2019-2020年高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí) 專題六解析幾何第2講橢圓、雙曲線、拋物線 文真題試做1(xx江西高考，文8)橢圓1(ab0)的左、右頂點(diǎn)分別是A，B，左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為()A B C D22(xx湖南高考，文6)已知雙曲線C：1的焦距為10，點(diǎn)P(2,1)在C的漸近線上，則C的方程為()A1 B1C1 D13(xx大綱全國高考，文10)已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2y22的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，|PF1|2|PF2|，則cosF1PF2()A B C D4(xx江西高考，文20)已知三點(diǎn)O(0,0)，A(2,1)，B(2,1)，曲線C上任意一點(diǎn)M(x，y)滿足|()2(1)求曲線C的方程；(2)點(diǎn)Q(x0，y0)(2x02)是曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，曲線C在點(diǎn)Q處的切線為l，點(diǎn)P的坐標(biāo)是(0，1)，l與PA，PB分別交于點(diǎn)D，E，求QAB與PDE的面積之比考向分析圓錐曲線是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，是高考中每年必考的內(nèi)容所占分?jǐn)?shù)約在1218分主要考查圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等內(nèi)容其中對(duì)圓錐曲線方程與性質(zhì)的考查，多以選擇題、填空題為主，如xx年湖南高考文6,xx年江西高考文8等題；對(duì)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的考查，常與其他知識(shí)結(jié)合，形成曲線中的存在性問題、曲線中的證明問題等，多以解答題的形式出現(xiàn)預(yù)計(jì)在今后高考中，解析幾何中的解答題仍將以直線與圓錐曲線為載體，繼續(xù)與函數(shù)、方程、不等式、向量等知識(shí)結(jié)合，考查最值問題、范圍問題、存在性問題以及有關(guān)的證明等，試題屬于中、高檔題，考查的思想方法主要有數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法熱點(diǎn)例析熱點(diǎn)一圓錐曲線的定義、性質(zhì)與標(biāo)準(zhǔn)方程【例1】若橢圓1與雙曲線1(m，n，p，q均為正數(shù))有共同的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，P是兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，則|PF1|PF2|等于()Ap2m2 BpmCmp Dm2p2規(guī)律方法 1求圓錐曲線方程常用的方法有定義法、待定系數(shù)法、軌跡方程法而對(duì)于雙曲線和橢圓在不明確焦點(diǎn)坐標(biāo)的情況下可以統(tǒng)一設(shè)成mx2ny21(mn0)，這樣可以避免對(duì)參數(shù)的討論2應(yīng)特別重視圓錐曲線的定義在解題中的運(yùn)用，若已知圓錐曲線上一點(diǎn)及焦點(diǎn)的相關(guān)信息，應(yīng)首先要考慮使用圓錐曲線的定義來求解3在求解有關(guān)離心率的問題時(shí)，一般并不是直接求出c和a的值，而是根據(jù)題目給出的橢圓或雙曲線的幾何特點(diǎn)，建立關(guān)于參數(shù)c，a，b的方程或不等式，通過解方程或不等式求得離心率的值或范圍4在雙曲線中，由于e21，故雙曲線的漸近線與離心率密切相關(guān)5拋物線的幾何性質(zhì)的特點(diǎn)：有一個(gè)頂點(diǎn)、一個(gè)焦點(diǎn)、一條準(zhǔn)線、一條對(duì)稱軸、無對(duì)稱中心、沒有漸近線，這里強(qiáng)調(diào)p的幾何意義是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離變式訓(xùn)練1 (1)(xx江蘇南京二模，6)已知雙曲線y21的一條漸近線方程為x2y0，則該雙曲線的離心率e_(2)已知雙曲線1(a0，b0)的一條漸近線方程是yx，它的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y216x的焦點(diǎn)相同，則雙曲線的方程為_熱點(diǎn)二圓錐曲線的最值或定值問題【例2】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：y21如圖所示，斜率為k(k0)且不過原點(diǎn)的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為E，射線OE交橢圓C于點(diǎn)G，交直線x3于點(diǎn)D(3，m)(1)求m2k2的最小值；(2)若|OG|2|OD|OE|，求證：直線l過定點(diǎn)；試問點(diǎn)B，G能否關(guān)于x軸對(duì)稱？