專題五 立體幾何第 2講 空間中的平行與垂直主 干 知 識 梳 理熱 點 分 類 突 破真 題 與 押 題1.以選擇、填空題的形式考查，主要利用平面的以選擇、填空題的形式考查，主要利用平面的基本性質(zhì)及線線、線面和面面的判定與性質(zhì)定基本性質(zhì)及線線、線面和面面的判定與性質(zhì)定理對命題的真假進行判斷，屬基礎(chǔ)題理對命題的真假進行判斷，屬基礎(chǔ)題.2.以解答題的形式考查，主要是對線線、線面與以解答題的形式考查，主要是對線線、線面與面面平行和垂直關(guān)系交匯綜合命題，且多以棱面面平行和垂直關(guān)系交匯綜合命題，且多以棱柱、棱錐、棱臺或其簡單組合體為載體進行考柱、棱錐、棱臺或其簡單組合體為載體進行考查，難度中等查，難度中等考情解讀3主干知識梳理1.線面平行與垂直的判定定理、性質(zhì)定理線面平行與垂直的判定定理、性質(zhì)定理線面平線面平行的判行的判定定理定定理線面平線面平行的性行的性質(zhì)定理質(zhì)定理線面垂線面垂直的判直的判定定理定定理線面垂線面垂直的性直的性質(zhì)定理質(zhì)定理2.面面平行與垂直的判定定理、性質(zhì)定理面面平行與垂直的判定定理、性質(zhì)定理面面垂面面垂直的判直的判定定理定定理面面垂面面垂直的性直的性質(zhì)定理質(zhì)定理面面平面面平行的判行的判定定理定定理面面平面面平行的性行的性質(zhì)定理質(zhì)定理提醒提醒使用有關(guān)平行、垂直的判定定理時，要注意使用有關(guān)平行、垂直的判定定理時，要注意其具備的條件，缺一不可其具備的條件，缺一不可.3.平行關(guān)系及垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化平行關(guān)系及垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化 熱點一 空間線面位置關(guān)系的判定 熱點二 平行、垂直關(guān)系的證明 熱點三 圖形的折疊問題熱點分類突破例1(1)設(shè)設(shè)a，b表示直線，表示直線，表示不同的平表示不同的平面，則下列命題中正確的是面，則下列命題中正確的是()A.若若a且且ab，則，則bB.若若且且，則，則C.若若a且且a，則，則D.若若且且，則，則熱點一 空間線面位置關(guān)系的判定思維啟迪 判斷空間線面關(guān)系的基本判斷空間線面關(guān)系的基本思路：利用定理或結(jié)論；借思路：利用定理或結(jié)論；借助實物模型作出肯定或否定助實物模型作出肯定或否定.解析A：應(yīng)該是：應(yīng)該是b或或b ；B：如果是墻角出發(fā)的三個面就不符合題意；：如果是墻角出發(fā)的三個面就不符合題意；C：m，若，若am時，滿足時，滿足a，a，但是，但是不正確，所以選不正確，所以選D.答案D(2)平面平面平面平面的一個充分條件是的一個充分條件是()A.存在一條直線存在一條直線a，a，aB.存在一條直線存在一條直線a，a ，aC.存在兩條平行直線存在兩條平行直線a，b，a ，b ，a，bD.存在兩條異面直線存在兩條異面直線a，b，a ，b ，a，b解析若若l，al，a ，a ，則，則a，a，故排除，故排除A.若若l，a ，al，則，則a，故排除，故排除B.若若l，a ，al，b ，bl，則，則a，b，故排除，故排除C.故選故選D.答案D解決空間點、線、面位置關(guān)系的組合判斷題，主解決空間點、線、面位置關(guān)系的組合判斷題，主要是根據(jù)平面的基本性質(zhì)、空間位置關(guān)系的各種要是根據(jù)平面的基本性質(zhì)、空間位置關(guān)系的各種情況，以及空間線面垂直、平行關(guān)系的判定定理情況，以及空間線面垂直、平行關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理進行判斷，必要時可以利用正方體、和性質(zhì)定理進行判斷，必要時可以利用正方體、長方體、棱錐等幾何模型輔助判斷，同時要注意長方體、棱錐等幾何模型輔助判斷，同時要注意平面幾何中的結(jié)論不能完全引用到立體幾何中平面幾何中的結(jié)論不能完全引用到立體幾何中.