第九節(jié) 導(dǎo)數(shù)及其運(yùn)算1.1.導(dǎo)數(shù)的定義及其幾何意義導(dǎo)數(shù)的定義及其幾何意義(1)(1)定義：設(shè)函數(shù)定義：設(shè)函數(shù)y=f(xy=f(x) )在區(qū)間在區(qū)間(a,b(a,b) )上有定義，上有定義，x x0 0(a,b)(a,b)，當(dāng)當(dāng)xx無限趨近于無限趨近于0 0時(shí)，比值時(shí)，比值 =_=_無限趨近無限趨近于一個(gè)常數(shù)于一個(gè)常數(shù)A A，則稱，則稱f(xf(x) )在在x=xx=x0 0處可導(dǎo)，并稱常數(shù)處可導(dǎo)，并稱常數(shù)A A為函數(shù)為函數(shù)f(xf(x) )在在x=xx=x0 0處的導(dǎo)數(shù)，記作處的導(dǎo)數(shù)，記作f(xf(x0 0).).(2)(2)導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)y=f(xy=f(x) )在在x=xx=x0 0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線是曲線y=f(xy=f(x) )在點(diǎn)在點(diǎn)_處的切線的斜率處的切線的斜率. .yx00f(xx)f(x )x(x(x0 0,f(x,f(x0 0)2.2.基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式 C C=_(C=_(C為常數(shù)為常數(shù)) ) (x(x) )= =_( (為常數(shù)為常數(shù)) ) (sin x)(sin x)=_=_(cos(cos x) x)=_=_(e(ex x) )=_=_ (a(ax x) )=_(a=_(a0,0,且且a a1)1) (ln(ln x) x)=_=_(log(loga ax x)= _(a)= _(a0,0,且且a1)a1)0 0 xx-1-1coscos x x-sin x-sin xe ex xa ax xlnln a a1xa11log exxln a3.3.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則若若y=f(xy=f(x) )，y=g(xy=g(x) )的導(dǎo)數(shù)存在，則的導(dǎo)數(shù)存在，則(1)(1)Cf(xCf(x) )=Cf(x)(C=Cf(x)(C為常數(shù)為常數(shù)).).(2)f(x)(2)f(x)g(x)=_.g(x)=_.(3)f(x)g(x)=_.(3)f(x)g(x)=_.(4) =_(g(x)0).(4) =_(g(x)0).f(x)f(x)g(xg(x) )f(x)g(x)+f(x)g(xf(x)g(x)+f(x)g(x) ) f xg(x) 2fx g xf x g xg (x)判斷下面結(jié)論是否正確判斷下面結(jié)論是否正確( (請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或或“”).”).(1)f(x(1)f(x0 0) )與與(f(x(f(x0 0)表示的意義相同表示的意義相同.( ).( )(2)(2)求求f(xf(x0 0) )時(shí)，可先求時(shí)，可先求f(xf(x0 0) )再求再求f(xf(x0 0).( ).( )(3)(3)曲線的切線不一定與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)曲線的切線不一定與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn).( ).( )(4)(4)與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線一定是曲線的切線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線一定是曲線的切線.( ).( )(5)(5)若若f(xf(x)=a)=a3 3+2ax-x+2ax-x2 2，則，則f(xf(x)=3a)=3a2 2+2x.( )+2x.