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專題能力訓練9　三角函數的圖象與性質 一、能力突破訓練 1.為了得到函數y=sin2x-π3的圖象,只需把函數y=sin 2x的圖象上所有的點(　　) A.向左平行移動π3個單位長度 B.向右平行移動π3個單位長度 C.向左平行移動π6個單位長度 D.向右平行移動π6個單位長度 2.設θ∈R,則 “θ-π12<π12”是“sin θ<”的(　　) A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 3.若將函數y=2sin 2x的圖象向左平移π12個單位長度,則平移后圖象的對稱軸為(　　) A.x=kπ2-π6(k∈Z) B.x=kπ2+π6(k∈Z) C.x=kπ2-π12(k∈Z) D.x=kπ2+π12(k∈Z) 4.(2018全國Ⅱ,理10)若f(x)=cos x-sin x在[-a,a]是減函數,則a的最大值是(　　) A.π4 B.π2 C.3π4 D.π 5.函數f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的圖象關于直線x=π3對稱,若它的最小正周期為π,則函數f(x)的圖象的一個對稱中心是(　　) A.π3,1 B.π12,0 C.5π12,0 D.-π12,0 6.在平面直角坐標系xOy中,角α與角β均以Ox為始邊,它們的終邊關于y軸對稱.若sin α=,則cos(α-β)=　　　　　. 7.定義一種運算:(a1,a2)?(a3,a4)=a1a4-a2a3,將函數f(x)=(3,2sin x)?(cos x,cos 2x)的圖象向左平移n(n>0)個單位所得圖象對應的函數為偶函數,則n的最小值為　　　　　. 8.函數f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的部分圖象如圖所示,則f(x)=　　　　　　　　　　. 9.已知函數f(x)=sin x+λcos x的圖象的一個對稱中心是點π3,0,則函數g(x)=λsin xcos x+sin2x的圖象的一條對稱軸是　　　　　.(寫出其中的一條即可) 10.已知函數f(x)=sin2x-cos2x-23sin xcos x(x∈R). (1)求f2π3的值; (2)求f(x)的最小正周期及單調遞增區(qū)間. 11.已知函數f(x)=sin2x-sin2x-π6,x∈R. (1)求f(x)的最小正周期; (2)求f(x)在區(qū)間-π3,π4上的最大值和最小值. 二、思維提升訓練 12.下圖是函數f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)的部分圖象,其中A,B兩點之間的距離為5,則f(-1)等于 (　　) A.2 B.3 C.-3 D.-2 13.設函數f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<π,若f5π8=2,f11π8=0,且f(x)的最小正周期大于2π,則(　　) A.ω=,φ=π12 B.ω=,φ=-11π12 C.ω=,φ=-11π24 D.ω=,φ=7π24 14.函數y=11-x的圖象與函數y=2sin πx(-2≤x≤4)的圖象所有交點的橫坐標之和等于(　　) A.2 B.4 C.6 D.8 15.如果兩個函數的圖象平移后能夠重合,那么稱這兩個函數為“互為生成”函數.給出下列四個函數: ①f(x)=sin x+cos x;②f(x)=2(sin x+cos x); ③f(x)=sin x;④f(x)=2sin x+2. 其中為“互為生成”函數的是　　　　　.(填序號) 16.如圖,在同一個平面內,向量OA,OB,OC的模分別為1,1,2,OA與OC的夾角為α,且tan α=7,OB與OC的夾角為45.若OC=mOA+nOB(m,n∈R),則m+n=　　　　　. 17.已知函數f(x)的圖象是由函數g(x)=cos x的圖象經如下變換得到:先將g(x)圖象上所有點的縱坐標伸長到原來的2倍(橫坐標不變),再將所得到的圖象向右平移π2個單位長度. (1)求函數f(x)的解析式,并求其圖象的對稱軸方程; (2)已知關于x的方程f(x)+g(x)=m在[0,2π)內有兩個不同的解α,β. ①求實數m的取值范圍; ②證明:cos(α-β)=2m25-1.  