思維升華變式訓練1對于平面對于平面，和直線和直線a，b，m，n，下列命題中真命，下列命題中真命題是題是()A.若若am，an，m ，n ，則，則aB.若若，a，b，則，則abC.若若ab，b ，則，則aD.若若a ，b ，a，b，則，則解析A中：由線面垂直的判定定理知，還需中：由線面垂直的判定定理知，還需m與與n相交才能得相交才能得a，故，故A錯錯.C中：由線面平行的判定定理，還需知中：由線面平行的判定定理，還需知a ，故，故C錯錯.D中：由面面平行的判定定理知，還需中：由面面平行的判定定理知，還需a與與b相交才相交才能得能得，故，故D錯錯.所以選所以選B.答案B例2如圖，在四棱錐如圖，在四棱錐PABCD中，中，ABCD，ABAD，CD2AB，平，平面面PAD底面底面ABCD，PAAD，E和和F分別是分別是CD和和PC的中點，求證：的中點，求證：(1)PA底面底面ABCD；熱點二 平行、垂直關(guān)系的證明(1)PA底面底面ABCD；思維啟迪 利用平面利用平面PAD底面底面ABCD的性質(zhì)，得線面垂直；的性質(zhì)，得線面垂直；證明因為平面因為平面PAD底面底面ABCD，且且PA垂直于這兩個平面的交線垂直于這兩個平面的交線AD，所以所以PA底面底面ABCD.(2)BE平面平面PAD；思維啟迪 BEAD易證；易證；證明因為因為ABCD，CD2AB，E為為CD的中點，的中點，所以所以ABDE，且，且ABDE.所以四邊形所以四邊形ABED為平行四邊形為平行四邊形.所以所以BEAD.又因為又因為BE 平面平面PAD，AD 平面平面PAD，所以所以BE平面平面PAD.(3)平面平面BEF平面平面PCD.思維啟迪 EF是是CPD的中位線的中位線.證明因為因為ABAD，而且，而且ABED為平行四邊形為平行四邊形.所以所以BECD，ADCD，由由(1)知知PA底面底面ABCD.所以所以PACD.所以所以CD平面平面PAD.所以所以CDPD.因為因為E和和F分別是分別是CD和和PC的中點，的中點，所以所以PDEF.所以所以CDEF.所以所以CD平面平面BEF.又又CD 平面平面PCD，所以平面所以平面BEF平面平面PCD.垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型類型.(1)證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行.(2)證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直.(3)證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直.(4)證明面面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，進而轉(zhuǎn)證明面面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，進而轉(zhuǎn)化為證明線線垂直化為證明線線垂直.思維升華變式訓練2 如圖所示，已知如圖所示，已知AB平面平面ACD，DE平面平面ACD，ACD為等邊三角形，為等邊三角形，ADDE2AB，F(xiàn)為為CD的中點的中點.求證：求證：(1)AF平面平面BCE；證明如圖，取如圖，取CE的中點的中點G，連接，連接FG，BG.F為為CD的中點，的中點，GFDE且且GF DE.AB平面平面ACD，DE平面平面ACD，ABDE，GFAB.又又AB DE，GFAB.四邊形四邊形GFAB為平行四邊形，則為平行四邊形，則AFBG.AF 平面平面BCE，BG 平面平面BCE，AF平面平面BCE.(2)平面平面BCE平面平面CDE.證明ACD為等邊三角形，為等邊三角形，F(xiàn)為為CD的中點，的中點，AFCD.DE平面平面ACD，AF 平面平面ACD，DEAF.又又CDDED，AF平面平面CDE.BGAF，BG平面平面CDE.BG 平面平面BCE，平面平面BCE平面平面CDE.