2.3　圓周運(yùn)動的案例分析 [學(xué)習(xí)目標(biāo)] 1.通過向心力的實(shí)例分析，體會勻速圓周運(yùn)動在生活、生產(chǎn)中的應(yīng)用.2.能應(yīng)用向心力和向心加速度公式分析過山車問題和火車轉(zhuǎn)彎問題.3.熟練掌握應(yīng)用牛頓第二定律和向心力知識分析兩類豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動模型的步驟和方法． 一、過山車 1．向心力：過山車到達(dá)軌道的頂部時(shí)，人與車作為一個(gè)整體，所受到的向心力是重力跟軌道對車的彈力的合力，方向向下． 2．臨界速度：當(dāng)軌道對車的彈力為零時(shí)，過山車通過圓形軌道頂部時(shí)的速度．此時(shí)m＝mg，得v臨界＝. (1)v＝v臨界時(shí)，重力恰好等于過山車做圓周運(yùn)動的向心力，車不會脫離軌道． (2)v<v臨界時(shí)，所需的向心力小于車所受的重力，過山車有向下脫離軌道的趨勢． (3)v>v臨界時(shí)，彈力和重力的合力提供向心力，車子不會掉下來． 二、運(yùn)動物體的轉(zhuǎn)彎問題 1．自行車在水平路面轉(zhuǎn)彎，地面對車的作用力與重力的合力提供轉(zhuǎn)彎所需的向心力． 2．汽車在水平路面轉(zhuǎn)彎，所受靜摩擦力提供轉(zhuǎn)彎所需的向心力． 3．火車轉(zhuǎn)彎時(shí)外軌高于內(nèi)軌，如圖1所示，向心力由支持力和重力的合力提供． 圖1 [即學(xué)即用] 1．判斷下列說法的正誤． (1)汽車在水平路面上正常轉(zhuǎn)彎時(shí)所需要的向心力是滑動摩擦力提供的．() (2)火車轉(zhuǎn)彎時(shí)，內(nèi)、外軌道一樣高．() (3)若鐵路彎道的內(nèi)、外軌一樣高，火車通過彎道時(shí)向心力的來源是外軌的水平彈力，所以外軌容易磨損．(√) (4)汽車行駛至凸形橋頂部時(shí)，對橋面的壓力等于車重．() (5)汽車行駛至凹形橋底部時(shí)，對橋面的壓力大于車重．(√) (6)繞地球做勻速圓周運(yùn)動的航天器中的宇航員處于完全失重狀態(tài)，故不再具有重力．() 2．飛機(jī)由俯沖轉(zhuǎn)為拉起的一段軌跡可看成一段圓弧，如圖2所示，飛機(jī)做俯沖拉起運(yùn)動時(shí)，在最低點(diǎn)附近做半徑為r＝180 m的圓周運(yùn)動，如果飛行員質(zhì)量m＝70 kg，飛機(jī)經(jīng)過最低點(diǎn)P時(shí)的速度v＝360 km/h，則這時(shí)飛行員對座椅的壓力大小約為________．(g取10 m/s2) 圖2 答案　4 589 N 解析　飛機(jī)經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)，v＝360 km/h＝100 m/s. 對飛行員進(jìn)行受力分析，飛行員在豎直面內(nèi)共受到重力G和座椅的支持力N兩個(gè)力的作用，根據(jù)牛頓第二定律得N－mg＝m，所以N＝mg＋m＝7010 N＋70 N≈4 589 N，由牛頓第三定律得，飛行員對座椅的壓力為4 589 N. 一、分析游樂場中的圓周運(yùn)動 [導(dǎo)學(xué)探究]　如圖3所示，過山車能從高高的圓形軌道頂部轟然而過，車卻不掉下來，這是為什么呢？是因?yàn)檫^山車的車輪鑲嵌在軌道的槽內(nèi)、人被安全帶固定的原因嗎？ 