( )【解析【解析】(1)(1)錯(cuò)誤錯(cuò)誤.f(x.f(x0 0) )與與(f(x(f(x0 0)是不一樣的，是不一樣的，f(xf(x0 0) )代表函數(shù)代表函數(shù)f(xf(x) )在在x=xx=x0 0處的導(dǎo)數(shù)值，不一定為處的導(dǎo)數(shù)值，不一定為0 0；而；而(f(x(f(x0 0)是是函數(shù)值函數(shù)值f(xf(x0 0) )的導(dǎo)數(shù)，而函數(shù)值的導(dǎo)數(shù)，而函數(shù)值f(xf(x0 0) )是一個(gè)常量，其導(dǎo)數(shù)一定是一個(gè)常量，其導(dǎo)數(shù)一定為為0 0，即，即(f(x(f(x0 0)=0.)=0.(2)(2)錯(cuò)誤錯(cuò)誤. .應(yīng)先求應(yīng)先求f(xf(x) )，再求，再求f(xf(x0 0).).(3)(3)正確正確. .如如y=1y=1是曲線是曲線y=sin xy=sin x的切線，但其交點(diǎn)個(gè)數(shù)有無數(shù)的切線，但其交點(diǎn)個(gè)數(shù)有無數(shù)個(gè)個(gè). .(4)(4)錯(cuò)誤錯(cuò)誤. .如如y=0y=0與拋物線與拋物線y y2 2=x=x只有一個(gè)公共點(diǎn)，但是只有一個(gè)公共點(diǎn)，但是y=0y=0不是拋不是拋物線物線y y2 2=x=x的切線的切線. .(5)(5)錯(cuò)誤錯(cuò)誤. .求導(dǎo)是對(duì)自變量求導(dǎo)，要分清表達(dá)式中的自變量求導(dǎo)是對(duì)自變量求導(dǎo)，要分清表達(dá)式中的自變量. .在在這里自變量是這里自變量是x x而不是而不是a a，故，故f(xf(x)=-2x+2a.)=-2x+2a.答案：答案：(1)(1) (2) (2) (3) (4) (3) (4) (5)(5)1.1.曲線曲線y=xy=x3 3-2x-2x在點(diǎn)在點(diǎn)(1,-1)(1,-1)處的切線方程是處的切線方程是_._.【解析【解析】y=3xy=3x2 2-2,-2,在在x=1x=1處切線的斜率處切線的斜率k=3k=31 12 2-2=1,-2=1,在點(diǎn)在點(diǎn)(1,-1)(1,-1)處的切線方程是處的切線方程是y+1=x-1,y+1=x-1,即即x-y-2=0.x-y-2=0.答案：答案：x-y-2=0 x-y-2=02.2.已知函數(shù)已知函數(shù)f(xf(x) )(x(x2a)(x2a)(xa)a)2 2, ,則則y=_.y=_.【解析【解析】f(xf(x) )(x(xa)a)2 2(x(x2a)2a)2(x2(xa)a)3(x3(x2 2a a2 2).).答案：答案：3(x3(x2 2a a2 2) )3.3.一質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)，如果由始點(diǎn)起經(jīng)過一質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)，如果由始點(diǎn)起經(jīng)過t t秒后的位移為秒后的位移為 那么速率為零的時(shí)刻是那么速率為零的時(shí)刻是_._.【解析【解析】sst t2 23t3t2 2，令，令ss0 0，則，則t t1 1或或t t2.2.答案：答案：1 1秒末和秒末和2 2秒末秒末3213stt2t32 ，4.4.曲線曲線f(xf(x) )xlnxln x x在點(diǎn)在點(diǎn)x x1 1處的切線方程為處的切線方程為_._.【解析【解析】f(xf(x) )lnln x x1 1，f(1)f(1)1 1，f(1)f(1)0.0.切線方程為切線方程為y y1 1(x(x1)1)，即，即y yx x1.1.答案：答案：y yx x1 15.5.若若f(xf(x) )xcosxcos x xsin xsin x，則，則 _._.【解析【解析】f(xf(x) )xcosxcos x xsin xsin x，f(xf(x) )coscos x xxsinxsin x xcoscos x xxsinxsin x x，答案：答案：f ( )2f ( )sin .222226.6.若函數(shù)若函數(shù)y ytan xtan x，則函數(shù)在點(diǎn)，則函數(shù)在點(diǎn)(0,0)(0,0)處的切線的斜率是處的切線的斜率是_._.【解析【解析】 故當(dāng)故當(dāng)x=0 x=0時(shí)的切線斜率時(shí)的切線斜率k=1k=1，即，即所求切線的斜率是所求切線的斜率是1.1.