第一部分第一部分 教材知識梳理教材知識梳理第四章第四章 三角形三角形第五節(jié)第五節(jié) 銳角三角函數及其應用銳角三角函數及其應用中招考點清單中招考點清單考點一考點一 銳角三角函數銳角三角函數 1. 定義定義 如圖，在如圖，在RtABC中，中，C=90，A為為ABC中的一銳角，則有中的一銳角，則有 A的正弦：的正弦：sinA=_. A的余弦：的余弦：cosA=_. A的正切：的正切：tanA=_.acbcab2. 特殊角的三角函數值特殊角的三角函數值 角的度數角的度數三角函數值三角函數值30 4560sin _cos_ tan _ 2222121233332321考點二考點二 直角三角形的邊角關系直角三角形的邊角關系已知已知條件條件圖形解法圖形解法一直角邊和一直角邊和一銳角一銳角（a,A）B=90-A, c= , b= (或或b= )sin A tan A 22ca 已知已知條件條件圖形解法圖形解法斜邊和一個斜邊和一個銳角銳角（c,A）B=90-A, a=csinA,b=ccosA(或或b= )22ca 已知已知條件條件圖形解法圖形解法兩直角邊兩直角邊(a,b)c= ,由由tanA= 求求A,B=90-Aab22ab 已知已知條件條件圖形解法圖形解法斜邊和一條斜邊和一條直角邊（直角邊（c,a）b= ,由由sinA= 求求A,B=90-Aac22ca 考點三考點三 銳角三角函數的實際應用（銳角三角函數的實際應用（高頻考點高頻考點） 【考情總結考情總結】近近7年考查年考查6次，僅次，僅2010年未年未考查，均在解答題中考查，題位在考查，均在解答題中考查，題位在19題或題或20題，題，考查形式有：涉及仰角俯角問題考查形式有：涉及仰角俯角問題3次，坡度坡次，坡度坡角問題角問題1次，測量問題次，測量問題2次，方向角未考查；涉次，方向角未考查；涉及角度；一個特殊角和一個非特殊角（及角度；一個特殊角和一個非特殊角（4次），次），兩個角都為特殊角（兩個角都為特殊角（1次），一個非特殊角（次），一個非特殊角（1次）次）.仰角、俯仰角、俯角角在視線與水平線所成的銳角中，視在視線與水平線所成的銳角中，視線在水平線上方的角叫仰角，視線線在水平線上方的角叫仰角，視線在水平線下方的角叫俯角在水平線下方的角叫俯角.如圖如圖坡度（坡坡度（坡比）、坡比）、坡角角坡面的鉛直高度坡面的鉛直高度h和水平寬度和水平寬度l的比的比叫坡度（坡比），用字母叫坡度（坡比），用字母i表示；坡表示；坡面與水平線的夾角面與水平線的夾角叫坡角，叫坡角，i=tan= .如圖如圖hl方向角方向角一般指以觀測者的位置為中心，將正一般指以觀測者的位置為中心，將正北或正南方向作為起始方向旋轉到目北或正南方向作為起始方向旋轉到目標線所成的角（一般指銳角），通常標線所成的角（一般指銳角），通常表達成北（南）偏東（西）表達成北（南）偏東（西）度，度，A點位于點位于O點的北偏東點的北偏東30方向，方向，B點點位于位于O點的南偏東點的南偏東60方向，方向，C點位于點位于O點的北偏西點的北偏西45方向（或西北方方向（或西北方向）向）.如圖如圖?？碱愋推饰龀？碱愋推饰龅淅v典例精講類型一類型一 直角三角形的邊角關系直角三角形的邊角關系 例例1（14濱州濱州）在）在RtACB中，中，C=90，AB=10，sinA= ，cosA= ，tanA= ，則，則BC的長為的長為( ) A. 6 B. 7.5 C. 8 D. 12.5354534A 【解析解析】在在RtACB中，中，C90，AB=10，要求，要求A所對的直角邊，顯然選擇所對的直角邊，顯然選擇sinA= ，設，設BC長為長為x,可直接求解可直接求解.因為因為sinA= ,則則x=ABsinA=10 =6,故故BC=6.3535xAB 【方法指導方法指導】解答關于直角三角形邊角關解答關于直角三角形邊角關系的問題，通常都需要圖形，如果沒有圖形，系的問題，通常都需要圖形，如果沒有圖形，首先要畫出圖形首先要畫出圖形. .