圖3 答案　當(dāng)過山車在最高點(diǎn)的速度大于時(shí)，重力和軌道對車向下的彈力提供向心力，所以車不會掉下來，與其它因素?zé)o關(guān)． [知識深化]　豎直平面內(nèi)“繩桿模型”的臨界問題 1．輕繩模型(如圖4所示) 圖4 (1)繩(內(nèi)軌道)施力特點(diǎn)：只能施加向下的拉力(或壓力)． (2)在最高點(diǎn)的動力學(xué)方程T＋mg＝m. (3)在最高點(diǎn)的臨界條件T＝0，此時(shí)mg＝m，則v＝. ①v＝時(shí)，拉力或壓力為零． ②v>時(shí)，小球受向下的拉力或壓力． ③v<時(shí)，小球不能到達(dá)最高點(diǎn)． 即輕繩的臨界速度為v臨界＝. 2．輕桿模型(如圖5所示) 圖5 (1)桿(雙軌道)施力特點(diǎn)：既能施加向下的拉力(或壓力)，也能施加向上的支持力． (2)在最高點(diǎn)的動力學(xué)方程 當(dāng)v＞時(shí)，N＋mg＝m，桿對球有向下的拉力，且隨v增大而增大． 當(dāng)v＝時(shí)，mg＝m，桿對球無作用力． 當(dāng)v＜時(shí)，mg－N＝m，桿對球有向上的支持力． 當(dāng)v＝0時(shí)，mg＝N，球恰好能到達(dá)最高點(diǎn)． (3)輕桿的臨界速度為v臨界＝0. 例1　公園里的過山車駛過最高點(diǎn)時(shí)，乘客在座椅里面頭朝下．若軌道半徑為R，人的質(zhì)量為m，重力加速度為g. (1)若過山車安全通過最高點(diǎn)，必須至少具備多大的速度？ (2)若過最高點(diǎn)時(shí)人對座椅的壓力為2mg，則過山車在最高點(diǎn)時(shí)的速度是多大？ 答案　(1)　(2) 解析　(1)人恰好通過最高點(diǎn)時(shí)，座椅對人的壓力為零，只有重力提供向心力．根據(jù)牛頓第二定律，mg＝m 得：v1＝，即為安全通過最高點(diǎn)的最小速度 (2)若人對座椅的壓力N′＝2mg，在最高點(diǎn)人受座椅向下的彈力和重力，兩個(gè)力的合力提供向心力，有：mg＋N＝m 由牛頓第三定律得N＝N′＝2mg 得：v2＝ 例2　如圖6所示，質(zhì)量為m的小球固定在長為l的細(xì)輕桿的一端，繞輕桿的另一端O在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動．球轉(zhuǎn)到最高點(diǎn)時(shí)，線速度的大小為，此時(shí)(　　) 圖6 A．桿受到mg的拉力 B．桿受到mg的壓力 C．桿受到mg的拉力 D．桿受到mg的壓力 答案　B 解析　以小球?yàn)檠芯繉ο螅∏蚴苤亓蜅U的彈力，設(shè)小球所受彈力方向豎直向下，則N＋mg＝，將v＝代入上式得N＝－mg，即小球在A點(diǎn)受桿的彈力方向向上，大小為mg，由牛頓第三定律知桿受到mg的壓力． 二、研究運(yùn)動物體轉(zhuǎn)彎時(shí)的向心力 [導(dǎo)學(xué)探究]　設(shè)火車轉(zhuǎn)彎時(shí)的運(yùn)動為勻速圓周運(yùn)動． (1)如果鐵路彎道的內(nèi)、外軌一樣高，火車在轉(zhuǎn)彎時(shí)的向心力由什么力提供？會導(dǎo)致怎樣的后果？ (2)實(shí)際上在鐵路的彎道處外軌略高于內(nèi)軌，試從向心力的來源分析這樣做有怎樣的優(yōu)點(diǎn)． (3)當(dāng)軌道平面與水平面之間的夾角為α，轉(zhuǎn)彎半徑為R時(shí)，火車行駛速度多大軌道才不受擠壓？ (4)當(dāng)火車行駛速度v>v0＝時(shí)，輪緣受哪個(gè)軌道的壓力？當(dāng)火車行駛速度v<v0＝時(shí)呢？ 