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專題一　規(guī)律探究問(wèn)題 1．按照一定規(guī)律排列的n個(gè)數(shù)：－2,4，－8,16，－32,64，…，若最后三個(gè)數(shù)的和為768，則n為(　B　) A．9 B．10 C．11 D．12 2．(xx煙臺(tái))如圖所示，下列圖形都是由相同的玫瑰花按照一定的規(guī)律擺成的，按此規(guī)律擺下去，第n個(gè)圖形中有120朵玫瑰花，則n的值為(　C　) A．28 B．29 C．30 D．31 3．(xx臨沂)一列自然數(shù)0,1,2,3，…，100.依次將該列數(shù)中的每一個(gè)數(shù)平方后除以100，得到一列新數(shù)．則下列結(jié)論正確的是(　D　) A．原數(shù)與對(duì)應(yīng)新數(shù)的差不可能等于零 B．原數(shù)與對(duì)應(yīng)新數(shù)的差，隨著原數(shù)的增大而增大 C．當(dāng)原數(shù)與對(duì)應(yīng)新數(shù)的差等于21時(shí)，原數(shù)等于30 D．當(dāng)原數(shù)取50時(shí)，原數(shù)與對(duì)應(yīng)新數(shù)的差最大 4．(改編題)小明在學(xué)習(xí)了利用圖象法來(lái)求一元二次方程的近似根的知識(shí)后進(jìn)行了嘗試：在直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y＝x2＋2x－10的圖象，由圖象可知，方程x2＋2x－10＝0有兩個(gè)根，一個(gè)在－5和－4之間，另一個(gè)在2和3之間．利用計(jì)算器進(jìn)行探索：由下表知，方程的一個(gè)近似根是(　C　) x －4.1 －4.2 －4.3 －4.4 y －1.39 －0.76 －0.11 0.56 A．－4.1 B．－4.2 C．－4.3 D．－4.4 5．用大小相等的小正方形按一定規(guī)律拼成下列圖形，則第n個(gè)圖形中小正方形的個(gè)數(shù)是(　C　) A．2n＋1 B．n2－1 C．n2＋2n D．5n－2 6．(原創(chuàng)題)在平面直角坐標(biāo)系中，孔明做走棋游戲．其走法是棋子從原點(diǎn)出發(fā)，第1步向右走1個(gè)單位，第2步向右走2個(gè)單位，第3步向上走1個(gè)單位，第4步向右走1個(gè)單位……依此類推，第n步的走法是：當(dāng)n能被3整除時(shí)，則向上走1個(gè)單位；當(dāng)n被3除，余數(shù)是1時(shí)，則向右走1個(gè)單位，當(dāng)n被3除，余數(shù)為2時(shí)，則向右走2個(gè)單位．當(dāng)他走完第100步時(shí)，棋子所處位置的坐標(biāo)是(　C　) A．(66,34) B．(67,33) C．(100,33) D．(99,34) 7．(xx婁底)設(shè)a1，a2，a3……是一列正整數(shù)，其中a1表示第一個(gè)數(shù)，a2表示第二個(gè)數(shù)，依此類推，an表示第n個(gè)數(shù)(n是正整數(shù))已知a1＝1,4an＝(an＋1－1)2－(an－1)2.則a2 018＝__4_035__. 8．(xx寧夏)如圖是各大小型號(hào)的紙張長(zhǎng)寬關(guān)系裁剪對(duì)比圖，可以看出紙張大小的變化規(guī)律：A0紙長(zhǎng)度方向?qū)φ垡话牒笞優(yōu)锳1紙；A1紙長(zhǎng)度方向?qū)φ垡话牒笞優(yōu)锳2紙；A2紙長(zhǎng)度方向?qū)φ垡话牒笞優(yōu)锳3紙；A3紙長(zhǎng)度方向?qū)φ垡话牒笞優(yōu)锳4紙……A4規(guī)格的紙是我們?nèi)粘Ｉ钪凶畛Ｒ?jiàn)的，那么由一張A4的紙可以裁__16__張A8的紙． 9．(原創(chuàng)題)按一定規(guī)律排成的一列數(shù)1，－3,9，－27,81，－243，…，第n個(gè)數(shù)可以表示成__(－3)n－1__. 10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l：y＝x＋2交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)A1，點(diǎn)A2，A3，…在直線l上，點(diǎn)B1，B2，B3，…在x軸的正半軸上，若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…，依次均為等腰直角三角形，直角頂點(diǎn)都在x軸上，則第n個(gè)等腰直角三角形AnBn－1Bn頂點(diǎn)Bn的橫坐標(biāo)為_(kāi)_2n＋1－2__. 11．(xx河北)如圖，階梯圖的每個(gè)臺(tái)階上都標(biāo)著一個(gè)數(shù)，從下到上的第1個(gè)至第4個(gè)臺(tái)階上依次標(biāo)著－5，－2,1,9，且任意相鄰四個(gè)臺(tái)階上數(shù)的和都相等． 嘗試　(1)求前4個(gè)臺(tái)階上數(shù)的和是多少？ (2)求第5個(gè)臺(tái)階上的數(shù)x是多少？ 