答案：答案：1 12sin x cos xsin x cos xsin xy()cos xcos x222cos xsin xsin x1.cos xcos x考向考向 1 1 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算 【典例【典例1 1】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù): :(1)y=(2x(1)y=(2x2 2-1)(3x+1).-1)(3x+1).(2)y=x-(2)y=x-(3)y(3)y 【思路點(diǎn)撥【思路點(diǎn)撥】(1)(1)可以先展開解析式，然后再求導(dǎo)，也可以直可以先展開解析式，然后再求導(dǎo)，也可以直接利用乘積的求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo)接利用乘積的求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo).(2).(2)將將 利用三角函利用三角函數(shù)公式化簡后，再求導(dǎo)數(shù)公式化簡后，再求導(dǎo).(3).(3)將根式化成冪的形式，再求導(dǎo)將根式化成冪的形式，再求導(dǎo). .xxsin cos .2223xx x5 x9.xxxsin cos 22【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)方法一：可以先展開解析式，然后再求導(dǎo)：方法一：可以先展開解析式，然后再求導(dǎo)：y=(2xy=(2x2 2-1)(3x+1)=6x-1)(3x+1)=6x3 3+2x+2x2 2-3x-1-3x-1，y=(6xy=(6x3 3+2x+2x2 2-3x-1)-3x-1)=(6x=(6x3 3)+(2x)+(2x2 2)-(3x)-(1)=18x)-(3x)-(1)=18x2 2+4x-3.+4x-3.方法二：可以利用乘積的求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo)：方法二：可以利用乘積的求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo)：y=(2xy=(2x2 2-1)(3x+1)+(2x-1)(3x+1)+(2x2 2-1)(3x+1)-1)(3x+1)=4x(3x+1)+3(2x=4x(3x+1)+3(2x2 2-1)=12x-1)=12x2 2+4x+6x+4x+6x2 2-3-3=18x=18x2 2+4x-3.+4x-3.(2)(2)先使用三角函數(shù)公式進(jìn)行化簡得先使用三角函數(shù)公式進(jìn)行化簡得y=y=y= y= (3)y(3)yyy xx1xsin cosxsin x222，111(xsin x)x( sin x)1cos x.222 31223xx5 9x ， 3122(3x )x5(9x) 1322313x1 0 9 () x22 291x(1) 1.2x【拓展提升【拓展提升】導(dǎo)數(shù)計(jì)算的原則和方法導(dǎo)數(shù)計(jì)算的原則和方法(1)(1)原則：先化簡解析式，再求導(dǎo)原則：先化簡解析式，再求導(dǎo). .(2)(2)方法：方法：連乘積形式：先展開化為多項(xiàng)式的形式，再求導(dǎo)；連乘積形式：先展開化為多項(xiàng)式的形式，再求導(dǎo)；分式形式：觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，先化為整式函數(shù)或較為簡分式形式：觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，先化為整式函數(shù)或較為簡單的分式函數(shù)，再求導(dǎo)；單的分式函數(shù)，再求導(dǎo)；對(duì)數(shù)形式：先化為和、差的形式，再求導(dǎo)；對(duì)數(shù)形式：先化為和、差的形式，再求導(dǎo)；根式形式：先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，再求導(dǎo)；根式形式：先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，再求導(dǎo)；三角形式：先利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和或差的形式，再求三角形式：先利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和或差的形式，再求導(dǎo)導(dǎo). .