答案　(1)如果鐵路彎道的內(nèi)、外軌一樣高，火車在豎直方向所受重力與支持力平衡，其向心力由外側(cè)車輪的輪緣擠壓外軌，使外軌發(fā)生彈性形變，對輪緣產(chǎn)生的彈力來提供(如圖甲)；由于火車的質(zhì)量太大，輪緣與外軌間的相互作用力太大，會使鐵軌和車輪極易受損． (2)如果彎道處外軌略高于內(nèi)軌，火車在轉(zhuǎn)彎時(shí)鐵軌對火車的支持力N的方向不再是豎直的，而是斜向彎道的內(nèi)側(cè)，它與重力G的合力指向圓心，為火車轉(zhuǎn)彎提供一部分向心力(如圖乙)，從而減輕輪緣與外軌的擠壓． (3)火車受力如圖丙所示， 則F＝mgtan α＝，所以v＝. (4)當(dāng)火車行駛速度v>v0＝時(shí)，重力和支持力的合力提供的向心力不足，此時(shí)外側(cè)軌道對輪緣有向里的側(cè)向壓力；當(dāng)火車行駛速度v<v0＝時(shí)，重力和支持力的合力提供的向心力過大，此時(shí)內(nèi)側(cè)軌道對輪緣有向外的側(cè)向壓力． [知識深化] 1．自行車在轉(zhuǎn)彎處，地面對自行車的作用力與重力的合力提供向心力．其表達(dá)式為mgtan θ＝m，即tan θ＝.自行車傾斜的角度與自行車的速度和轉(zhuǎn)彎半徑有關(guān)． 2．汽車在水平路面上轉(zhuǎn)彎時(shí)，地面的靜摩擦力提供向心力，其表達(dá)式為f＝m.由于地面的靜摩擦力不能大于最大靜摩擦力，因此汽車在轉(zhuǎn)彎處的速度不能大于. 3．火車轉(zhuǎn)彎 (1)向心力來源：在鐵路的彎道處，外軌高于內(nèi)軌，火車在此處依據(jù)規(guī)定的速度行駛，轉(zhuǎn)彎時(shí)，向心力幾乎完全由重力G和支持力N的合力提供，如圖7所示，即F＝mgtan θ. 圖7 (2)規(guī)定速度：若火車轉(zhuǎn)彎時(shí)，火車輪緣不受軌道側(cè)壓力，則mgtan θ＝，故v0＝，其中R為彎道半徑，θ為軌道所在平面與水平面的夾角，v0為彎道規(guī)定的速度． ①當(dāng)v＝v0時(shí)，F(xiàn)向＝F，即轉(zhuǎn)彎時(shí)所需向心力等于支持力和重力的合力，這時(shí)內(nèi)、外軌均無側(cè)壓力，這就是設(shè)計(jì)的限速狀態(tài)． ②當(dāng)v>v0時(shí)，F(xiàn)向>F，即所需向心力大于支持力和重力的合力，這時(shí)外軌對車輪有側(cè)壓力，以彌補(bǔ)向心力不足的部分． ③當(dāng)v<v0時(shí)，F(xiàn)向<F，即所需向心力小于支持力和重力的合力，這時(shí)內(nèi)軌對車輪有側(cè)壓力，以抵消向心力過大的部分． 說明：火車轉(zhuǎn)彎時(shí)受力情況和運(yùn)動特點(diǎn)與圓錐擺類似． 例3　鐵路在彎道處的內(nèi)、外軌道高度是不同的，已知內(nèi)、外軌道所在平面與水平面的夾角為θ，如圖8所示，彎道處的圓弧半徑為R，若質(zhì)量為m的火車轉(zhuǎn)彎時(shí)速度等于，則(　　) 圖8 A．內(nèi)軌對內(nèi)側(cè)車輪輪緣有擠壓 B．外軌對外側(cè)車輪輪緣有擠壓 C．這時(shí)鐵軌對火車的支持力等于 D．這時(shí)鐵軌對火車的支持力大于 答案　C 解析　由牛頓第二定律F合＝m，解得F合＝mgtan θ，此時(shí)火車受重力和鐵路軌道的支持力作用，如圖所示，Ncos θ＝mg，則N＝，內(nèi)、外軌道對火車均無側(cè)壓力，故C正確，A、B、D錯(cuò)誤． 例4　(多選)公路急轉(zhuǎn)彎處通常是交通事故多發(fā)地帶．