應(yīng)用　求從下到上前31個(gè)臺(tái)階上的數(shù)的和． 發(fā)現(xiàn)　試用含k(k為正整數(shù))的式子表示出數(shù)“1”所在的臺(tái)階數(shù)． 解：(1)前4個(gè)臺(tái)階上數(shù)的和為－5－2＋1＋9＝3； (2)由題得－2＋1＋9＋x＝3.解得x＝－5.應(yīng)用　∵每4個(gè)數(shù)的和為3，∴前31個(gè)數(shù)的和為73＋(－5－2＋1)＝15，發(fā)現(xiàn)　∵“1”出現(xiàn)在每組4個(gè)數(shù)的第3個(gè)，也就是第3，第7，第11等．且3＝41－1,7＝42－1,11＝43－1…∴“1”出現(xiàn)的臺(tái)階數(shù)為4k－1. 12．在平面直角坐標(biāo)系中，一螞蟻從原點(diǎn)O出發(fā)，按向上、向右、向下、向右的方向依次不斷移動(dòng)，每次移動(dòng)1個(gè)單位，其行走路線如圖所示． (1)填寫下列各點(diǎn)的坐標(biāo)：A4________，A8________； (2)寫出點(diǎn)A4n的坐標(biāo)(n為正整數(shù))__________； (3)螞蟻從點(diǎn)A2 018到點(diǎn)A2 019的移動(dòng)方向________． 解：(1)由圖可知，A4，A8，A12都在x軸上，∵小螞蟻每次移動(dòng)1個(gè)單位，∴OA4＝2，OA8＝4，∴A4(2,0)，A8(4,0)； (2)根據(jù)(1)OA4n＝4n2＝2n，∴點(diǎn)A4n的坐標(biāo)(2n,0)；(3)∵2 0184＝503…2，∴xx除以4余數(shù)為2，∴從點(diǎn)A2 018到點(diǎn)A2 019的移動(dòng)方向與從點(diǎn)A2到A3的方向一致為：向下． 13．有一列按一定順序和規(guī)律排列的數(shù)： 第1個(gè)數(shù)是；第2個(gè)數(shù)是；第3個(gè)數(shù)是；對(duì)任何正整數(shù)n，第n個(gè)數(shù)與第(n＋1)個(gè)數(shù)的和等于. (1)經(jīng)過(guò)探究，我們發(fā)現(xiàn)：＝－；＝－；＝－；設(shè)這列數(shù)的第5個(gè)數(shù)為a，那么a＞－，a＝－，a＜－，哪個(gè)正確？請(qǐng)你直接寫出正確的結(jié)論； (2)請(qǐng)你觀察第1個(gè)數(shù)、第2個(gè)數(shù)、第3個(gè)數(shù)，猜想這列數(shù)的第n個(gè)數(shù)(即用正整數(shù)n表示第n個(gè)數(shù))，并且證明你的猜想滿足“第n個(gè)數(shù)與第(n＋1)個(gè)數(shù)的和等于”； (3)設(shè)M表示，，，…，這2 017個(gè)數(shù)的和，即M＝＋＋＋…＋. 求證：＜M＜. (1)解：a＝－是正確的； (2)解：這列數(shù)的第n個(gè)數(shù)為.證明：∵這列數(shù)的第n個(gè)數(shù)為.∴這列數(shù)的第(n＋1)個(gè)數(shù)為.∵＝－.＝－.∴＋＝－＋－＝－＝.∴第n個(gè)數(shù)與第(n＋1)個(gè)數(shù)的和等于； (3)證明：∵n2＜n2＋n＝n(n＋1)，即n(n＋1)＞n2 (n為正整數(shù))，∴＜，∴＋＋＋…＋＜＋＋＋…＋，－＋－＋－＋…＋－＜＋＋＋…＋，－＜＋＋＋…＋，即＜M；同理n2＞n2－n＝n(n－1)，即n2＞n(n－1)(n為大于1正整數(shù))．∴＜，∴＋＋…＋＜＋＋＋…＋，＋＋＋…＋＜＋＋＋＋…＋，M＜＋－＋－＋－＋…＋－，M＜＋－.即M＜，∴＜M＜. 14．有這樣一個(gè)問(wèn)題：探究函數(shù)y＝的圖象與性質(zhì)．小懷根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)函數(shù)y＝的圖象與性質(zhì)進(jìn)行了探究．下面是小懷的探究過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完成： (1)函數(shù)y＝的自變量x的取值范圍是__________________________________； (2)列出y與x的幾組對(duì)應(yīng)值．請(qǐng)直接寫出m的值，m＝________； (3)請(qǐng)?jiān)谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系xOy中，描出以上表中各對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，并畫出該函數(shù)的圖象； (4)結(jié)合函數(shù)的圖象，寫出函數(shù)y＝的一條性質(zhì). x … －5 －4 －3 －2 － － 0 1 2 m 4 5 … y … 2 3 －1 0 … 解：(1)∵x＋1≠0，∴x≠－1. (2)當(dāng)y＝＝時(shí)，x＝3. (3)描點(diǎn)、連線畫出圖象如圖所示． (4)觀察函數(shù)圖象，發(fā)現(xiàn)：函數(shù)y＝，在x＜－1和x＞－1上均單調(diào)遞增．