例3如圖如圖(1)，在，在RtABC中，中，C90，D，E分別為分別為AC，AB的中點，點的中點，點F為線段為線段CD上的一點，上的一點，將將ADE沿沿DE折起到折起到A1DE的位置，使的位置，使A1FCD，如圖如圖(2).熱點三 圖形的折疊問題(1)求證：求證：DE平面平面A1CB；思維啟迪 折疊問題要注意在折疊過程中，哪些量變化了，哪些折疊問題要注意在折疊過程中，哪些量變化了，哪些量沒有變化量沒有變化.第第(1)問證明線面平行，可以證明問證明線面平行，可以證明DEBC；證明因為因為D，E分別為分別為AC，AB的中點，的中點，所以所以DEBC.又因為又因為DE 平面平面A1CB，BC 平面平面A1CB，所以所以DE平面平面A1CB.(2)求證：求證：A1FBE；思維啟迪 第第(2)問證明線線垂直轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，即證明問證明線線垂直轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，即證明A1F平面平面BCDE；證明由題圖由題圖(1)得得ACBC且且DEBC，所以所以DEAC.所以所以DEA1D，DECD.所以所以DE平面平面A1DC.而而A1F 平面平面A1DC，所以所以DEA1F.又因為又因為A1FCD，所以所以A1F平面平面BCDE，又，又BE 平面平面BCDE，所以所以A1FBE.(3)線段線段A1B上是否存在點上是否存在點Q，使，使A1C平面平面DEQ？請說明理由請說明理由.思維啟迪 第第(3)問取問取A1B的中點的中點Q，再證明，再證明A1C平面平面DEQ.解線段線段A1B上存在點上存在點Q，使，使A1C平面平面DEQ.理由如下：理由如下：如圖，分別取如圖，分別取A1C，A1B的中點的中點P，Q，則則PQBC.又因為又因為DEBC，所以，所以DEPQ.所以平面所以平面DEQ即為平面即為平面DEP.由由(2)知，知，DE平面平面A1DC，所以所以DEA1C.又因為又因為P是等腰三角形是等腰三角形DA1C底邊底邊A1C的中點，的中點，所以所以A1CDP.所以所以A1C平面平面DEP.從而從而A1C平面平面DEQ.故線段故線段A1B上存在點上存在點Q，使得，使得A1C平面平面DEQ.(1)解決與折疊有關(guān)的問題的關(guān)鍵是搞清折疊前后解決與折疊有關(guān)的問題的關(guān)鍵是搞清折疊前后的變化量和不變量的變化量和不變量.一般情況下，折線同一側(cè)線一般情況下，折線同一側(cè)線段的長度是不變量，而位置關(guān)系往往會發(fā)生變化，段的長度是不變量，而位置關(guān)系往往會發(fā)生變化，抓住不變量是解決問題的突破口抓住不變量是解決問題的突破口.(2)在解決問題時，要綜合考慮折疊前后的圖形，在解決問題時，要綜合考慮折疊前后的圖形，既要分析折疊后的圖形，也要分析折疊前的圖形既要分析折疊后的圖形，也要分析折疊前的圖形.思維升華變式訓練3如圖如圖(1)，已知梯形，已知梯形ABCD中，中，ADBC，BAD ，ABBC2AD4，E，F(xiàn)分別是分別是AB，CD上的點，上的點，EFBC，AEx.沿沿EF將梯形將梯形ABCD翻折，使平面翻折，使平面AEFD平面平面EBCF(如圖如圖(2)所示所示)，G是是BC的中點的中點.(1)當當x2時，求證：時，求證：BDEG；證明作作DHEF，垂足為，垂足為H，連接連接BH，GH，因為平面因為平面AEFD平面平面EBCF，交，交線為線為EF，DH 平面平面AEFD，所以所以DH平面平面EBCF，又，又EG 平面平面EBCF，故故EGDH.因為因為EHAD BCBG2，BE2，EFBC，EBC90，所以四邊形所以四邊形BGHE為正方形，故為正方形，故EGBH.又又BH，DH 平面平面DBH，且，且BHDHH，故故EG平面平面DBH.又又BD 平面平面DBH，故，故EGBD.(2)當當x變化時，求三棱錐變化時，求三棱錐DBCF的體積的體積f(x)的函數(shù)式的函數(shù)式.