如圖9，某公路急轉(zhuǎn)彎處是一圓弧，當(dāng)汽車行駛的速率為v0時(shí)，汽車恰好沒有向公路內(nèi)、外兩側(cè)滑動的趨勢．則在該彎道處(　　) 圖9 A．路面外側(cè)高、內(nèi)側(cè)低 B．車速只要低于v0，車輛便會向內(nèi)側(cè)滑動 C．車速雖然高于v0，但只要不超出某一最高限度，車輛便不會向外側(cè)滑動 D．當(dāng)路面結(jié)冰時(shí)，與未結(jié)冰時(shí)相比，v0的值變小 答案　AC 解析　當(dāng)汽車行駛的速率為v0時(shí)，汽車恰好沒有向公路內(nèi)、外兩側(cè)滑動的趨勢，即不受靜摩擦力，此時(shí)由重力和支持力的合力提供向心力，所以路面外側(cè)高、內(nèi)側(cè)低，選項(xiàng)A正確；當(dāng)車速低于v0時(shí)，需要的向心力小于重力和支持力的合力，汽車有向內(nèi)側(cè)運(yùn)動的趨勢，受到的靜摩擦力向外側(cè)，并不一定會向內(nèi)側(cè)滑動，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；當(dāng)車速高于v0時(shí)，需要的向心力大于重力和支持力的合力，汽車有向外側(cè)運(yùn)動的趨勢，靜摩擦力向內(nèi)側(cè)，速度越大，靜摩擦力越大，只有靜摩擦力達(dá)到最大以后，車輛才會向外側(cè)滑動，選項(xiàng)C正確；由mgtan θ＝m可知，v0的值只與路面與水平面的夾角和彎道的半徑有關(guān)，與路面的粗糙程度無關(guān)，選項(xiàng)D錯(cuò)誤． 火車轉(zhuǎn)彎的(或高速公路上汽車轉(zhuǎn)彎的)圓軌道是水平軌道，所以合力的方向水平指向圓心.解決此類問題的關(guān)鍵是分析清楚向心力的來源. 1．(輕桿模型) (多選)如圖10所示，細(xì)桿的一端與小球相連，可繞過O點(diǎn)的水平軸自由轉(zhuǎn)動，細(xì)桿長0.5 m，小球質(zhì)量為3 kg，現(xiàn)給小球一初速度使它做圓周運(yùn)動，若小球通過軌道最低點(diǎn)a的速度為va＝4 m/s，通過軌道最高點(diǎn)b的速度為vb＝2 m/s，取g＝10 m/s2，則小球通過最低點(diǎn)和最高點(diǎn)時(shí)對細(xì)桿作用力的情況是(　　) 圖10 A．在a處為拉力，方向豎直向下，大小為126 N B．在a處為壓力，方向豎直向上，大小為126 N C．在b處為拉力，方向豎直向上，大小為6 N D．在b處為壓力，方向豎直向下，大小為6 N 答案　AD 解析　在a點(diǎn)設(shè)細(xì)桿對球的作用力為Fa，則有Fa－mg＝，所以Fa＝mg＋＝(30＋) N＝126 N，由牛頓第三定律得，小球?qū)?xì)桿的拉力為126 N，方向豎直向下，A正確，B錯(cuò)誤．在b點(diǎn)設(shè)細(xì)桿對球的作用力向上，大小為Fb，則有mg－Fb＝，所以Fb＝mg－＝30 N－ N＝6 N，由牛頓第三定律得，小球?qū)?xì)桿為壓力，方向豎直向下，大小為6 N，C錯(cuò)誤，D正確． 2．(運(yùn)動物體轉(zhuǎn)彎問題)(多選)全國鐵路大面積提速，給人們的生活帶來便利．火車轉(zhuǎn)彎可以看成是在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動，火車速度提高會使外軌受損．為解決火車高速轉(zhuǎn)彎時(shí)外軌受損這一難題，以下措施可行的是(　　) A．