【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y=3(1)y=3x xe ex x-2-2x x+e.+e.(2)y(2)y(3)y=(3)y=ln x.x1( x1)(1).x【解析【解析】(1)y=(3(1)y=(3x xe ex x)-(2)-(2x x)+(e)=(3)+(e)=(3x x)e)ex x+3+3x x(e(ex x)-)-(2(2x x)=3)=3x xln 3ln 3e ex x+3+3x xe ex x-2-2x xln 2ln 2=(3e)=(3e)x xln 3e-2ln 3e-2x xln 2.ln 2.(2)y(2)y (3)(3)先化簡先化簡, ,y= y= y=y= 2ln x xx ln xln x()xx221xln x1 ln xx.xx112211xx1xxxx ，13221111xx(1).22x2 x 考向考向 2 2 導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用 【典例【典例2 2】(1)(2013(1)(2013無錫模擬無錫模擬) )直線直線 是曲線是曲線y=lny=ln x x(x0)(x0)的一條切線，則實(shí)數(shù)的一條切線，則實(shí)數(shù)b=_.b=_.(2)(2012(2)(2012廣東高考廣東高考) )曲線曲線y=xy=x3 3-x+3-x+3在點(diǎn)在點(diǎn)(1(1，3)3)處的切線方程處的切線方程為為_._.(3)(3)已知曲線已知曲線C C：y yx x3 33x3x2 22x2x，直線，直線l：y ykxkx，且，且l與與C C切于切于點(diǎn)點(diǎn)P(xP(x0 0，y y0 0)(x)(x0 00)0)，求直線，求直線l的方程及切點(diǎn)坐標(biāo)的方程及切點(diǎn)坐標(biāo). .1yxb2【思路點(diǎn)撥【思路點(diǎn)撥】(1)(1)利用斜率和導(dǎo)數(shù)計(jì)算求出切點(diǎn)坐標(biāo)，再代入利用斜率和導(dǎo)數(shù)計(jì)算求出切點(diǎn)坐標(biāo)，再代入直線方程求直線方程求b.(2)b.(2)因?yàn)辄c(diǎn)因?yàn)辄c(diǎn)(1(1，3)3)為切點(diǎn)，故可由導(dǎo)數(shù)的幾何意為切點(diǎn)，故可由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出斜率后，再用點(diǎn)斜式寫出切線方程義求出斜率后，再用點(diǎn)斜式寫出切線方程.(3).(3)因?yàn)橹本€因?yàn)橹本€l過原過原點(diǎn)，故可根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及斜率公式以及點(diǎn)點(diǎn)，故可根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及斜率公式以及點(diǎn)P P既在曲線上既在曲線上又在切線上，構(gòu)造一個(gè)關(guān)于又在切線上，構(gòu)造一個(gè)關(guān)于x x0 0，y y0 0的方程組求解的方程組求解. .【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x(x0 0,y,y0 0) )，y=y=當(dāng)當(dāng)x=xx=x0 0時(shí)，切線的斜率時(shí)，切線的斜率 x x0 0=2,=2,yy0 0=ln 2, b=ln=ln 2, b=ln 2-1. 2-1.答案：答案：lnln 2-1 2-1(2)y=3x(2)y=3x2 2-1-1，當(dāng)，當(dāng)x=1x=1時(shí)，時(shí)，y=2y=2，此時(shí)斜率，此時(shí)斜率k=2k=2，故所求切線，故所求切線方程為方程為y-3=2(x-1)y-3=2(x-1)，即，即2x-y+1=0.2x-y+1=0.答案：答案：2x-y+1=02x-y+1=01,x011k,x21ln 22b,2(3)(3)由直線由直線l過原點(diǎn)，知過原點(diǎn)，知 (x(x0 00).0).又點(diǎn)又點(diǎn)P(xP(x0 0，y y0 0) )在曲線在曲線C C上，上，y y0 0 x x0 03 33x3x0 02 22x2x0 0 因?yàn)橐驗(yàn)閥y3x3x2 26x6x2 2，故，故k k3x3x0 02 26x6x0 02.2.