若能，求出此時(shí)ABG的外接圓方程；若不能，請(qǐng)說明理由規(guī)律方法1求最值的常用方法(1)函數(shù)法，如通過二次函數(shù)求最值；(2)三角代換法，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的有界性求最值；(3)不等式法，通過基本不等式求最值；(4)數(shù)形結(jié)合法等2定值問題的求解策略解這類問題常通過取參數(shù)和特殊值先確定“定值”是多少，再進(jìn)行證明，或者將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，再證明該式是與變量無關(guān)的常數(shù)特別提醒：解決定值問題一定要分清哪些量為變量，哪些量為常量變式訓(xùn)練2 (xx安徽安慶二模，20)已知，橢圓C：1(ab0)的左、右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，e，過F1的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，|AF2|，|AB|，|BF2|成等差數(shù)列，且|AB|4(1)求橢圓C的方程；(2)M，N是橢圓C上的兩點(diǎn)，若線段MN被直線x1平分，證明：線段MN的中垂線過定點(diǎn)熱點(diǎn)三圓錐曲線中的參數(shù)范圍【例3】如圖，已知圓C：(x1)2y28，定點(diǎn)A(1,0)，M為圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在AM上，點(diǎn)N在CM上，且滿足2，0，點(diǎn)N的軌跡為曲線E(1)求曲線E的方程；(2)若過定點(diǎn)F(0,2)的直線交曲線E于不同的兩點(diǎn)G，H(點(diǎn)G在點(diǎn)F，H之間)，且滿足，求的取值范圍規(guī)律方法 求參數(shù)范圍的常用方法(1)函數(shù)法，用其他變量表示該參數(shù)，建立函數(shù)關(guān)系，利用求函數(shù)值域的方法求解(2)不等式法，根據(jù)題意建立含參數(shù)的不等關(guān)系，通過解不等式求參數(shù)的范圍(3)判別式法，建立關(guān)于某變量的一元二次方程，利用判別式0求參數(shù)的范圍(4)數(shù)形結(jié)合法，研究該參數(shù)所對(duì)應(yīng)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合思想求解特別提醒：直線與圓錐曲線相交(有兩個(gè)交點(diǎn))，聯(lián)立方程消元后得方程ax2bxc0(a0)，則b24ac0，求字母范圍時(shí)易忽視此限制條件，從而產(chǎn)生增根變式訓(xùn)練3 已知點(diǎn)P(4,4)，圓C：(xm)2y25(m3)與橢圓E：1(ab0)有一個(gè)公共點(diǎn)A(3,1)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，直線PF1與圓C相切(1)求m的值與橢圓E的方程；(2)設(shè)Q為橢圓E上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍熱點(diǎn)四開放性、探索性問題(存在性問題)【例4】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，經(jīng)過點(diǎn)(0，)且斜率為k的直線l與橢圓y21有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q(1)求k的取值范圍；(2)設(shè)橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點(diǎn)分別為A，B，是否存在常數(shù)k，使得向量與共線？如果存在，求k的值；如果不存在，請(qǐng)說明理由規(guī)律方法 1解決探索性問題應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：存在性問題，先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確則存在，若結(jié)論不正確則不存在(1)當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時(shí)要分類討論(2)當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時(shí)，先假設(shè)成立，再推出條件(3)當(dāng)條件和結(jié)論都不知，按常規(guī)方法解題很難時(shí)，要思維開放，采取另外的途徑2存在性問題的解題步驟：(1)先假設(shè)存在，引入?yún)⒆兞?