專題能力訓練9　三角函數的圖象與性質 一、能力突破訓練 1.D　解析 由題意,為得到函數y=sin2x-π3=sin2x-π6,只需把函數y=sin 2x的圖象上所有點向右平行移動π6個單位長度,故選D. 2.A　解析 當θ-π12<π12時,0<θ<π6,∴00,所以當k=1時,n有最小值5π12. 8.2sinπ8x+π4　解析 由題意得A=2,函數的周期為T=16. ∵T=2πω,∴ω=π8,此時f(x)=2sinπ8x+φ. 由f(2)=2,即sinπ82+φ=sinπ4+φ=1, 則π4+φ=2kπ+π2,k∈Z, 解得φ=2kπ+π4,k∈Z. ∵|φ|<π2,∴φ=π4, ∴函數的解析式為f(x)=2sinπ8x+π4. 9.x=-π3(答案不唯一)　解析 將點π3,0代入f(x)=sin x+λcos x,得λ=-3.g(x)=-3sin xcos x+sin2x=-32sin 2x+12-12cos 2x=-sin2x+π6,令2x+π6=kπ+π2,k∈Z,得x=kπ2+π6,k∈Z.由k=-1,得x=-π3. 10.解 (1)由sin2π3=32,cos2π3=-, f2π3=322--122-2332-12, 得f2π3=2. (2)由cos 2x=cos2x-sin2x與sin 2x=2sin xcos x得f(x)=-cos 2x-3sin 2x=-2sin2x+π6. 所以f(x)的最小正周期是π. 由正弦函數的性質得π2+2kπ≤2x+π6≤3π2+2kπ,k∈Z, 解得π6+kπ≤x≤2π3+kπ,k∈Z, 所以,f(x)的單調遞增區(qū)間是π6+kπ,2π3+kπ (k∈Z). 11.解 (1)由已知,有 f(x)=1-cos2x2-1-cos2x-π32 =1212cos2x+32sin2x-12cos 2x =34sin 2x-14cos 2x=12sin2x-π6. 所以,f(x)的最小正周期T=2π2=π. (2)因為f(x)在區(qū)間-π3,-π6上是減函數,在區(qū)間-π6,π4上是增函數,f-π3=-14,f-π6=-12,fπ4=34.所以f(x)在區(qū)間-π3,π4上的最大值為34,最小值為-12. 二、思維提升訓練 12.A　解析 設函數f(x)的最小正周期為T,因為A,B兩點之間的距離為5,所以T22+42=5,解得T=6. 所以ω=2πT=π3. 又圖象過點(0,1),代入得2sin φ=1, 所以φ=2kπ+π6或φ=2kπ+5π6(k∈Z). 又0≤φ≤π,所以φ=π6或φ=5π6.所以f(x)=2sinπ3x+π6或f(x)=2sinπ3x+5π6. 對于函數f(x)=2sinπ3x+π6,當x略微大于0時,有f(x)>2sinπ6=1,與圖象不符,故舍去. 綜上,f(x)=2sinπ3x+5π6. 故f(-1)=2sin-π3+5π6=2. 13.A　解析 由題意可知,2πω>2π,11π8-5π8≥142πω, 所以23≤ω<1.所以排除C,D. 當ω=23時,f5π8=2sin5π823+φ =2sin5π12+φ=2, 所以sin5π12+φ=1. 所以5π12+φ=π2+2kπ,即φ=π12+2kπ(k∈Z). 因為|φ|<π,所以φ=π12.故選A. 14.D　解析 函數y1=11-x,y2=2sin πx的圖象有公共的對稱中心(1,0),作出兩個函數的圖象如圖. 當10,cos α>0,tan α=sinαcosα,sin α=7cos α,又sin2α+cos2α=1,得sin α=7210,cos α=210,OCOA=15,OCOB=1,OAOB=cosα+π4=-,得方程組m-35n=15,-35m+n=1,解得m=54,n=74,所以m+n=3. 17.(1)解 將g(x)=cos x的圖象上所有點的縱坐標伸長到原來的2倍(橫坐標不變)得到y=2cos x的圖象,再將y=2cos x的圖象向右平移π2個單位長度后得到y=2cosx-π2的圖象,故f(x)=2sin x. 從而函數f(x)=2sin x圖象的對稱軸方程為x=kπ+π2(k∈Z). (2)①解 f(x)+g(x)=2sin x+cos x =525sinx+15cosx =5sin(x+φ)其中sinφ=15,cosφ=25. 依題意,sin(x+φ)=m5在[0,2π)內有兩個不同的解α,β當且僅當m5<1, 故m的取值范圍是(-5,5). ②證法一 因為α,β是方程5sin(x+φ)=m在[0,2π)內的兩個不同的解, 所以sin(α+φ)=m5,sin(β+φ)=m5 . 當1≤m<5時,α+β=2π2-φ, 即α-β=π-2(β+φ); 當-5

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