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第六單元 圓 第25課時 點、直線與圓的位置關系 基礎達標訓練 1. (xx原創(chuàng))直線l與半徑為r的圓O相交，且點O到直線l的距離為4，則r的取值范圍是(　　) A. r＜4　　　 B. r＝4　　　 C. r＞4　　　 D. r≥4 2. (xx廣州)如圖，⊙O是△ABC的內切圓，則點O是△ABC的(　　) A. 三條邊的垂直平分線的交點 B. 三條角平分線的交點 C. 三條中線的交點 D. 三條高的交點 第2題圖　 第3題圖 3. (xx自貢)AB是⊙O的直徑，PA切⊙O于點A，PO交⊙O于點C；連接BC，若∠P＝40，則∠B等于(　　) A. 20 B. 25 C. 30 D. 40 4. (xx日照)如圖，AB是⊙O的直徑，PA切⊙O于點A，連接PO并延長交⊙O于點C，連接AC，AB＝10，∠P＝30，則AC的長度是(　　) A. 5 B. 5 C. 5 D. 第4題圖　　 第5題圖 5. (xx益陽模擬)如圖，⊙O的半徑為2，點O到直線l的距離為3，點P是直線l上的一個動點，PB切⊙O于點B，則PB的最小值是(　　) A. B. 2 C. 3 D. 6. (xx麓山國際實驗學校二模)《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數(shù)學名著，書中有下列問題“今有勾八步，股十五步，問勾中容圓徑幾何？”其意思是：“今有直角三角形(如圖)，勾(短直角邊)長為8步，股(長直角邊)長為15步，問該直角三角形能容納的圓形(內切圓)的直徑是多少？”(　　) A. 3步 B. 5步 C. 6步 D. 8步 　 第6題圖 　第7題圖 7. (xx杭州)如圖，AT切⊙O于點A，AB是⊙O的直徑．若∠ABT＝40，則∠ATB＝________． 8. (xx連云港)如圖，線段AB與⊙O相切于點B，線段AO與⊙O相交于點C，AB＝12，AC＝8，則⊙O的半徑長為________． 第8題圖 9. (8分)如圖所示，直線DP和圓O相切于點C，交直徑AE的延長線于點P，過點C作AE的垂線，交AE于點F，交圓O于點B，作平行四邊形ABCD，連接BE，DO，CO. (1)求證：DA＝DC； (2)求∠P及∠AEB的大?。? 第9題圖 10. (8分)(xx長沙中考模擬卷五)如圖，AB為⊙O的直徑，點C、D是⊙O上的點，且∠CBD＝∠ABD，過點D作DE⊥BC，交BC的延長線于點H. (1)求證：EF是⊙O的切線； (2)若AB＝12，BC＝8，求圓心O到BC的距離． 　 第10題圖 11. (8分)(xx雅禮實驗中學一模)如圖，△ABD內接于⊙O，AB為⊙O的直徑，點D、E為⊙O上任意兩點，連接DE，C為AB延長線上一點，且∠BDC＝∠DAB. (1)求證：CD是⊙O的切線； (2)若sinC＝，求tan∠DEB的值． 　 第11題圖 能力提升訓練 1. (xx棗莊)如圖，在網(wǎng)格(每個小正方形的邊長均為1)中選取9個格點(格線的交點稱為格點)．如果以A為圓心，r為半徑畫圓，選取的格點中除點A外恰好有3個在圓內，則r的取值范圍為(　　) A．2＜r＜ B.＜r＜3 C.＜r＜5 D．5＜r＜ 第1題圖 2. (xx無錫)如圖，菱形ABCD的邊AB＝20，面積為320，∠BAD<90，⊙O與邊AB、AD都相切，AO＝10，則⊙O的半徑長等于(　　) A. 5 B. 6 C. 2 D. 3 第2題圖 第3題圖 3. (xx長沙中考模擬卷六)如圖，已知A、B兩點的坐標分別為(－2，0)、(0，1)，⊙C的圓心坐標為(0，－1)，半徑為1，若點D是⊙C上的一個動點，射線AD與y軸交于點E，則△ABE的面積的最大值是________． 