又又 故故由由得得00ykx00ykx，20000y3x6x2 x32000020000yx3x2xy3x6x2x，所以所以3x3x0 02 26x6x0 02 2x x0 02 23x3x0 02 2，其中，其中x x0 000， 解得解得x x0 0所以所以y y0 0 所以所以所以直線所以直線l的方程為的方程為切點(diǎn)坐標(biāo)為切點(diǎn)坐標(biāo)為3.238 ，00y1kx4 ，1yx4，33().28，【互動(dòng)探究【互動(dòng)探究】在本例題在本例題(2)(2)中若曲線中若曲線y=xy=x3 3-x+3-x+3在在“點(diǎn)點(diǎn)(1(1，3)3)處處”改為改為“過點(diǎn)過點(diǎn)(1(1，3)”,3)”,其他條件不變，求此時(shí)的切線方程其他條件不變，求此時(shí)的切線方程. .【解析【解析】當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)(1(1，3)3)是切點(diǎn)時(shí)，由本例題是切點(diǎn)時(shí)，由本例題(2)(2)知，切線方程為知，切線方程為2x-y+1=0.2x-y+1=0.當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)(1(1，3)3)不是切點(diǎn)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為不是切點(diǎn)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為(x(x0 0，x x0 03 3-x-x0 0+3).+3).又又y=3xy=3x2 2- -1 1，故斜率，故斜率k=3xk=3x0 02 2-1-1，所求切線方程為，所求切線方程為y y(x(x0 03 3-x-x0 0+3)+3)(3x(3x0 02 2- -1)(x-x1)(x-x0 0) )，將點(diǎn)，將點(diǎn)(1(1，3)3)代入，解得代入，解得x x0 0= = 或或x x0 0=1(=1(舍舍) )，故切點(diǎn)，故切點(diǎn)為為 此時(shí)切線方程為此時(shí)切線方程為 即即x+4y-13=0.x+4y-13=0.綜上所述，切線方程為綜上所述，切線方程為2x-y+1=02x-y+1=0或或x+4y-13=0.x+4y-13=0.121 27(,)28，2711y(x)842 ，【拓展提升【拓展提升】1.1.求曲線求曲線y yf(xf(x) )在點(diǎn)在點(diǎn)P(xP(x0 0，y y0 0) )處的切線方程的步驟處的切線方程的步驟(1)(1)求出函數(shù)求出函數(shù)y yf(xf(x) )在點(diǎn)在點(diǎn)x xx x0 0處的導(dǎo)數(shù)，即曲線處的導(dǎo)數(shù)，即曲線y yf(xf(x) )在點(diǎn)在點(diǎn)P(xP(x0 0，f(xf(x0 0)處切線的斜率處切線的斜率. .(2)(2)如果已知切點(diǎn)坐標(biāo)和切線斜率，求得切線方程為如果已知切點(diǎn)坐標(biāo)和切線斜率，求得切線方程為y yy y0 0f(xf(x0 0)(x)(xx x0 0).).如果曲線如果曲線y yf(xf(x) )在點(diǎn)在點(diǎn)P(xP(x0 0，f(xf(x0 0)處的切線平行于處的切線平行于y y軸，由切軸，由切線定義可知，切線方程為線定義可知，切線方程為x xx x0 0. .2.2.求曲線求曲線y yf(xf(x) )過點(diǎn)過點(diǎn)P(xP(x0 0，y y0 0) )的切線方程的步驟的切線方程的步驟(1)(1)設(shè)切點(diǎn)設(shè)切點(diǎn)A(xA(xA A，f(xf(xA A)，求切線的斜率，求切線的斜率k kf(xf(xA A) )，寫出切線，寫出切線方程方程. .(2)(2)把把P(xP(x0 0，y y0 0) )的坐標(biāo)代入切線方程，建立關(guān)于的坐標(biāo)代入切線方程，建立關(guān)于x xA A的方程的方程. .解得解得x xA A的值，進(jìn)而寫出切線方程的值，進(jìn)而寫出切線方程. .【變式備選【變式備選】(1)(1)若曲線若曲線y=xy=x4 4的一條切線的一條切線l與直線與直線x+4y-8=0 x+4y-8=0垂直，垂直，則切線則切線l的方程為的方程為_._.