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微專題五　以特殊三角形為背景的計算與證明 姓名：________　班級：________　用時：______分鐘 1．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，∠BAC＝30，E為AB邊的中點，以BE為邊作等邊△BDE，連結(jié)AD，CD. (1)求證：△ADE≌△CDB； (2)若BC＝，在AC邊上找一點H，使得BH＋EH最小，并求出這個最小值． 2．如圖，在等邊△ABC中，點D，E，F(xiàn)分別同時從點A，B，C出發(fā)，以相同的速度在AB，BC，CA上運動，連結(jié)DE，EF，DF. (1)證明：△DEF是等邊三角形； (2)在運動過程中，當△CEF是直角三角形時，試求的值． 3．從三角形(不是等腰三角形)一個頂點引出一條射線與對邊相交，頂點與交點之間的線段把這個三角形分割成兩個小三角形，如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形，另一個與原三角形相似，我們把這條線段叫做這個三角形的完美分割線． (1)如圖1，在△ABC中，CD為角平分線，∠A＝40，∠B＝60，求證：CD為△ABC的完美分割線； (2)在△ABC中，∠A＝48，CD是△ABC的完美分割線，且△ACD為等腰三角形，求∠ACB的度數(shù)； (3)如圖2，在△ABC中，AC＝2，BC＝，CD是△ABC的完美分割線，且△ACD是以CD為底邊的等腰三角形，求完美分割線CD的長． 4．如圖，△ABC和△ADE是有公共頂點的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90，點P為射線BD，CE的交點． (1)求證：BD＝CE； (2)若AB＝2，AD＝1，把△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)，當∠EAC＝90時，求PB的長． 5．如圖，直角△ABC中，∠A為直角，AB＝6，AC＝8.點P，Q，R分別在AB，BC，CA邊上同時開始作勻速運動，2秒后三個點同時停止運動，點P由點A出發(fā)以每秒3個單位的速度向點B運動，點Q由點B出發(fā)以每秒5個單位的速度向點C運動，點R由點C出發(fā)以每秒4個單位的速度向點A運動，在運動過程中： (1)求證：△APR，△BPQ，△CQR的面積相等； (2)求△PQR面積的最小值； (3)用t(秒)(0≤t≤2)表示運動時間，是否存在t，使∠PQR＝90？若存在，請直接寫出t的值；若不存在，請說明理由． 6．問題：(1)如圖1，在Rt△ABC中，AB＝AC，D為BC邊上一點(不與點B，C重合)，將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90得到AE，連結(jié)EC，則線段BC，DC，EC之間滿足的等量關(guān)系式為________； 探索：(2)如圖2，在Rt△ABC與Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，將△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)，使點D落在BC邊上，試探索線段AD，BD，CD之間滿足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論； 應用：(3)如圖3，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45.若BD＝9，CD＝3，求AD的長．  參考答案 1．(1)證明：在Rt△ABC中，∠BAC＝30，E為AB邊的中點， ∴BC＝EA，∠ABC＝60. ∵△DEB為等邊三角形， ∴DB＝DE，∠DEB＝∠DBE＝60， ∴∠DEA＝120，∠DBC＝120， ∴∠DEA＝∠DBC， ∴△ADE≌△CDB. (2)解：如圖，作點E關(guān)于直線AC對稱點E′，連結(jié)BE′交AC于點H，連結(jié)EH，AE′， 則點H即為符合條件的點． 由作圖可知，EH＝HE′，AE′＝AE，∠E′AC＝∠BAC＝30， ∴∠EAE′＝60，∴△EAE′為等邊三角形， ∴EE′＝EA＝AB，∴∠AE′B＝90. 在Rt△ABC中，∠BAC＝30，BC＝， ∴AB＝2，AE′＝AE＝， ∴BE′＝＝＝3， ∴BH＋EH的最小值為3. 2．(1)證明：∵△ABC是等邊三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60，AB＝BC＝CA. ∵AD＝BE＝CF，∴BD＝CE＝AF. 在△ADF，△BED和△CFE中， ∵ ∴△ADF≌△BED≌△CFE， ∴FD＝DE＝EF， ∴△DEF是等邊三角形． (2)解：∵△ABC和△DEF是等邊三角形， ∴△DEF∽△ABC. 當DE⊥BC時(EF⊥BC時，同理)，∠BDE＝30， ∴BE＝BD，即BE＝BC， CE＝BC. ∵EF＝ECsin 60＝BC＝BC， ∴＝()2＝()2＝. 3．