4. (xx岳陽)如圖，⊙O為等腰△ABC的外接圓，直徑AB＝12，P為弧上任意一點(不與B、C重合)，直線CP交AB延長線于點Q，⊙O在點P處的切線PD交BQ于點D，下列結論正確的是__________．(寫出所有正確結論的序號) ①若∠PAB＝30，則弧的長為π； ②若PD∥BC，則AP平分∠CAB； ③若PB＝BD，則PD＝6； ④無論點P在弧上的位置如何變化，CPCQ為定值． 第4 題圖 5. (9分)(xx天津)已知AB是⊙O的直徑，AT是⊙O的切線，∠ABT＝50，BT交⊙O于點C，E是AB上一點，延長CE交⊙O于點D. (1)如圖①，求∠T和∠CDB的大??； (2)如圖②，當BE＝BC時，求∠CDO的大?。? 第5題圖 答案 1. D　【解析】∵直線l與半徑為r的圓O相交，且點O到直線l的距離為4，∴直線l與圓O的位置關系為相切或相交，即r≥4. 2. B　【解析】∵⊙O是△ABC的內切圓，∴點O到△ABC三邊的距離相等，∴點O是△ABC的三條角平分線的交點． 3. B　【解析】∵AB是⊙O的直徑，PA切⊙O于點A，∴OA⊥PA，即∠PAO＝90，∵∠P＝40，∴∠POA＝90－∠P＝50，∴∠B＝∠POA＝25. 4. A　【解析】∵BA＝10，∴AO＝5，∵PA切⊙O于點A，∴PA⊥AB，∵AO＝5，∠P＝30，∴AP＝＝5，∠AOP＝60，∵CO＝AO，∴∠C＝∠OAC＝∠AOP＝30，∴∠C＝∠P，∴AC＝AP＝5. 5. D　【解析】OP最小值為3，OB⊥BP，根據(jù)勾股定理得，BP最小值為. 6. C　【解析】根據(jù)勾股定理得：斜邊為＝17，連接直角三角形各頂點與圓心，可看作一個直角三角形由三個等高的三角形構成，設圓的半徑為r，則根據(jù)面積相等得17r＋15r＋8r＝158，解得r＝3，即直徑＝2r＝23＝6. 7. 50　【解析】∵AT是⊙O的切線，AB是⊙O的直徑，∴∠BAT＝90，在Rt△ABT中，∵∠ABT＝40，∴∠ATB＝50. 8. 5　【解析】設⊙O的半徑為x，根據(jù)勾股定理AB2＋OB2＝(AC＋OC)2，即122＋x2＝(8＋x)2，解得x＝5. 9. (1)證明：∵CB⊥AE，且在平行四邊形ABCD中，AD∥BC， ∴AD⊥AE， ∴∠DAO＝90， 又∵直線DP和圓O相切于點C， ∴DC⊥OC， ∴∠DCO＝90， ∴在Rt△DAO和Rt△DCO中， DO＝DO，AO＝CO， ∴Rt△DAO≌Rt△DCO(HL)， ∴DA＝DC； (2)解：∵CB⊥AE，AE是⊙O的直徑， ∴CF＝FB＝BC，∠ABE＝90， 又∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AD＝BC， ∴CF＝AD， 又∵CF∥DA， ∴△PCF∽△PDA， ∴＝＝， ∴PC＝PD，DC＝PD， 由(1)知DA＝DC， ∴DA＝PD，∴在Rt△DAP中，∠P＝30， ∵DP∥AB，∴∠FAB＝∠P＝30， 又∵∠ABE＝90， ∴∠AEB＝90－30＝60， 綜上所述，∠P＝30，∠AEB＝60. 