4.1第3課時(shí)黃金分割一、選擇題1已知線段a，b，c，其中c是a和b的比例中項(xiàng)，a4，b9，則c等于()A4 B6 C9 D362在中華經(jīng)典美文閱讀中，小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)自己的一本書的寬與長(zhǎng)之比為黃金比已知這本書的長(zhǎng)為20 cm，則它的寬約為()A12.36 cm B13.6 cmC32.36 cm D7.64 cm3若b是a和c的比例中項(xiàng)，c是b和d的比例中項(xiàng)，則下列各式中不一定成立的是()A.B.C.D.4美是一種感覺(jué)，當(dāng)人體的下半身長(zhǎng)與身高的比值越接近0.618時(shí)越給人一種美感已知某女士身高160 cm，下半身長(zhǎng)與身高的比值是0.60，為盡可能達(dá)到好的效果，她應(yīng)穿的高跟鞋的高度約為()A6 cm B10 cm C4 cm D8 cm5已知C是線段AB上的一個(gè)點(diǎn)(ACBC)，有以下命題：若，則C是線段AB的黃金分割點(diǎn)；若，則C是線段AB的黃金分割點(diǎn)；若，則C是線段AB的黃金分割點(diǎn)；若AC2BCAB，則C是線段AB的黃金分割點(diǎn). 其中正確的有()A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)6已知P，Q是線段AB的兩個(gè)黃金分割點(diǎn)，且AB10，則PQ的長(zhǎng)為()A5( 1) B5( 1)C10( 2) D5(3)7寬與長(zhǎng)的比是(約0.618)的矩形叫做黃金矩形黃金矩形蘊(yùn)藏著豐富的美學(xué)價(jià)值，給我們以協(xié)調(diào)和勻稱的美感我們可以用這樣的方法畫出黃金矩形：如圖K291，作正方形ABCD，分別取AD，BC的中點(diǎn)E，F(xiàn)，連結(jié)EF；如圖，以點(diǎn)F為圓心，以FD為半徑畫弧，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G；作GHAD，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，則圖中下列矩形是黃金矩形的是()圖K291A矩形ABFEB矩形EFCDC矩形EFGHD矩形DCGH二、填空題8(1)實(shí)數(shù)2和18的比例中項(xiàng)是_；(2)已知線段a5 cm，b15 cm，則a與b的比例中項(xiàng)是_；(3)已知數(shù)3，6，請(qǐng)?jiān)賹懗鲆粋€(gè)數(shù)，使這三個(gè)數(shù)中的一個(gè)數(shù)是另外兩個(gè)數(shù)的比例中項(xiàng)，這個(gè)數(shù)是_(只需填寫一個(gè)數(shù))9已知C為線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AC>BC，則_，_.10據(jù)有關(guān)試驗(yàn)測(cè)定，當(dāng)氣溫處于人體正常體溫(37 )的黃金比值時(shí)，人體感到最舒適這個(gè)氣溫約為_(kāi)(精確到1 ).11如圖K292所示，已知P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且PAPB.若S1是以PA為邊的正方形的面積，S2表示長(zhǎng)是AB，寬是PB的矩形的面積，則S1_S2(填“”“”或“”)圖K292三、解答題12如圖K293，扇子的圓心角為x，余下的扇形的圓心角為y，x與y的比通常按黃金比來(lái)設(shè)計(jì)，這樣的扇子外形較美觀若取黃金比為0.6，求x的值(精確到1)圖K29313我們定義：頂角為36的等腰三角形稱為黃金三角形(底邊與腰的比值為黃金分割比)如圖K294，ABC，BDC，DEC都是黃金三角形已知AB1，求DE的長(zhǎng)圖K29414以長(zhǎng)為2的定線段AB為邊作正方形ABCD，取AB的中點(diǎn)P，連結(jié)PD，在BA的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)F，使PFPD，以AF為邊作正方形AMEF，點(diǎn)M在AD上，如圖K295所示(1)求AM，DM的長(zhǎng)；(2)求證：M是線段AD的黃金分割點(diǎn)圖K29515思維拓展如圖K296，點(diǎn)C將線段AB分成兩部分，如果，那么稱點