2019-2020年三年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 乘法中的巧算上一講我們介紹了乘、除法的一些運(yùn)算律和性質(zhì)，它是乘、除法中巧算的理論根據(jù)，也給出了一些巧算的方法。本講在此基礎(chǔ)上再介紹一些乘法中的巧算方法。1.乘11，101，1001的速算法。一個(gè)數(shù)乘以11，101，1001時(shí)，因?yàn)?1，101，1001分別比10，100，1000大1，利用乘法分配律可得a11=a(101)=10aa，a101=a(1011)=100aa，a1001=a(10001)=1000aa。例如，38101=3810038=3838。2.乘9，99，999的速算法。一個(gè)數(shù)乘以9，99，999時(shí)，因?yàn)?，99，999分別比10，100，1000小1，利用乘法分配律可得a9=a(10-1)=10a-a，a99=a(100-1)=100a- a，a999=a(1000-1)=1000a-a。例如，1899=18100-18=1782。上面講的兩類速算法，實(shí)際就是乘法的湊整速算。湊整速算是當(dāng)乘數(shù)接近整十、整百、整千的數(shù)時(shí)，將乘數(shù)表示成上述整十、整百、整千與一個(gè)較小的自然數(shù)的和或差的形式，然后利用乘法分配律進(jìn)行速算的方法。例1 計(jì)算：(1) 3561001356(10001)3561000356356000356356356；(2) 3810238(1002)38100382 3800763876；(3)52699526(100-1) 526100-526 52600-52652074；(4)12349998 1234(10000-2)123410000-1234212340000-246812337532。3.乘5，25，125的速算法。一個(gè)數(shù)乘以 5，25，125時(shí)，因?yàn)?5210，254100，12581000，所以可以利用“乘一個(gè)數(shù)再除以同一個(gè)數(shù)，數(shù)值不變”及乘法結(jié)合律，得到例如，7625760041900。上面的方法也是一種“湊整”，只不過不是用加減法“湊整”，而是利用乘法“湊整”。當(dāng)一個(gè)乘數(shù)乘以一個(gè)較小的自然數(shù)就能得到整十、整百、整千的數(shù)時(shí)，將乘數(shù)先乘上這個(gè)較小的自然數(shù)，再除以這個(gè)較小的自然數(shù)，然后利用乘法結(jié)合律就可達(dá)到速算的目的。例2 計(jì)算：(1) 1865=186(52)2=18602=930；(2) 96125=96(1258)8=960008=1xx。有時(shí)題目不是上面講的“標(biāo)準(zhǔn)形式”，比如乘數(shù)不是25而是75，此時(shí)就需要靈活運(yùn)用上面的方法及乘法運(yùn)算律進(jìn)行速算了。例3 計(jì)算：(1) 8475=(214)(253)=(213)(425)=63100=6300；(2)56625=(78)(1255)=(75)(8125)=351000=35000；(3) 33125=32125+1125=4000+125=4125；(4) 3975=(32+1)125 =(40-1)75=4075-175=3000-75=2925。4.個(gè)位是5的兩個(gè)相同的兩位數(shù)相乘的速算法。個(gè)位是5的兩個(gè)相同的兩位數(shù)相乘，積的末尾兩位是25，25前面的數(shù)是這個(gè)兩位數(shù)的首位數(shù)與首位數(shù)加1之積。例如：仿此同學(xué)們自己算算下面的乘積3535_ 5555_6565_ 8585_9595_這種方法也適用于個(gè)位數(shù)是5的兩個(gè)相同的多位數(shù)相乘的計(jì)算，例如， 練習(xí)用速算法計(jì)算下列各題：1.(1) 68101； (2) 74201；(3) 2561002； (4) 154601。2.(1)459；(2)45799； (3)762999； (4) 3498。3.(1)5365； (2)4375；(3)63815； (4)73915。4.(1)3225； (2)1725；(3)13025；(4)6875；(5)4975； (6)8775。5.(1)56125； (2)77125；(3)66375； (4) 256625；(5)555375； (6)888875。6.(1)295295； (2)705705。附送：2019-2020年三年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 乘法速算專題簡析：我們已經(jīng)學(xué)會(huì)了整數(shù)乘法的計(jì)算方法，但計(jì)算多位數(shù)乘法要一位一位地乘，運(yùn)算起來比較麻煩。