(1)證明：∵∠A＝40，∠B＝60， ∴∠ACB＝80，∴△ABC不是等腰三角形． ∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝40， ∴∠ACD＝∠A＝40， ∴△ACD為等腰三角形． ∵∠DCB＝∠A＝40，∠CBD＝∠ABC， ∴△BCD∽△BAC， ∴CD是△ABC的完美分割線． (2)解：①當AD＝CD時，如圖， 則∠ACD＝∠A＝48. ∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48， ∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝96. ②當AD＝AC時，如圖， 則∠ACD＝∠ADC＝＝66. ∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48， ∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝114. ③當AC＝CD時，如圖， 則∠ADC＝∠A＝48. ∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48. ∵∠ADC＝∠BCD＝48與∠ADC>∠BCD矛盾， ∴AC＝CD不成立． 綜上所述，∠ACB＝96或114. (3)解：由已知得AD＝AC＝2. ∵△BCD∽△BAC，∴＝＝. 設(shè)BD＝x(x>0)， 則()2＝x(x＋2)， 解得x＝－1(負值舍去)， ∴＝＝， ∴CD＝2＝－. 4．(1)證明：∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠DAB＝∠EAC， ∴△ADB≌△AEC，∴BD＝CE. (2)解：如圖，①當點E在AB上時，BE＝AB－AE＝1. ∵∠EAC＝90，∴CE＝＝. 同(1)可證△ADB≌△AEC， ∴∠DBA＝∠ECA. ∵∠PEB＝∠AEC，∴△PEB∽△AEC， ∴＝，∴＝，∴PB＝. ②如圖，當點E在BA延長線上時，BE＝3. ∵∠EAC＝90，∴CE＝＝. 同(1)可證△ADB≌△AEC， ∴∠DBA＝∠ECA. ∵∠BEP＝∠CEA，∴△PEB∽△AEC， ∴＝，∴＝，∴PB＝. 綜上所述，PB的長為或. 5．(1)證明：在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8， ∴BC＝10，sin∠B＝＝＝，sin∠C＝. 如圖，過點Q作QE⊥AB于點E，作QD⊥AC于點D. 在Rt△BQE中，BQ＝5t， ∴sin∠B＝＝，∴QE＝4t. 在Rt△CDQ中，CQ＝BC－BQ＝10－5t， ∴QD＝CQsin∠C＝(10－5t)＝3(2－t)， QE＝BQsin∠B＝5t＝4t. 由運動知AP＝3t，CR＝4t， ∴BP＝AB－AP＝6－3t＝3(2－t)，AR＝AC－CR＝8－4t＝4(2－t)， ∴S△APR＝APAR＝3t4(2－t)＝6t(2－t)， S△BPQ＝BPQE＝3(2－t)4t＝6t(2－t)， S△CQR＝CRQD＝4t3(2－t)＝6t(2－t)， ∴S△APR＝S△BPQ＝S△CQR， ∴△APR，△BPQ，△CQR的面積相等． (2)解：由(1)知，S△APR＝S△BPQ＝S△CQR＝6t(2－t)． ∵AB＝6，AC＝8， ∴S△PQR＝S△ABC－(S△APR＋S△BPQ＋S△CQR) ＝68－36t(2－t)＝24－18(2t－t2) ＝18(t－1)2＋6. ∵0≤t≤2，∴當t＝1時，S△PQR最小＝6. (3)解：存在．由(1)知QE＝4t，QD＝3(2－t)，AP＝3t，CR＝4t，AR＝4(2－t)， ∴BP＝AB－AP＝6－3t＝3(2－t)， AR＝AC－CR＝8－4t＝4(2－t)． ∵∠A＝90，∴四邊形AEQD是矩形， ∴AE＝DQ＝3(2－t)，AD＝QE＝4t， ∴DR＝|AD－AR|＝|4t－4(2－t)| ＝|4(2t－2)|， PE＝|AP－AE|＝|3t－3(2－t)| ＝|3(2t－2)|. ∵∠DQE＝90，∠PQR＝90， ∴∠DQR＝∠EQP， ∴tan∠DQR＝tan∠EQP. 在Rt△DQR中， tan∠DQR＝＝， 在Rt△EQP中， tan∠EQP＝＝， ∴＝， ∴t＝或1. 6．解：(1) BC＝DC＋EC (2)BD2＋CD2＝2AD2，理由如下： 如圖，連結(jié)CE. ∵∠BAC＝∠BAD＋∠DAC＝90，∠DAE＝∠CAE＋∠DAC＝90， ∴∠BAD＝∠CAE. 在△BAD與△CAE中， ∵ ∴△BAD≌△CAE， ∴BD＝CE，∠ACE＝∠B， ∴∠DCE＝90，∴CE2＋CD2＝ED2. 在Rt△ADE中，AD2＋AE2＝ED2，AD＝AE， ∴BD2＋CD2＝ED2，ED＝AD， ∴BD2＋CD2＝2AD2. (3)如圖，作AE⊥AD，使AE＝AD，連結(jié)CE，DE. ∵∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD， 即∠BAD＝∠CAE. 在△BAD與△CAE中， ∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴BD＝CE＝9. ∵∠ADC＝45，∠EDA＝45， ∴∠EDC＝90，∴DE＝＝6. ∵∠DAE＝90，∴AD＝AE＝DE＝6.