適當(dāng)減小內(nèi)、外軌的高度差 B．適當(dāng)增加內(nèi)、外軌的高度差 C．適當(dāng)減小彎道半徑 D．適當(dāng)增大彎道半徑 答案　BD 解析　設(shè)火車軌道平面的傾角為α?xí)r，火車轉(zhuǎn)彎時(shí)內(nèi)、外軌均不受損，根據(jù)牛頓第二定律有mgtan α＝m，解得v＝，所以，為解決火車高速轉(zhuǎn)彎時(shí)外軌受損這一難題，可行的措施是適當(dāng)增大傾角α(即適當(dāng)增加內(nèi)、外軌的高度差)和適當(dāng)增大彎道半徑r. 【考點(diǎn)】交通工具的轉(zhuǎn)彎問題 【題點(diǎn)】傾斜面內(nèi)的轉(zhuǎn)彎問題 3．(運(yùn)動物體轉(zhuǎn)彎問題)汽車在水平地面上轉(zhuǎn)彎時(shí)，地面的摩擦力已達(dá)到最大，當(dāng)汽車速率增為原來的2倍時(shí)，若要不發(fā)生險(xiǎn)情，則汽車轉(zhuǎn)彎的軌道半徑必須(　　) A．減為原來的 B．減為原來的 C．增為原來的2倍 D．增為原來的4倍 答案　D 解析　汽車在水平地面上轉(zhuǎn)彎，向心力由靜摩擦力提供．設(shè)汽車質(zhì)量為m，汽車與地面的動摩擦因數(shù)為μ，汽車的轉(zhuǎn)彎半徑為r，則μmg＝m，故r∝v2，故速率增大到原來的2倍時(shí)，轉(zhuǎn)彎半徑增大到原來的4倍，D正確． 4．(輕繩模型)一細(xì)繩與水桶相連，水桶中裝有水，水桶與細(xì)繩一起在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動，如圖11所示，水的質(zhì)量m＝0.5 kg，水的重心到轉(zhuǎn)軸的距離l＝50 cm.(g取10 m/s2) 圖11 (1)若在最高點(diǎn)水不流出來，求桶的最小速率；(結(jié)果保留三位有效數(shù)字) (2)若在最高點(diǎn)水桶的速率v＝3 m/s，求水對桶底的壓力大小． 答案　(1)2.24 m/s　(2)4 N 解析　(1)以水桶中的水為研究對象，在最高點(diǎn)恰好不流出來，說明水的重力恰好提供其做圓周運(yùn)動所需的向心力，此時(shí)桶的速率最小． 此時(shí)有：mg＝m， 則所求的最小速率為：v0＝≈2.24 m/s. (2)此時(shí)桶底對水有一向下的壓力，設(shè)為N，則由牛頓第二定律有：N＋mg＝m， 代入數(shù)據(jù)可得：N＝4 N. 由牛頓第三定律，水對桶底的壓力大?。篘′＝4 N. 【考點(diǎn)】豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動分析 【題點(diǎn)】豎直面內(nèi)的“繩”模型 一、選擇題 考點(diǎn)一　輕繩模型 1．長為L的細(xì)繩，一端系一質(zhì)量為m的小球，另一端固定于某點(diǎn)，當(dāng)繩豎直時(shí)小球靜止，再給小球一水平初速度v0，使小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動，并且剛好能過最高點(diǎn)．則下列說法中正確的是(　　) A．小球過最高點(diǎn)時(shí)速度為零 B．小球過最高點(diǎn)時(shí)速度大小為 C．小球開始運(yùn)動時(shí)繩對小球的拉力為m D．小球過最高點(diǎn)時(shí)繩對小球的拉力為mg 答案　B 【考點(diǎn)】豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動分析 【題點(diǎn)】豎直面內(nèi)的“繩”模型 2.