，根?jù)題目條件列出關(guān)于參變量的方程(組)或不等式(組)(2)解此方程(組)或不等式(組)，若有解則存在，若無解則不存在(3)得出結(jié)論變式訓(xùn)練4 如圖，橢圓C：1的頂點(diǎn)為A1，A2，B1，B2，焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，|A1B1|，(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)n是過原點(diǎn)的直線，l是與n垂直相交于P點(diǎn)，與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)的直線，|1是否存在上述直線l使1成立？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由思想滲透分類討論思想解析幾何中含參數(shù)的問題解析幾何中含參數(shù)的問題類型：(1)當(dāng)直線過定點(diǎn)設(shè)直線方程時(shí)，應(yīng)對(duì)直線分斜率存在與不存在兩種情況進(jìn)行討論；(2)求有關(guān)直線與圓錐曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題時(shí)，對(duì)參數(shù)的討論；(3)求有關(guān)線段長度、圖形面積的最值問題時(shí)，對(duì)解析式中含有的參數(shù)進(jìn)行討論；(4)對(duì)有關(guān)二元二次方程表示曲線類型的判定等求解時(shí)注意的問題：(1)求解有關(guān)含參數(shù)的問題時(shí)應(yīng)結(jié)合參數(shù)的意義，對(duì)參數(shù)的不同取值或不同取值范圍進(jìn)行分類討論，分類時(shí)應(yīng)注意討論的時(shí)機(jī)、標(biāo)準(zhǔn)、原因，做到不重不漏(2)對(duì)參數(shù)的分類討論，最后仍然分類寫出答案；如果是對(duì)所求的字母進(jìn)行分類求解，最后一般要整理得出并集【典型例題】(xx浙江高考，理21)如圖，橢圓C：1(ab0)的離心率為，其左焦點(diǎn)到點(diǎn)P(2,1)的距離為，不過原點(diǎn)O的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB被直線OP平分(1)求橢圓C的方程；(2)求ABP面積取最大值時(shí)直線l的方程解：(1)設(shè)橢圓左焦點(diǎn)為F(c,0)，則由題意得得所以橢圓方程為1(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，線段AB的中點(diǎn)為M當(dāng)直線AB與x軸垂直時(shí)，直線AB的方程為x0，與不過原點(diǎn)的條件不符，舍去故可設(shè)直線AB的方程為ykxm(m0)，由消去y，整理得(34k2)x28kmx4m2120，則64k2m24(34k2)(4m212)0，所以線段AB的中點(diǎn)M，因?yàn)镸在直線OP上，所以，得m0(舍去)或k此時(shí)方程為3x23mxm230，則3(12m2)0，所以|AB|x1x2|設(shè)點(diǎn)P到直線AB距離為d，則d設(shè)ABP的面積為S，則S|AB|d，其中m(2，0)(0,2)令u(m)(12m2)(m4)2，m2，2，u(m)4(m4)(m22m6)4(m4)(m1)(m1)所以當(dāng)且僅當(dāng)m1時(shí)，u(m)取到最大值故當(dāng)且僅當(dāng)m1時(shí)，S取到最大值綜上，所求直線l方程為3x2y2201(xx江西八校聯(lián)考，文10)設(shè)拋物線M：y22px(p0)的焦點(diǎn)F是雙曲線N：1(a0，b0)的右焦點(diǎn)，若M與N的公共弦AB恰好過F，則雙曲線N的離心率e的值為()A B1 C3 D22(xx河北邯鄲一模，11)拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)為F，傾斜角為60的直線l過點(diǎn)F且與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)為A，|AF|3，則拋物線的方程為()Ay23x By2xCy2x或y2x Dy23x或y29x3以F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)為焦點(diǎn)且與直線xy30有公共點(diǎn)的橢圓中，離心率最大的橢圓方程是()A1 B1C1 