將已知條件在圖形中表示出將已知條件在圖形中表示出來，根據要求的邊或角并結合已知條件，尋找來，根據要求的邊或角并結合已知條件，尋找與之對應的邊角關系解直角三角形與之對應的邊角關系解直角三角形. . 拓展題拓展題1 如圖，在如圖，在RtABC中，中，C= 90，BC=1，AB=2,則則tanB的值為的值為( ) A. B. C. D. 1232333A 【解析解析】在在RtABC中，中，BC1，AB2，AC= ，tanB .33ACBC類型二類型二 銳角三角函數的實際應用銳角三角函數的實際應用 例例2 (14蘭州蘭州) )如圖，在電線桿上的如圖，在電線桿上的C處引處引拉線拉線CE,CF固定電線桿固定電線桿.拉線拉線CE和地面成和地面成60角，在離電線桿角，在離電線桿6米的米的B處安置測角儀處安置測角儀AB，在，在A處測得電線桿上處測得電線桿上C處的仰角為處的仰角為30.已知測角儀已知測角儀AB的高為的高為1.5米，求拉線米，求拉線CE的長的長.（結果保留根（結果保留根號）號） 【信息梳理信息梳理】原題信息原題信息整理后的信息整理后的信息結論結論在電線桿上的在電線桿上的C處處引拉線引拉線CE，CF固固定電線桿定電線桿.拉線拉線CE和地面成和地面成60角，角，在離電線桿在離電線桿6米處米處安置測角儀安置測角儀ABDEC=60,DB=6米米AM=BD=6米，米，AB=MD=1.5米，米， 【信息梳理信息梳理】原題信息原題信息整理后的信息整理后的信息結論結論在在A處測得電線桿處測得電線桿上上C處的仰角為處的仰角為30，已知測角儀，已知測角儀AB=1.5米米過點過點A作作AMCD，垂，垂足為足為M，MAC=30CM=AMtan30， CD=CM+MD求拉線求拉線CE的長的長求求CE的長的長CE=sin60CD 解解：如解圖，過：如解圖，過點點A作作AMCD,垂足為垂足為M.AM=BD=6（米）（米）,AB=MD=1.5（米）（米）.在在RtACM中，中，tan30= ，CM=AMtan30=6 = (米米).CD=CM+MD= +1.5(米米)，CMAMM例例2題解圖題解圖332 32 3在在RtCED中，中，sin60= ， = .CE= =4+ (米米).答：拉線答：拉線CE的長為（的長為（4+ ）米）米.CDCE322 31.5CE 4 333 33 【方法指導方法指導】1. 解決銳角三角函數的實際解決銳角三角函數的實際應用問題，有圖的要先將題干中的已知量在圖應用問題，有圖的要先將題干中的已知量在圖中表示出來，再根據以下方法和步驟解決：中表示出來，再根據以下方法和步驟解決：（1）根據題目中的已知條件，將實際問題抽）根據題目中的已知條件，將實際問題抽象為解直角三角形的數學問題，畫出平面幾何象為解直角三角形的數學問題，畫出平面幾何圖形，弄清已知條件中各量之間的關系；（圖形，弄清已知條件中各量之間的關系；（2）若三角形是直角三角形，根據邊角關系進行計若三角形是直角三角形，根據邊角關系進行計算，若三角形不是直角三角形，可通過添加輔算，若三角形不是直角三角形，可通過添加輔助線構造直角三角形來解決助線構造直角三角形來解決.銳角三角函數的銳角三角函數的實際應用問題關鍵是要根據實際情況建立數學實際應用問題關鍵是要根據實際情況建立數學模型，正確畫出圖形找準三角形模型，正確畫出圖形找準三角形. 2. 解直角三角形的應用題最后的計算結果解直角三角形的應用題最后的計算結果常要取近似值，要注意題中精確度的要求，如常要取近似值，要注意題中精確度的要求，如1.372精確到精確到1是是1，精確到，精確到0.1是是1.4，精確到，精確到0.01是是1.37. 