如圖1所示，某公園里的過山車駛過軌道的最高點(diǎn)時(shí)，乘客在座椅里面頭朝下，人體顛倒，若軌道半徑為R，人體重為mg，要使乘客經(jīng)過軌道最高點(diǎn)時(shí)對座椅的壓力等于自身的重力，則過山車在最高點(diǎn)時(shí)的速度大小為(　　) 圖1 A．0 B. C. D. 答案　C 解析　由題意知F＋mg＝2mg＝m，故速度大小v＝，C正確． 【考點(diǎn)】豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動分析 【題點(diǎn)】豎直面內(nèi)的“繩”模型 3．某飛行員的質(zhì)量為m，駕駛飛機(jī)在豎直面內(nèi)以速度v做勻速圓周運(yùn)動，圓的半徑為R，在圓周最低點(diǎn)飛行員對座椅的壓力比在圓周最高點(diǎn)大(設(shè)飛行員始終垂直于座椅的表面)(　　) A．mg B．2mg C．mg＋ D．2 答案　B 解析　在最高點(diǎn)有：F1＋mg＝m，解得：F1＝m－mg；在最低點(diǎn)有：F2－mg＝m，解得：F2＝mg＋m.由牛頓第三定律得F2′－F1′＝2mg，B正確． 【考點(diǎn)】豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動分析 【題點(diǎn)】豎直面內(nèi)的“繩”模型 4．在游樂園乘坐如圖2所示的過山車時(shí)，質(zhì)量為m的人隨車在豎直平面內(nèi)沿圓周軌道運(yùn)動，下列說法正確的是(　　) 圖2 A．車在最高點(diǎn)時(shí)人處于倒坐狀態(tài)，全靠保險(xiǎn)帶拉住，若沒有保險(xiǎn)帶，人一定會掉下去 B．人在最高點(diǎn)時(shí)對座位仍可能產(chǎn)生壓力，但壓力一定小于mg C．人在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)時(shí)的向心加速度大小相等 D．人在最低點(diǎn)時(shí)對座位的壓力大于mg 答案　D 解析　過山車上人經(jīng)最高點(diǎn)及最低點(diǎn)時(shí)，受力如圖， 在最高點(diǎn)，由mg＋N＝m，可得：N＝m(－g)① 在最低點(diǎn)，由N′－mg＝m，可得：N′＝m(＋g)② 由支持力(由牛頓第三定律知，支持力大小等于壓力大小)表達(dá)式分析知：當(dāng)v1較大時(shí)，在最高點(diǎn)無保險(xiǎn)帶人也不會掉下，且還可能會對座位有壓力，大小因v1而定，所以A、B錯(cuò)誤．最高點(diǎn)、最低點(diǎn)兩處向心力大小不等，向心加速度大小也不等，所以C錯(cuò)誤．由②式知最低點(diǎn)N′>mg，根據(jù)牛頓第三定律得，D正確． 【考點(diǎn)】豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動分析 【題點(diǎn)】豎直面內(nèi)的“繩”模型 考點(diǎn)二　輕桿模型 5．(多選)如圖3所示，小球m在豎直放置的光滑圓形管道內(nèi)做圓周運(yùn)動，下列說法正確的是(　　) 圖3 A．小球通過最高點(diǎn)時(shí)的最小速度是 B．小球通過最高點(diǎn)時(shí)的最小速度為零 C．小球在水平線ab以下的管道中運(yùn)動時(shí)外側(cè)管壁對小球一定無作用力 D．