解因為因為AEEF，平面，平面AEFD平面平面EBCF，交線，交線為為EF，AE 平面平面AEFD，所以所以AE平面平面EBCF.由由(1)知，知，DH平面平面EBCF，故，故AEDH，所以四邊形所以四邊形AEHD是矩形，是矩形，DHAE，故以故以B，F(xiàn)，C，D為頂點的三棱錐為頂點的三棱錐DBCF的高的高DHAEx.1.證明線線平行的常用方法證明線線平行的常用方法(1)利用平行公理，即證明兩直線同時和第三條直利用平行公理，即證明兩直線同時和第三條直線平行；線平行；(2)利用平行四邊形進行轉(zhuǎn)換；利用平行四邊形進行轉(zhuǎn)換；(3)利用三角形中位線定理證明；利用三角形中位線定理證明；(4)利用線面平行、面面平行的性質(zhì)定理證明利用線面平行、面面平行的性質(zhì)定理證明.本講規(guī)律總結(jié)2.證明線面平行的常用方法證明線面平行的常用方法(1)利用線面平行的判定定理，把證明線面平行轉(zhuǎn)化為證利用線面平行的判定定理，把證明線面平行轉(zhuǎn)化為證線線平行；線線平行；(2)利用面面平行的性質(zhì)定理，把證明線面平行轉(zhuǎn)化為證利用面面平行的性質(zhì)定理，把證明線面平行轉(zhuǎn)化為證面面平行面面平行.3.證明面面平行的方法證明面面平行的方法證明面面平行，依據(jù)判定定理，只要找到一個面內(nèi)兩條證明面面平行，依據(jù)判定定理，只要找到一個面內(nèi)兩條相交直線與另一個平面平行即可，從而將證面面平行轉(zhuǎn)相交直線與另一個平面平行即可，從而將證面面平行轉(zhuǎn)化為證線面平行，再轉(zhuǎn)化為證線線平行化為證線面平行，再轉(zhuǎn)化為證線線平行.4.證明線線垂直的常用方法證明線線垂直的常用方法(1)利用特殊平面圖形的性質(zhì)，如利用直角三角形、矩利用特殊平面圖形的性質(zhì)，如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到線線垂直；形、菱形、等腰三角形等得到線線垂直；(2)利用勾股定理逆定理；利用勾股定理逆定理；(3)利用線面垂直的性質(zhì)，即要證線線垂直，只需證明利用線面垂直的性質(zhì)，即要證線線垂直，只需證明一線垂直于另一線所在平面即可一線垂直于另一線所在平面即可.5.證明線面垂直的常用方法證明線面垂直的常用方法(1)利用線面垂直的判定定理，把線面垂直的判定轉(zhuǎn)化利用線面垂直的判定定理，把線面垂直的判定轉(zhuǎn)化為證明線線垂直；為證明線線垂直；(2)利用面面垂直的性質(zhì)定理，把證明線面垂直轉(zhuǎn)化為利用面面垂直的性質(zhì)定理，把證明線面垂直轉(zhuǎn)化為證面面垂直；證面面垂直；(3)利用常見結(jié)論，如兩條平行線中的一條垂直于一個利用常見結(jié)論，如兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面平面，則另一條也垂直于這個平面.6.證明面面垂直的方法證明面面垂直的方法證明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即證明一個面證明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即證明一個面過另一個面的一條垂線，將證明面面垂直轉(zhuǎn)化為證明線過另一個面的一條垂線，將證明面面垂直轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，一般先從現(xiàn)有直線中尋找，若圖中不存在這樣面垂直，一般先從現(xiàn)有直線中尋找，若圖中不存在這樣的直線，則借助中點、高線或添加輔助線解決的直線，則借助中點、高線或添加輔助線解決. 真題感悟 押題精練真題與押題12真題感悟1.(2014遼寧遼寧)已知已知m，n表示兩條不同直線，表示兩條不同直線，表示表示平面平面.下列說法正確的是下列說法正確的是()A.若若m，n，則，則mnB.若若m，n ，則，則mnC.若若m，mn，則，則nD.