【解析【解析】與直線與直線x+4y-8=0 x+4y-8=0垂直的直線垂直的直線l為為4x-y+m=04x-y+m=0，即，即y=xy=x4 4在某在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為4 4，而，而y=4xy=4x3 3，即，即4x4x3 3=4,=4,解得解得x=1,x=1,所以所以y=xy=x4 4在點(diǎn)在點(diǎn)(1(1，1)1)處導(dǎo)數(shù)為處導(dǎo)數(shù)為4 4，此點(diǎn)的切線方程為，此點(diǎn)的切線方程為4x-y-3=0.4x-y-3=0.答案：答案：4x-y-3=04x-y-3=0(2)(2)已知函數(shù)已知函數(shù)f(xf(x) )的圖象在點(diǎn)的圖象在點(diǎn)M(1M(1，f(1)f(1)處的切線方程是處的切線方程是2x2x3y3y1 10 0，則，則f(1)f(1)f(1)f(1)_._.【解析【解析】依題意得依題意得2 21 13f(1)3f(1)1 10 0，即，即f(1)f(1)1 1，由切線的，由切線的斜率斜率 則則f(1)f(1) 則則f(1)f(1)f(1)f(1)答案：答案：2k,323，5.353【創(chuàng)新體驗(yàn)【創(chuàng)新體驗(yàn)】導(dǎo)數(shù)中的新定義問題導(dǎo)數(shù)中的新定義問題【典例【典例】(2012(2012浙江高考浙江高考) )定義曲線定義曲線C C上的點(diǎn)到直線上的點(diǎn)到直線l的距離的的距離的最小值稱為曲線最小值稱為曲線C C到直線到直線l的距離，已知曲線的距離，已知曲線C C1 1：y=xy=x2 2+a+a到直線到直線l:y:y=x=x的距離等于曲線的距離等于曲線C C2 2：x x2 2+(y+4)+(y+4)2 2=2=2到直線到直線l:y:y=x=x的距離，則的距離，則實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)a=_.a=_.【思路點(diǎn)撥【思路點(diǎn)撥】 【規(guī)范解答【規(guī)范解答】曲線曲線C C2 2：x x2 2+(y+4)+(y+4)2 2=2=2到直線到直線l:y:y=x=x的距離為的距離為設(shè)曲線設(shè)曲線C C1 1：y=xy=x2 2+a+a上的點(diǎn)上的點(diǎn)(x(x0 0,y,y0 0) )到直線到直線l:y:y=x=x的距離最短，則過的距離最短，則過點(diǎn)點(diǎn)(x(x0 0,y,y0 0) )的切線平行于直線的切線平行于直線y=x.y=x.對(duì)應(yīng)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為對(duì)應(yīng)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為y=2xy=2x，由由2x2x0 0=1=1得得x x0 0= = 所以所以C C1 1：y=xy=x2 2+a+a上的點(diǎn)上的點(diǎn)(x(x0 0,y,y0 0) )為為 由題由題意知意知 解得解得 或或當(dāng)當(dāng) 時(shí)，直線時(shí)，直線l與曲線與曲線C C1 1相交，不合題意，故舍去相交，不合題意，故舍去. .答案：答案：2204d22 222.11 12，1 1( ,a)2 4，2211|a |24211 ，9a47a,4 7a4 94【思考點(diǎn)評(píng)【思考點(diǎn)評(píng)】1.1.方法感悟：本題充分體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想在解題中的應(yīng)用，方法感悟：本題充分體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想在解題中的應(yīng)用，即利用定義將曲線即利用定義將曲線C C2 2：x x2 2+(y+4)+(y+4)2 2=2=2到直線到直線l:y:y=x=x的距離轉(zhuǎn)化為圓的距離轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離減去半徑，曲線心到直線的距離減去半徑，曲線C C1 1：y=xy=x2 2+a+a到直線到直線l:y:y=x=x的距離轉(zhuǎn)的距離轉(zhuǎn)化為曲線化為曲線C C1 1上與上與l平行的切線與平行的切線與l的距離，再利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的距離，再利用導(dǎo)數(shù)研究曲線C C1 1的切線問題，最終根據(jù)兩距離相等構(gòu)造方程求出的切線問題，最終根據(jù)兩距離相等構(gòu)造方程求出a a的值，這種的值，這種“等價(jià)轉(zhuǎn)化等價(jià)轉(zhuǎn)化”的思想是解決數(shù)學(xué)問題的重要思想的思想是解決數(shù)學(xué)問題的重要思想. .2.2.