小球在水平線ab以下的管道中運(yùn)動時(shí)外側(cè)管壁對小球一定有作用力 答案　BD 解析　小球通過最高點(diǎn)的最小速度為0，圓形管外側(cè)、內(nèi)側(cè)都可以對小球提供彈力，小球在水平線ab以下時(shí)，必須有指向圓心的力提供向心力，就是外側(cè)管壁對小球的作用力，故B、D正確． 6．長度為1 m的輕桿OA的A端有一質(zhì)量為2 kg的小球，以O(shè)點(diǎn)為圓心，在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動，如圖4所示，小球通過最高點(diǎn)時(shí)的速度為3 m/s，g取10 m/s2，則此時(shí)小球?qū)?　　) 圖4 A．受到18 N的拉力 B．受到38 N的支持力 C．受到2 N的拉力 D．受到2 N的支持力 答案　D 解析　設(shè)此時(shí)輕桿對小球的向下的拉力為F，根據(jù)向心力公式有F＋mg＝m，代入數(shù)值可得F＝－2 N，表示小球受到2 N向上的支持力，選項(xiàng)D正確． 7．如圖5所示，質(zhì)量為m的小球置于正方體的光滑盒子中，盒子的邊長略大于球的直徑．某同學(xué)拿著該盒子在豎直平面內(nèi)做半徑為R的勻速圓周運(yùn)動，已知重力加速度為g，空氣阻力不計(jì)，則(　　) 圖5 A．若盒子在最高點(diǎn)時(shí)，盒子與小球之間恰好無作用力，則該盒子做勻速圓周運(yùn)動的周期為2π B．若盒子以周期π做勻速圓周運(yùn)動，則當(dāng)盒子運(yùn)動到圖示球心與O點(diǎn)位于同一水平面位置時(shí)，小球?qū)凶幼髠?cè)面的力為4mg C．若盒子以角速度2做勻速圓周運(yùn)動，則當(dāng)盒子運(yùn)動到最高點(diǎn)時(shí)，小球?qū)凶酉旅娴牧?mg D．盒子從最低點(diǎn)向最高點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動的過程中，球處于超重狀態(tài)；當(dāng)盒子從最高點(diǎn)向最低點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動的過程中，球處于失重狀態(tài) 答案　A 解析　由mg＝mR可得，盒子運(yùn)動周期T＝2π，A正確．由N1＝mR，T1＝π，得N1＝4mg，由牛頓第三定律可知，小球?qū)凶佑覀?cè)面的力為4mg，B錯(cuò)誤．由N2＋mg＝mω2R得，小球以ω＝2做勻速圓周運(yùn)動時(shí)，在最高點(diǎn)小球?qū)凶由厦娴牧?mg，C錯(cuò)誤．盒子由最低點(diǎn)向最高點(diǎn)運(yùn)動的過程中，小球的加速度先斜向上，后斜向下，故小球先超重后失重，D錯(cuò)誤． 【考點(diǎn)】豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動分析 【題點(diǎn)】豎直面內(nèi)的“桿”模型 考點(diǎn)三　運(yùn)動物體轉(zhuǎn)彎問題 8.如圖6所示，質(zhì)量相等的汽車甲和汽車乙，以相等的速率沿同一水平彎道做勻速圓周運(yùn)動，汽車甲在汽車乙的外側(cè)．兩車沿半徑方向受到的摩擦力分別為f甲和f乙．以下說法正確的是(　　) 圖6 A．f甲小于f乙 B．f甲等于f乙 C．f甲大于f乙 D．f甲和f乙的大小均與汽車速率無關(guān) 答案　A 解析　汽車在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動，摩擦力提供做勻速圓周運(yùn)動的向心力，即f＝F向心＝m，由于r甲＞r乙，則f甲＜f乙，A正確． 