D14(xx山東濰坊3月模擬，13)雙曲線y21(a0)的離心率為2，則該雙曲線的漸近線方程為_5(xx北京豐臺(tái)3月模擬，10)已知拋物線y28x上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離是6，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是_6(xx山東濟(jì)南3月模擬，15)過雙曲線1(a0，b0)的一個(gè)焦點(diǎn)F作一條漸近線的垂線，若垂足恰在線段OF(O為原點(diǎn))的垂直平分線上，則雙曲線的離心率為_7(xx山東濟(jì)南3月模擬，22)已知中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上的橢圓E經(jīng)過點(diǎn)C(2,2)，且拋物線y24x的焦點(diǎn)為F1(1)求橢圓E的方程；(2)垂直于OC的直線l與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)以AB為直徑的圓P與y軸相切時(shí)，求直線l的方程和圓P的方程參考答案命題調(diào)研明晰考向真題試做1B解析：因?yàn)锳，B為左，右頂點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為左，右焦點(diǎn)，所以|AF1|ac，|F1F2|2c，|F1B|ac又因?yàn)閨AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比數(shù)列，所以(ac)(ac)4c2，即a25c2所以離心率e，故選B2A解析：2c10，c5點(diǎn)P(2,1)在直線yx上，1又a2b225，a220，b25故C的方程為：13C解析：設(shè)|PF2|m，則|PF1|2m，由雙曲線定義知|PF1|PF2|2a，得2mm2，m2又2c2224，由余弦定理可得：cosF1PF24解：(1)由(2x,1y)，(2x,1y)，得|，()(x，y)(0,2)2y，由已知得2y2，化簡(jiǎn)得曲線C的方程是x24y(2)直線PA，PB的方程分別是yx1，yx1，曲線C在Q處的切線l的方程是yx，且與y軸的交點(diǎn)為F，分別聯(lián)立方程組解得D，E的橫坐標(biāo)分別是xD，xE，則xExD2，|FP|1，故SPDE|FP|xExD|2，而SQAB4，則2，即QAB與PDE的面積之比為2精要例析聚焦熱點(diǎn)熱點(diǎn)例析【例1】C解析：根據(jù)題意可知mn，由于點(diǎn)P是橢圓上的點(diǎn)，據(jù)橢圓定義有|PF1|PF2|2又點(diǎn)P在雙曲線上，再據(jù)雙曲線定義有|PF1|PF2|2，將上述兩式分別平方再相減得|PF1|PF2|mp【變式訓(xùn)練1】(1)(2)1解析：由雙曲線1(a0，b0)的一條漸近線方程為yx得，ba拋物線y216x的焦點(diǎn)為F(4,0)，c4又c2a2b2，16a2(a)2a24，b212所求雙曲線的方程為1【例2】解：(1)設(shè)直線l的方程為ykxt(k0)，由題意知，t0由方程組得(3k21)x26ktx3t230由題意0，所以3k21t2設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由韋達(dá)定理得x1x2所以y1y2由于E為線段AB的中點(diǎn)，因此xE，yE，此時(shí)kOE所以O(shè)E所在直線方程為yx又由題設(shè)知D(3，m)，令x3，得m，即mk1所以m2k22mk2當(dāng)且僅當(dāng)mk1時(shí)上式等號(hào)成立此時(shí)由0得0t2因此當(dāng)mk1且0t2時(shí)，m2k2取最小值2(2)證明：由(1)知OD所在直線的方程為yx，將其代入橢圓C的方程，并由k0，解得G，又E，D，由距離公式及t0得|OG|222，|OD|，|OE|，由|OG|2|OD|OE|得tk，因此直線l的方程為yk(x1)，所以直線l過定點(diǎn)(1,0)由得G，若B，G關(guān)于x軸對(duì)稱，則B代入yk(x1)，整理得3k21k，即6k47k210，解得k2(舍去)或k21，所以k1此時(shí)B，G關(guān)于x軸對(duì)稱又由(1)得x10，y11，所以A(0,1)由于ABG的外接圓的圓心在x軸上，可設(shè)ABG的外接圓的圓心為(d,0)，因此d212，解得d故ABG的外接圓的半徑為r所以ABG的外接圓方程為2y2【變式訓(xùn)練2】解：(1)|AF2|，|AB|，|BF2|成等差數(shù)列，|AF2|BF2|2|AB|4a|AF2|AF1|BF2|BF1|AF2|BF2|AB|3|AB|12a3又e，c1，b2所求的橢圓方程為1(2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中點(diǎn)為(1，y0)，由題意，知，兩式相減，得0，kMN線段MN的中垂線方程為yy0(x1)，易證，此直線過定點(diǎn)【例3】解：(1)2，0，NP為AM的垂直平分線，|NA|NM|又|CN|NM|2，|CN|AN|22，點(diǎn)N的軌跡是以點(diǎn)C(1,0)，A(1,0)為焦點(diǎn)的橢圓且橢圓長軸長為2a2，焦距2c2，a，c1，b21，曲線E的方程為y21(2)當(dāng)直線GH的斜率存在時(shí)，設(shè)直線GH的方程為ykx2，代入橢圓方程y21，得x24kx30由0得k2設(shè)G(x1，y1)，H(x2，y2)，則x1x2，x1x2又，(x1，y12)(x2，y22)，x1x2，x1x2(1)x2，x1x2x2，2x222，整理得k2，442，3又01，1又當(dāng)直線GH的斜率不存在，即其方程為x0時(shí)，1，即所求的取值范圍是【變式訓(xùn)練3】解：(1)點(diǎn