技巧提升：對(duì)待新定義問題，應(yīng)該首先仔細(xì)審題，把新定義技巧提升：對(duì)待新定義問題，應(yīng)該首先仔細(xì)審題，把新定義的規(guī)定理解透徹，提取定義中等量關(guān)系和數(shù)量關(guān)系或定義中的的規(guī)定理解透徹，提取定義中等量關(guān)系和數(shù)量關(guān)系或定義中的關(guān)鍵詞語，如本題定義中的關(guān)鍵詞為關(guān)鍵詞語，如本題定義中的關(guān)鍵詞為“最小值最小值”，然后結(jié)合所，然后結(jié)合所學(xué)知識(shí)進(jìn)行分析求解學(xué)知識(shí)進(jìn)行分析求解. .1.(20131.(2013鹽城模擬鹽城模擬) )函數(shù)函數(shù)f(xf(x)= )= 則則【解析【解析】答案：答案：0 0f ( )sin xcos x2，f( )_.4 fxf ( )cos xsin x2 ，f ( )sin 1,22 f( )sin cos 0.444 2.(20122.(2012遼寧高考遼寧高考) )已知已知P,QP,Q為拋物線為拋物線x x2 2=2y=2y上兩點(diǎn)，點(diǎn)上兩點(diǎn)，點(diǎn)P,QP,Q的的橫坐標(biāo)分別為橫坐標(biāo)分別為4 4，2 2，過，過P,QP,Q分別作拋物線的切線，兩切線交分別作拋物線的切線，兩切線交于點(diǎn)于點(diǎn)A A，則點(diǎn)，則點(diǎn)A A的縱坐標(biāo)為的縱坐標(biāo)為_._.【解析【解析】因?yàn)辄c(diǎn)因?yàn)辄c(diǎn)P P，Q Q的橫坐標(biāo)分別為的橫坐標(biāo)分別為4 4，-2-2，代入拋物線方程，代入拋物線方程得得P P，Q Q的縱坐標(biāo)分別為的縱坐標(biāo)分別為8,2.8,2.由由x x2 2=2y,=2y,則則 所以所以y=x,y=x,所所以過點(diǎn)以過點(diǎn)P P，Q Q的拋物線的切線的斜率分別為的拋物線的切線的斜率分別為4 4，-2-2，所以過點(diǎn)，所以過點(diǎn)P P，Q Q的拋物線的切線方程分別為的拋物線的切線方程分別為y=4x-8,y=-2x-2,y=4x-8,y=-2x-2,聯(lián)立方程組解得聯(lián)立方程組解得x=1,y=-4,x=1,y=-4,故點(diǎn)故點(diǎn)A A的縱坐標(biāo)為的縱坐標(biāo)為-4.-4.答案：答案：-4-421yx ,23.(20133.(2013南通模擬南通模擬) )已知函數(shù)已知函數(shù)f(xf(x)=sin x+e)=sin x+ex x+x+x2 2 011011，令，令f f1 1(x)(x)=f(x),f=f(x),f2 2(x)=f(x)=f1 1(x),f(x),fn+1n+1(x)=f(x)=fn n(x(x),),則則f f2 2 012012(x)=_.(x)=_.【解析【解析】f f1 1(x)=f(x)=cos x+e(x)=f(x)=cos x+ex x+2 011x+2 011x2 2 010010，f f2 2(x)=f(x)=f1 1(x)=-sin x+e(x)=-sin x+ex x+2 011+2 0112 010 x2 010 x2 2 009009，f f3 3(x)=f(x)=f2 2(x)=-cos x+e(x)=-cos x+ex x+2 011+2 0112 0102 0102 0092 009x x2 2 008008，f f4 4(x)=f(x)=f3 3(x)=sin x+e(x)=sin x+ex x+2 011+2 0112 0102 0102 0092 0092 008x2 008x2 2 007007，f f2 2 012012(x)=f(x)=f2 2 011011(x)=sin x+e(x)=sin x+ex x+2 011!.+2 011!.答案：答案：sin x+esin x+ex x+2 011!+2 011!4.(20134.