng)為f(x1)=ea(-)sin ,公比為-ea的等比數(shù)列.(2)由(1)知,sin =1a2+1,于是對一切nN*,xn<|f(xn)|恒成立,即n-<1a2+1ea(n-)恒成立,等價(jià)于a2+1a<ea(n-)a(n-)(*)恒成立(因?yàn)閍>0).設(shè)g(t)=ett(t>0),則g(t)=et(t-1)t2.令g(t)=0得t=1.當(dāng)0<t<1時(shí),g(t)<0,所以g(t)在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減;當(dāng)t>1時(shí),g(t)>0,所以g(t)在區(qū)間(1,+)內(nèi)單調(diào)遞增.從而當(dāng)t=1時(shí),函數(shù)g(t)取得最小值g(1)=e.因此,要使(*)式恒成立,只需a2+1a<g(1)=e,即只需a>1e2-1.而當(dāng)a=1e2-1時(shí),由tan =1a=e2-1>3且0<<2知,3<<2.于是-<23<e2-1,且當(dāng)n2時(shí),n-2->32>e2-1.因此對一切nN*,axn=n-e2-11,所以g(axn)>g(1)=e=a2+1a.故(*)式亦恒成立.綜上所述,若a1e2-1,則對一切nN*,xn<|f(xn)|恒成立.5.(1)解 由已知,h(x)=ax-xln a,有h(x)=axln a-ln a.令h(x)=0,解得x=0.由a>1,可知當(dāng)x變化時(shí),h(x),h(x)的變化情況如下表:x(-,0)0(0,+)h(x)-0+h(x)極小值所以函數(shù)h(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-,0),單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+).(2)證明 由f(x)=axln a,可得曲線y=f(x)在點(diǎn)(x1,f(x1)處的切線斜率為ax1ln a.由g(x)=1xlna,可得曲線y=g(x)在點(diǎn)(x2,g(x2)處的切線斜率為1x2lna.因?yàn)檫@兩條切線平行,故有ax1ln a=1x2lna,即x2ax1(ln a)2=1.兩邊取以a為底的對數(shù),得logax2+x1+2loga(ln a)=0,所以x1+g(x2)=-2ln(lna)lna.(3)證明 曲線y=f(x)在點(diǎn)(x1,ax1)處的切線l1:y-ax1=ax1ln a(x-x1).曲線y=g(x)在點(diǎn)(x2,logax2)處的切線l2:y-logax2=1x2lna(x-x2).要證明當(dāng)ae1e時(shí),存在直線l,使l是曲線y=f(x)的切線,也是曲線y=g(x)的切線,只需證明當(dāng)ae1e時(shí),存在x1(-,+),x2(0,+),使得l1與l2重合.即只需證明當(dāng)ae1e時(shí),方程組ax1lna=1x2lna,ax1-x1ax1lna=logax2-1lna有解.由得x2=1ax1(lna)2,代入,得ax1-x1ax1ln a+x1+1lna+2ln(lna)lna=0.因此,只需證明當(dāng)ae1e時(shí),關(guān)于x1的方程存在實(shí)數(shù)解.設(shè)函數(shù)u(x)=ax-xaxln a+x+1lna+2ln(lna)lna,即要證明當(dāng)ae1e時(shí),函數(shù)y=u(x)存在零點(diǎn).u(x)=1-(ln a)2xax,可知當(dāng)x(-,0)時(shí),u(x)>0;當(dāng)x(0,+)時(shí),u(x)單調(diào)遞減,又u(0)=1>0,u1(lna)2=1-a1(lna)2<0,故存在唯一的x0,且x0>0,使得u(x0)=0,即1-(ln a)2x0ax0=0.由此可得u(x)在(-,x0)內(nèi)單調(diào)遞增,在(x0+)內(nèi)單調(diào)遞減,u(x)在x=x0處取得極大值u(x0).因?yàn)閍e1e,故ln(ln a)-1,所以u(x0)=ax0-x0ax0ln a+x0+1lna+2ln(lna)lna=1x0(lna)2+x0+2ln(lna)lna2+2ln(lna)lna0.下面證明存在實(shí)數(shù)t,使得u(t)<0.由(1)可得ax1+xln a,當(dāng)x>1lna時(shí),有u(x)(1+xln a)(1-xln a)+x+1lna+2ln(lna)lna=-(ln a)2x2+x+1+1lna+2ln(lna)lna,所以存在實(shí)數(shù)t,使得u(t)<0.因此,當(dāng)ae1e時(shí),存在x1(-,+),使得u(x1)=0.所以,當(dāng)ae1e時(shí),存在直線l,使l是曲線y=f(x)的切線,也是曲線y=g(x)的切線.6.解 (1)由f(x)=ablnxx,得f(x)=ab(1-lnx)x2,由題意得f(1)=ab=ae.a0,b=e.(2)令h(x)=xf(x)-g(x)=12x2-(a+e)x+aeln x,則任意x1e,+,f(x)與g(x)有且只有兩個(gè)交點(diǎn),等價(jià)于函數(shù)h(x)在區(qū)間1e,+有且只有兩個(gè)零點(diǎn).由h(x)=12x2-(a+e)x+aeln x,得h(x)=(x-a)(x-e)x,當(dāng)a1e時(shí),由h(x)>0得x>e;由h(x)<0得1e<x<e.此時(shí)h(x)在區(qū)間1e,e內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間(e,+)內(nèi)單調(diào)遞增.因?yàn)閔(e)=12e2-(a+e)e+aeln e=-12e2<0,h(e2)=12e4-(a+e)e2+2ae=12e(e-2)(e2-2a)12e(e-2)e2-2e>0(或當(dāng)x+時(shí),h(x)>0亦可),所以要使得h(x)在區(qū)間1e,+內(nèi)有且只有兩個(gè)零點(diǎn),則只需h1e=12e2-a+ee+aeln1e=(1-2e2)-2e(1+e2)a2e20,即a1-2e22e(1+e2).當(dāng)1e<a<e時(shí),由h(x)>0得1e<x<a或x>e;由h(x)<0得a<x<e.此時(shí)h(x)在區(qū)間(a,e)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間1e,a和(e,+)內(nèi)單調(diào)遞增.此時(shí)h(a)=-12a2-ae-aeln a<-12a2-ae+aeln e=-12a2<0,即h(x)在區(qū)間1e,+內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn),不合題意.當(dāng)a>e時(shí),由h(x)>0得1e<x<e或x>a,由h(x)<0得e<x<a,此時(shí)h(x)在區(qū)間1e,e和(a,+)內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間(e,a)上單調(diào)遞減,且h(e)=-12e2<0,即h(x)在區(qū)間1e,+內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn),不合題意.綜上所述,a的取值范圍為-,1-2e22e(1+e2).