拓展題拓展題2（14山西山西）如圖，點）如圖，點A、B、C表示某旅游景區(qū)三個纜車站的位置，線段表示某旅游景區(qū)三個纜車站的位置，線段AB,BC表示連接纜車站的鋼纜，已知表示連接纜車站的鋼纜，已知A,B,C三三點在同一鉛直平面內，它們的海拔高度點在同一鉛直平面內，它們的海拔高度AA,BB,CC分別為分別為110米，米，310米，米，710米，鋼米，鋼纜纜AB的坡度的坡度i1=1 2，鋼纜，鋼纜BC的坡度的坡度i2=1 1，景區(qū)因改造纜車線路，需要從景區(qū)因改造纜車線路，需要從A到到C直線架設直線架設一條鋼纜，那么鋼纜一條鋼纜，那么鋼纜AC的長度是多少米？的長度是多少米？（注：坡度（注：坡度i是指坡面的鉛直高度與水平寬度是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比）的比）解解:如解圖，過點如解圖，過點A作作AECC于點于點E，交，交BB于點于點F，過點過點B作作BDCC于點于點D.則則AFB,BDC和和AEC都是直角三角形，四邊形都是直角三角形，四邊形AABF，BBCD和和BFED都是矩形都是矩形.BF=BB-FBBB-AA310-110200（米），（米），EDCD=CC-DCCC-BB710-310400（米）（米）.i1=1 2，i2=1 1，AF=2BF=400,BD=CD=400（米）（米）.又又FE=BD=400, DE=BF=200. AE=AF+FE=800（米）（米）,CECD+DE=600（米）（米）.在在RtAEC中，中，AC= = =1000（米）（米）.答：鋼纜答：鋼纜AC的長度為的長度為1000米米.22AECE 22800600 失分點失分點11 不能正確理解坡度不能正確理解坡度 如圖，為了緩解交通擁堵，方便行人，在如圖，為了緩解交通擁堵，方便行人，在某街道計劃修建一座橫斷面為梯形某街道計劃修建一座橫斷面為梯形ABCD的過的過街天橋，若天橋斜坡街天橋，若天橋斜坡AB的坡角的坡角BAD為為35，斜坡斜坡CD的坡度為的坡度為i=1 1.2(垂直高度垂直高度CE與水平寬度與水平寬度DE的比的比)，上底，上底BC=10 m,天橋高度天橋高度CE=5 m,求天橋下底求天橋下底AD的長度？（結果精確到的長度？（結果精確到0.1 m,參考數據：參考數據：sin350.57,cos350.82,tan350.70） 解解：過過B作作BFAD于點于點F，則四邊形，則四邊形BFEC是矩形，是矩形， BF=CE=5 m，EF=BC=10 m,.第一步第一步 在在RtABF中中,AFB=90,BAF=35, tanBAF= ,BFAFAF= 50.707.14（m）,.第二步第二步斜坡斜坡CD的坡度為的坡度為i=1 1.2， = ,ED= = 4.17（m）, .第三步第三步AD=AF+FE+ED=7.14+10+4.1721.3（m）,答：天轎下底答：天轎下底AD的長度約為的長度約為21.3 m.第四步第四步tan35BF EDCE11.21.2CE41.2 上述解法是從第上述解法是從第_步開始出現錯誤步開始出現錯誤的，應改為的，應改為_,此題最終的結果是此題最終的結果是_.三三 ,ED=1.2CE=1.256(m) 11.2CEED 23.1(m) 【解法提示解法提示】如解圖，過如解圖，過B作作BFAD于點于點F，則四邊形則四邊形BFEC是矩形，是矩形，BF=CE=5 m,EF=BC=10 m，在在RtABF中，中，AFB=90，BAF=35，tanBAF= ,AF= 50.707.14（m），），斜坡斜坡CD的坡度為的坡度為i=1 1.2， ,ED=1.2CE=1.256（m）.BFAFtan35BF 11.2CEED AD=AF+FE+ED7.14+10+623.1423.1（m）.答：天橋下底答：天橋下底AD的長度約為的長度約為23.1 m.F 【名師提醒名師提醒】對于涉及坡度的解直角三角對于涉及坡度的解直角三角形出錯原因是坡度定義混淆和主觀判斷坡度，形出錯原因是坡度定義混淆和主觀判斷坡度，解決此類問題應掌握坡度定義，坡度為垂直高解決此類問題應掌握坡度定義，坡度為垂直高度與水平寬度的比，坡度是坡角的正切值，而度與水平寬度的比，坡度是坡角的正切值，而非坡角的正弦值非坡角的正弦值. .