其實(shí)，多位數(shù)與一些特殊的數(shù)相乘，也可以用簡便的方法來計(jì)算。計(jì)算乘法時(shí)，如果一個(gè)因數(shù)是25，另一個(gè)因數(shù)考慮可拆成4幾，這樣可“先拆數(shù)再擴(kuò)整”。兩位數(shù)、三位數(shù)乘11，可采用“兩頭一拉，中間相加”的辦法。但要注意頭尾相加作積的中間數(shù)時(shí)，哪一位上滿10要向前一位進(jìn)一。例題1 你能很快算出4325的結(jié)果嗎？思路導(dǎo)航：一個(gè)數(shù)與5相乘，因?yàn)?02=5，因而可以在這個(gè)數(shù)末尾添上一個(gè)0，然后再除以2，所得的結(jié)果就是這個(gè)數(shù)與5的積。所以，我們?cè)?32的末尾添上一個(gè)零，然后再除以2就可得出結(jié)果。練習(xí)一很快算出下面各題的結(jié)果：13215 255 41524705 6295 5465310325 48325 73265例題2 試著計(jì)算下列各題，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？（1）1811 （2）3811 （3）43211思路導(dǎo)航：通過計(jì)算、觀察可以發(fā)現(xiàn)，一個(gè)數(shù)與11相乘，所得的結(jié)果就是將這個(gè)數(shù)的首位與末位拉開分別作為積的最高位和最低位，再依次將這個(gè)數(shù)相鄰兩位由個(gè)位起加起，和寫在十位、百位，哪一位上滿十就向前一位進(jìn)一。（1）1811，就把8寫在個(gè)位上，8與1的和9寫在十位上，1寫在百位上，得1811=198；（2）3811，把8寫在個(gè)位上，3與8的和為11，把1寫在十位上，同時(shí)向百位進(jìn)1，百位上3加1為4，得3811=418；（3）43211，把2寫在個(gè)位上，2與3的和5寫在十位上，3與的和7寫在百位上，千位上寫4，得43211=4752。練習(xí)二：很快算出下面各題的結(jié)果。11211 2311 4511 351124711 1165 1196 8711313511 60311 32911 87211例題3 你能迅速算出下面各題嗎？（1）2415 （2）24815 （3）345615思路導(dǎo)航：一個(gè)因數(shù)乘15，因?yàn)?5=105，那么2415就可以寫成24（105），也就是用24加上它的一半再乘10，2412=36，再用3610=360；24815就用248加上124得到372，再乘10為3720；345615就用3456加上1728得到5184，再乘10為51840。一個(gè)因數(shù)乘15，也就是用這個(gè)數(shù)加上它的一半再乘10。練習(xí)三：速算13215 7415 2815243815 28415 672153876215 495615 794815例題4 下面的乘法有規(guī)律嗎？（1）2425 （2）2125 （3）25427 （4）251923思路導(dǎo)航：因?yàn)?54100，因此一個(gè)數(shù)與25相乘，我們就看這個(gè)數(shù)里有幾個(gè)4，有幾個(gè)4就有幾個(gè)100，余1就加25，余2就加50，余3加75。（1）24中有6個(gè)4，所以積是6個(gè)100；（2）21中有5個(gè)4余1，所以積是5個(gè)100加25；（3）427中有106個(gè)4余3，所以積是106個(gè)100加75；（4）1923中有480個(gè)4余3，所以積是480個(gè)100加75。練習(xí)四：速算13225 4025 282528125 3325 2527347325 252562 25377例題5 你能迅速算出下面的結(jié)果嗎？（1）159 （2）389 （3）7299 （4）87499思路導(dǎo)航：（1）我們可以先用1510=150，這樣就多加了1個(gè)15，因此我們還要從150中減去1個(gè)15，即15015=135；（2）我們可以先用3810=380，這樣就多加了1個(gè)38，因此我們還要從380中減去1個(gè)38，即38038=342；（3）我們可以先用72100=7200，這樣就多加了1個(gè)72，因此我們還要從7200中減去1個(gè)72，即720072=7128；（4）我們可以先用874100=87400，這樣就多加了1個(gè)874，因此要從87400中減去1個(gè)874，即87400874=86526。從上面幾題可以看出，一個(gè)數(shù)與9相乘，就用這個(gè)數(shù)乘10，再減這個(gè)數(shù)；一個(gè)數(shù)與99相乘，就用這個(gè)數(shù)乘100，再減這個(gè)數(shù)。練習(xí)五：計(jì)算1529 4329 1321927299 32199 7231993789 14299 15649 172399