10. (1)證明：如解圖，連接DO， ∵BO＝DO， ∴∠OBD＝∠ODB， ∵∠CBD＝∠ABD， ∴∠ODB＝∠HBD， ∴DO∥HB， ∵BH⊥EF， ∴∠ODH＝90， 又∵OD為⊙O的半徑， ∴EF是⊙O的切線； (2)解：如解圖，過點O作OG⊥BC于點G，則BG＝CG＝4，在Rt△OBG中，根據(jù)勾股定理得OG＝＝＝2， 即圓心O到BC的距離為2. 11. (1)證明：如解圖，連接OD， ∵AO＝OD， ∴∠A＝∠ODA， ∵AB為直徑， ∴∠ADB＝∠ADO＋∠ODB＝90， 又∵∠BDC＝∠A， ∴∠BDC＋∠ODB＝90， ∵OD為半徑， ∴CD為⊙O的切線； (2)解：在Rt△ODC中， ∵sinC＝＝， ∴不妨設OD＝4，則OC＝5，BC＝1，CD＝3， ∵∠BDC＝∠A，∠C為公共角， ∴△DBC∽△ADC， ∴＝＝， 又∵在Rt△ABD中，tanA＝，且∠DEB＝∠A， ∴tan∠DEB＝tanA＝. 能力提升訓練 1. B　【解析】如解圖，∵AD＝2，AE＝AF＝，AB＝3，∴AB＞AE＞AD, ∴＜r＜3時，以A為圓心，r為半徑畫圓，選取的格點中除點A外恰好有3個在圓內， 故選B. 2. C　【解析】設AB與⊙O相切于E點，連接OE，作DF⊥AB于F，連接BD，延長AO交BD于G，∵ABDF＝320，AB＝20，∴DF＝16，∵Rt△ADF中，AF2＝AD2－FD2＝202－162，∴AF＝12，∴BF＝8，∵Rt△DFB中，BD2＝DF2＋BF2，∴BD＝8，∴BG＝4，又∵菱形中BD⊥AG，OE⊥AB，∴△AOE∽ABG，∴OE∶BG＝OA∶AB＝1∶2，∴OE＝BG＝2. 3. 　【解析】A的橫坐標絕對值為△ABE以BE為底邊時的高，則有S△ABE＝OABE，要使得S△ABE為最大，則要當D運動到使AD與圓相切，可以得到最大的BE值，此時三角形面積最大．由“過切點的半徑垂直于切線”可得CD⊥AD，CD＝OC＝1，Rt△AOC與Rt△ADC共用一條斜邊，∴Rt△AOC≌Rt△ADC，∴AD＝AO＝2.由切割線定理，有Rt△CDE與Rt△AOE共用角∠AEO，∴Rt△CDE∽Rt△AOE，∴＝＝＝，∴OE＝2DE，即＝，解得DE＝，OE＝，∴S△ABE＝2(1＋)＝. 4. ②③④　【解析】①連接OP，∵直徑AB＝12，∴半徑r＝6，∵∠PAB＝30，∴∠POB＝60，∴l(xiāng)＝＝2π.②∵PD是⊙O的切線，∴∠OPD＝90，即∠1＋∠2＝90，∵AB是⊙O的直徑．∴∠APB＝90，∴∠3＋∠ABP＝90，∵OP＝OB，∴∠2＝∠ABP，∴∠1＝∠3，∵PD∥BC，∴∠1＝∠4，又∵∠4＝∠5，∴∠3＝∠5，即AP平分∠CAB，③∵PB＝BD，∴∠1＝∠6，∵∠1＋∠2＝∠6＋∠7＝90，∴∠2＝∠7，∴OB＝BP＝BD＝6，∴在Rt△DOP中，由勾股定理得PD＝＝＝6.④∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA，又∵∠CPA＝∠CBA，∴∠CAB＝∠CPA，又∵∠ACP＝∠ACP，∴△ACP∽△QCA，∴＝，∴CPCQ＝AC2＝()2＝72，∴結論正確的為②③④. 5. 解：(1)如解圖①，連接AC， ∵AT是⊙O的切線， ∴AT⊥AB，即∠TAB＝90， ∵∠ABT＝50， ∴∠T＝90－∠ABT＝40， 由AB是⊙O的直徑，得∠ACB＝90， ∴∠CAB＝90－∠ABC＝40， ∴∠CDB＝∠CAB＝40； (2)如解圖②，連接AD, 在△BCE中，BE＝BC，∠EBC＝50， ∴∠BCE＝∠BEC＝65， ∴∠BAD＝∠BCD＝65， ∵OA＝OD， ∴∠ODA＝∠OAD＝65， ∵∠ADC＝∠ABC＝50， ∴∠CDO＝∠ODA－∠ADC＝15.