)A坐標(biāo)代入圓C方程，得(3m)215m3，m1圓C：(x1)2y25設(shè)直線PF1的斜率為k，則PF1：yk(x4)4，即kxy4k40直線PF1與圓C相切，解得k，或k當(dāng)k時(shí)，直線PF1與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，不合題意，舍去；當(dāng)k時(shí)，直線PF1與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為4，c4F1(4,0)，F(xiàn)2(4,0)2aAF1AF256，a3，a218，b22橢圓E的方程為1(2)(1,3)，設(shè)Q(x，y)，(x3，y1)，(x3)3(y1)x3y61，即x2(3y)218，而x2(3y)22|x|3y|，186xy18則(x3y)2x2(3y)26xy186xy的取值范圍是0,36x3y的取值范圍是6,6x3y6的取值范圍是12,0【例4】解：(1)由已知條件知直線l的方程為ykx，代入橢圓方程得(kx)21整理得x22kx10直線l與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q等價(jià)于8k244k220，解得k或k即k的取值范圍為(2)設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則(x1x2，y1y2)，由方程得x1x2又y1y2k(x1x2)2，而A(，0)，B(0,1)，(2,1)，所以與共線等價(jià)于x1x2(y1y2)將代入上式，解得k由(1)知k或k，故沒有符合題意的常數(shù)k【變式訓(xùn)練4】解：(1)由|A1B1|知a2b27，知a2c，又b2a2c2，由解得a24，b23，故橢圓C的方程為1(2)設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，假設(shè)使1成立的直線l存在，當(dāng)l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)l的方程為ykxm，由l與n垂直相交于P點(diǎn)且|1，得1，即m2k211，|1，()()10010，即x1x2y1y20將ykxm代入橢圓方程，得(34k2)x28kmx(4m212)0，由求根公式可得x1x2，x1x20x1x2y1y2x1x2(kx1m)(kx2m)x1x2k2x1x2km(x1x2)m2(1k2)x1x2km(x1x2)m2，將代入上式并化簡(jiǎn)得(1k2)(4m212)8k2m2m2(34k2)0，將m21k2代入并化簡(jiǎn)得5(k21)0，矛盾即此時(shí)直線l不存在當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，滿足|1的直線l的方程為x1或x1，當(dāng)x1時(shí)，A，B，P的坐標(biāo)分別為，(1,0)，1當(dāng)x1時(shí)，同理可得1，即此時(shí)直線l也不存在綜上可知，使1成立的直線l不存在創(chuàng)新模擬預(yù)測(cè)演練1B解析：由條件可知雙曲線的半焦距e，則|AB|2p4c，即c2a22ac設(shè)雙曲線的離心率為e，則e22e10，故e12D解析：直線l方程為y設(shè)A(x1，y1)，則y1又根據(jù)拋物線定義，有x13，x13故A將A點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程，并整理有：4p224p270，p1，p2故拋物線方程為y23x或y29x3C解析：c1，故若使橢圓的離心率最大，則a最小，即在直線xy30上求一點(diǎn)M使|MF1|MF2|最小，易求點(diǎn)F1關(guān)于直線xy30的對(duì)稱點(diǎn)N為(3,2)，|NF2|22a2，故所求橢圓方程是1故選C4yx解析：c2a21，由4得a故漸近線方程為yxx5(4，4)解析：利用拋物線定義先求出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)6解析：設(shè)垂足為M則OFM為等腰直角三角形，設(shè)OF中點(diǎn)為N，利用MNONOF，列出關(guān)于a，c的關(guān)系式即可解決7解：(1)設(shè)橢圓E的方程為1(ab0)，則1，拋物線y24x的焦點(diǎn)為F1，c又a2b2c2，由得a212，b26橢圓E的方程為1(2)依題意，直線OC斜率為1，由此設(shè)直線l的方程為yxm，代入橢圓E的方程，得3x24mx2m2120由16m212(2m212)8(18m2)0，得m218A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2圓P的圓心為，半徑r|x1x2|當(dāng)圓P與y軸相切時(shí)，r，則2x1x2，即，m2918，m3當(dāng)m3時(shí)，直線l方程為yx3，此時(shí)，x1x24，圓心為(2,1)，半徑為2，圓P的方程為(x2)2(y1)24；同理，當(dāng)m3時(shí)，直線l方程為yx3，圓P的方程為(x2)2(y1)24