(2013徐州模擬徐州模擬) )已知函數(shù)已知函數(shù)f(xf(x)=-x)=-x3 3+ax+ax2 2+b(a,bR)+b(a,bR)圖象上圖象上任意一點(diǎn)處的切線的斜率都小于任意一點(diǎn)處的切線的斜率都小于1 1，則實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)a a的取值范圍是的取值范圍是_._.【解析【解析】由題意由題意f(xf(x)=-3x)=-3x2 2+2ax,+2ax,當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，f(xf(x) )取得最大值取得最大值答案：答案：ax32a,32a1,3a3.3 3a35.(20125.(2012新課標(biāo)全國卷新課標(biāo)全國卷) )曲線曲線y=x(3ln x+1)y=x(3ln x+1)在點(diǎn)在點(diǎn)(1,1)(1,1)處的切處的切線方程為線方程為_._.【解析【解析】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為y= y= 所以在點(diǎn)所以在點(diǎn)(1,1)(1,1)處的切線的斜率為處的切線的斜率為k=4k=4，所以切線方程為，所以切線方程為y-1=4(x-1)y-1=4(x-1)，即，即y=4x-3.y=4x-3.答案：答案：y=4x-3y=4x-333ln x1x3ln x4x ，1.1.若曲線若曲線 的傾斜角為的傾斜角為,則則的取值范的取值范圍是圍是_._.【解析【解析】-1f(x)1,-1f(x)1,的取值范圍是的取值范圍是答案：答案： 13f xsin xcos x22 13fxcos xsin xsin(x),22630, ).4430, )442.2.設(shè)曲線設(shè)曲線y=xy=xn+1n+1(nN(nN* *) )在點(diǎn)在點(diǎn)(1(1，1)1)處的切線與處的切線與x x軸的交點(diǎn)的橫軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為坐標(biāo)為x xn n, ,則則x x1 1xx2 2xxn n的值為的值為_._.【解析【解析】對(duì)對(duì)y=xy=xn+1n+1(nN(nN* *) )求導(dǎo)得求導(dǎo)得y=(n+1)xy=(n+1)xn n, ,令令x=1x=1得在點(diǎn)得在點(diǎn)(1(1，1)1)處的切線的斜率處的切線的斜率k=n+1,k=n+1,在點(diǎn)在點(diǎn)(1(1，1)1)處的切線方程為處的切線方程為y-y-1=(n+1)(x-1),1=(n+1)(x-1),由切線與由切線與x x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為x xn n, ,不妨設(shè)不妨設(shè)y=0,y=0,所所以以則則x x1 1x x2 2x xn n= =答案：答案：nnxn1，123n1n1.234nn1n11n13.3.若方程若方程kx-lnkx-ln x=0 x=0有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，則有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，則k k的取值范圍是的取值范圍是_._.【解析【解析】令令y=kxy=kx，y=lny=ln x. x.若方程若方程kx-lnkx-ln x=0 x=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則直線直線y=kxy=kx與曲線與曲線y=lny=ln x x有兩個(gè)不同的交點(diǎn)有兩個(gè)不同的交點(diǎn). .故直線故直線y=kxy=kx應(yīng)介于應(yīng)介于x x軸和曲線軸和曲線y=lny=ln x x過原點(diǎn)的切線之間過原點(diǎn)的切線之間. .設(shè)曲線設(shè)曲線y=lny=ln x x過原點(diǎn)的切過原點(diǎn)的切線的切點(diǎn)為線的切點(diǎn)為(x(x0 0,ln x,ln x0 0).).又當(dāng)又當(dāng)x=xx=x0 0時(shí)，切線斜率時(shí)，切線斜率 故切線故切線方程為方程為 將原點(diǎn)代入得，將原點(diǎn)代入得，x x0 0=e=e，此時(shí)，此時(shí)故所求故所求k k的取值范圍是的取值范圍是答案答案01kx，0001ylnxxxx，011kxe，1(0, ).e1(0, )e