9．?dāng)[式列車是集電腦、自動控制等高新技術(shù)于一體的新型高速列車，如圖7所示．當(dāng)列車轉(zhuǎn)彎時(shí)，在電腦控制下，車廂會自動傾斜；行駛在直軌上時(shí)，車廂又恢復(fù)原狀，就像玩具“不倒翁”一樣．假設(shè)有一擺式列車在水平面內(nèi)行駛，以360 km/h的速度轉(zhuǎn)彎，轉(zhuǎn)彎半徑為1 km，則質(zhì)量為50 kg的乘客，在轉(zhuǎn)彎過程中所受到的火車給他的作用力為(g取10 m/s2)(　　) 圖7 A．500 N B．1 000 N C．500 N D．0 答案　C 解析　乘客所需的向心力F＝m＝500 N，而乘客的重力為500 N，故火車對乘客的作用力大小FN＝＝500 N，C正確． 【考點(diǎn)】交通工具的轉(zhuǎn)彎問題 【題點(diǎn)】傾斜面內(nèi)的轉(zhuǎn)彎問題 10．在高速公路的拐彎處，通常路面都是外高內(nèi)低．如圖8所示，在某路段汽車向左拐彎，司機(jī)左側(cè)的路面比右側(cè)的路面低一些．汽車的運(yùn)動可看做是半徑為R的圓周運(yùn)動．設(shè)內(nèi)、外路面高度差為h，路基的水平寬度為d，路面的寬度為L.已知重力加速度為g.要使車輪與路面之間的橫向(即垂直于前進(jìn)方向)摩擦力等于零，則汽車轉(zhuǎn)彎時(shí)的車速應(yīng)等于(　　) 圖8 A. B. C. D. 答案　B 解析　設(shè)路面的傾角為θ，根據(jù)牛頓第二定律得mgtan θ＝m，又由數(shù)學(xué)知識可知tan θ＝，聯(lián)立解得v＝，選項(xiàng)B正確． 二、非選擇題 11．(運(yùn)動物體轉(zhuǎn)彎問題)如圖9所示為汽車在水平路面做半徑為R的大轉(zhuǎn)彎的后視圖，懸吊在車頂?shù)臒糇笃甩冉?，則：(重力加速度為g) 圖9 (1)車正向左轉(zhuǎn)彎還是向右轉(zhuǎn)彎？ (2)車速是多少？ (3)若(2)中求出的速度正是汽車轉(zhuǎn)彎時(shí)不打滑允許的最大速度，則車輪與地面間的動摩擦因數(shù)μ是多少？ 答案　(1)向右轉(zhuǎn)彎 (2) (3)tan θ 解析　(1)向右轉(zhuǎn)彎 (2)對燈受力分析知mgtan θ＝m得v＝ (3)車剛好不打滑，有μMg＝M得μ＝tan θ. 12．(輕桿模型)質(zhì)量為0.2 kg的小球固定在長為0.9 m的輕桿一端，桿可繞過另一端O點(diǎn)的水平軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動．(g＝10 m/s2)求： (1)當(dāng)小球在最高點(diǎn)的速度為多大時(shí)，球?qū)U的作用力為零？ (2)當(dāng)小球在最高點(diǎn)的速度分別為6 m/s和1.5 m/s時(shí)，球?qū)U的作用力． 答案　(1)3 m/s　(2)6 N，方向豎直向上　1.5 N，方向豎直向下 解析　(1)當(dāng)小球在最高點(diǎn)對桿的作用力為零時(shí)，重力提供向心力，則mg＝m，解得v0＝3 m/s. (2)v1＞v0，由牛頓第二定律得：mg＋F1＝m，由牛頓第三定律得：F1′＝F1，解得F1′＝6 N，方向豎直向上． v2＜v0，由牛頓第二定律得：mg－F2＝m，由牛頓第三定律得：F2′＝F2，解得：F2′＝1.5 N，方向豎直向下．