若若m，mn，則，則n12真題感悟解析方法一若方法一若m，n，則則m，n可能平行、相交或異面，可能平行、相交或異面，A錯；錯；若若m，n ，則，則mn，因為直線與平面垂直時，因為直線與平面垂直時，它垂直于平面內(nèi)任一直線，它垂直于平面內(nèi)任一直線，B正確；正確；若若m，mn，則，則n或或n ，C錯；錯；若若m，mn，則，則n與與可能相交，可能平行，也可能相交，可能平行，也可能可能n ，D錯錯.12真題感悟方法二如圖，在正方體方法二如圖，在正方體ABCDABCD中，用平面中，用平面ABCD表示表示.A項中，若項中，若m為為AB，n為為BC，滿足滿足m，n，但但m與與n是相交直線，故是相交直線，故A錯錯.B項中，項中，m，n ，mn，這是線面垂直的性質(zhì)，故，這是線面垂直的性質(zhì)，故B正確正確.12真題感悟C項中，若項中，若m為為AA，n為為AB，滿足滿足m，mn，但，但n ，故，故C錯錯.D項中，若項中，若m為為AB，n為為BC，滿足滿足m，mn，但，但n，故，故D錯錯.答案B真題感悟212.(2014遼寧遼寧)如圖，如圖，ABC和和BCD所在平面互相垂直，且所在平面互相垂直，且ABBCBD2，ABCDBC120，E，F(xiàn)，G分別為分別為AC，DC，AD的中點的中點.真題感悟21(1)求證：求證：EF平面平面BCG；證明由已知得由已知得ABCDBC，因此因此ACDC.又又G為為AD的中點，所以的中點，所以CGAD.同理同理BGAD，又，又BGCGG，因此因此AD平面平面BGC.又又EFAD，所以，所以EF平面平面BCG.真題感悟21(2)求三棱錐求三棱錐DBCG的體積的體積.附：錐體的體積公式附：錐體的體積公式V Sh，其中，其中S為底面面積，為底面面積，h為高為高.解在平面在平面ABC內(nèi)，作內(nèi)，作AOBC，交，交CB的延長線于的延長線于O.由平面由平面ABC平面平面BCD，知，知AO平面平面BDC.又又G為為AD中點，因此中點，因此G到平面到平面BDC的距離的距離h是是AO長長度的一半度的一半.真題感悟21押題精練121. 如圖，如圖，AB為圓為圓O的直徑，點的直徑，點C在圓周上在圓周上(異異于點于點A，B)，直線，直線PA垂直于圓垂直于圓O所在的平面，所在的平面，點點M為線段為線段PB的中點的中點.有以下四個命題：有以下四個命題：PA平面平面MOB；MO平面平面PAC；OC平面平面PAC；平面平面PAC平面平面PBC.其中正確的命題是其中正確的命題是_(填上所有正確命題的序號填上所有正確命題的序號).押題精練12解析錯誤，錯誤，PA 平面平面MOB；正確；正確；錯誤，否則，有錯誤，否則，有OCAC，這與，這與BCAC矛盾；矛盾；正確，因為正確，因為BC平面平面PAC.答案押題精練122.如圖所示，在正方體如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，中，E是棱是棱DD1的中點的中點.(1)證明：平面證明：平面ADC1B1平面平面A1BE；證明如圖，如圖，因為因為ABCDA1B1C1D1為正方體，為正方體，所以所以B1C1面面ABB1A1.因為因為A1B 面面ABB1A1，所以，所以B1C1A1B.押題精練12又因為又因為A1BAB1，B1C1AB1B1，所以所以A1B面面ADC1B1.因為因為A1B 面面A1BE，所以平面所以平面ADC1B1平面平面A1BE.押題精練12(2)在棱在棱C1D1上是否存在一點上是否存在一點F，使，使B1F平面平面A1BE？并證明你的結(jié)論并證明你的結(jié)論.解當點當點F為為C1D1中點時，可使中點時，可使B1F平面平面A1BE.證明如下：證明如下：取取C1D1中點中點F，連接，連接EF，B1F易知：易知：EFC1D，且，且EF C1D.押題精練12設(shè)設(shè)AB1A1BO，連接，連接OE，則則B1OC1D且且B1O C1D，所以所以EFB1O且且EFB1O，所以四邊形所以四邊形B1OEF為平行四邊形為平行四邊形.所以所以B1FOE.又因為又因為B1F 面面A1BE，OE 面面A1BE.所以所以B1F面面A1BE.