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn)某研究小組在進(jìn)行課題學(xué)習(xí)時(shí)，由黃金分割點(diǎn)聯(lián)想到“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線”的定義：直線l將一個(gè)面積為S的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為S1，S2，如果，那么稱直線l為該圖形的黃金分割線(1)研究小組猜想：在ABC中，若點(diǎn)D為AB邊的黃金分割點(diǎn)(如圖)，則直線CD是ABC的黃金分割線你認(rèn)為對(duì)嗎？為什么？(2)請(qǐng)你說(shuō)明：三角形的中線是否也是該三角形的黃金分割線？(3)研究小組在進(jìn)一步探究中發(fā)現(xiàn)：過(guò)點(diǎn)C任作一條直線交AB于點(diǎn)E，再過(guò)點(diǎn)D作直線DFCE，交AC于點(diǎn)F，連結(jié)EF(如圖)，則直線EF也是ABC的黃金分割線請(qǐng)你說(shuō)明理由圖K2961答案B2解析 A設(shè)這本書的寬為x cm，則0.618，解得x12.36，故選A.3答案B4解析 D先求得下半身的實(shí)際高度，再根據(jù)黃金分割的定義求解根據(jù)已知條件得下半身長(zhǎng)是1600.696(cm)設(shè)需要穿的高跟鞋的高度是y cm，則根據(jù)黃金分割的定義，得0.618.解得y8.故選D.5答案D6解析 C由黃金分割的意義可得PQ1010( 2)7解析 D設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，則CD2，CF1.在RtDCF中，DF，F(xiàn)G，CG1，矩形DCGH為黃金矩形故選D.8答案 (1)6(2)5 cm(3)，12或3 (寫出一個(gè)即可)解析 (3)設(shè)這個(gè)數(shù)為x，則3，6或x都可能是比例中項(xiàng)，因此本題應(yīng)分三種情況討論設(shè)這個(gè)數(shù)為x，則326x或623x或x236，解得x或x12或x3 .9答案解析 因?yàn)镃是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AC>BC，所以.又因?yàn)锽CABAC，所以11.由黃金分割可知.10答案 23解析 用近似的黃金比值0.618直接與37相乘即可11答案 解析 根據(jù)黃金分割的定義得到PA2PBAB，再利用正方形和矩形的面積公式有S1PA2，S2PBAB，即可得到S1S2.P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且PAPB，PA2PBAB.又S1是以PA為邊的正方形的面積，S2表示長(zhǎng)是AB，寬是PB的矩形的面積，S1PA2，S2PBAB，S1S2.12解：x與y的比通常按黃金比來(lái)設(shè)計(jì)，xy0.6，yx.又xy360，xx360，解得x135.13解：ABC，BDC，DEC都是黃金三角形，AB1，ABAC，ADBDBC，DEBECD.設(shè)DEx，則CDBEx，ADBC1x.，ECBCBE1xx12x，解得x(x>1舍去)，DE的長(zhǎng)為.14解：(1)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，P是AB的中點(diǎn)，ABAD2，AP1，BAD90，PD，在正方形AMEF中，AMAF1，DMADAM3.(2)證明：由(1)，得ADDM2(3)62 .又AM2(1)262 .AM2ADDM，即M是線段AD的黃金分割點(diǎn)15解：(1)對(duì)理由如下：設(shè)ABC中邊AB上的高為h.則SADCADh，SBDCBDh，SABCABh，.又點(diǎn)D為AB邊的黃金分割點(diǎn)，直線CD是ABC的黃金分割線(2)三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分，此時(shí)S1S2S，即，三角形的中線不可能是該三角形的黃金分割線(3)DFCE，DEC和FCE的公共邊CE上的高相等，SDECSFCE.設(shè)直線EF與CD交于點(diǎn)G，SDGESFGC，SADCS四邊形AFGDSFGCS四邊形AFGDSDGESAEF，SBDCS四邊形BEFC.又，直線EF也是ABC的黃金分割線