（通用版）2019版高考數(shù)學二輪復習 第一部分 專題十五 統(tǒng)計、統(tǒng)計案例講義 理（重點生含解析）.doc
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專題十五 統(tǒng)計、統(tǒng)計案例 卷Ⅰ 卷Ⅱ 卷Ⅲ 2018 統(tǒng)計圖的識別與分析T3 折線圖、線性回歸方程模型問題T18 莖葉圖的應用及獨立性檢驗T18 2017 ______- 頻率分布直方圖、獨立性檢驗T18 折線圖的識別與分析T3 2016 ________ _______ 統(tǒng)計圖表的識別與分析T4 折線圖、相關性檢驗、線性回歸方程及應用T18 縱向把握趨勢 卷Ⅰ3年1考，題型為選擇題且難度較小，涉及統(tǒng)計圖的識別與分析．預計2019年會以選擇題的形式考查折線圖、線性回歸方程等問題，難度適中 卷Ⅱ3年2考，題型均為解答題的第18題，涉及折線圖、頻率分布直方圖、線性回歸方程、獨立性檢驗，難度適中．預計2019年仍會以解答題的形式考查獨立性檢驗或線性回歸模型的應用 卷Ⅲ3年4考，既有選擇題也有解答題，小題主要考查統(tǒng)計圖表、折線圖的識別與分析，解答題考查線性回歸方程的應用及獨立性檢驗．預計2019年會以解答題的形式考查線性回歸模型的應用，同時以選擇題的形式考查統(tǒng)計圖表的識別與分析 橫向把握重點 1.統(tǒng)計與統(tǒng)計案例在選擇題或填空題中的命題熱點主要集中在隨機抽樣、用樣本估計總體以及變量間的相關性判斷等，難度較低，常出現(xiàn)在3～4題的位置． 2.統(tǒng)計與統(tǒng)計案例在解答題中多出現(xiàn)在18或19題，多考查直方圖、莖葉圖及數(shù)字特征計算、統(tǒng)計案例的應用. 抽樣方法 [題組全練] 1．(2018石家莊模擬)某校高一年級有男生560人，女生420人，用分層抽樣的方法從該年級全體學生中抽取一個容量為140的樣本，則此樣本中男生人數(shù)為( ) A．80 B．120 C．160 D．240 解析：選A 因為男生和女生的比例為560∶420＝4∶3，樣本容量為140，所以應該抽取男生的人數(shù)為140＝80，故選A. 2．(2018南寧模擬)已知某地區(qū)中小學生人數(shù)和近視情況分別如圖甲和圖乙所示．為了了解該地區(qū)中小學生的近視形成原因，用分層抽樣的方法抽取2%的學生進行調(diào)查，則樣本容量和抽取的高中生近視人數(shù)分別為( ) A．100,20 B．200,20 C．200,10 D．100,10 解析：選B 由題圖甲可知學生總人數(shù)是10 000，樣本容量為10 0002%＝200，抽取的高中生人數(shù)是2 0002%＝40，由題圖乙可知高中生的近視率為50%，所以高中生的近視人數(shù)為4050%＝20，故選 B. 3．從30個個體(編號為00～29)中抽取10個樣本，現(xiàn)給出某隨機數(shù)表的第11行到第15行(見下表)，如果某人選取第12行的第6列和第7列中的數(shù)作為第一個數(shù)并且由此數(shù)向右讀，則選取的前4個的號碼分別為( ) 9264 4607 2021 3920 7766 3817 3256 1640 5858 7766 3170 0500 2593 0545 5370 7814 2889 6628 6757 8231 1589 0062 0047 3815 5131 8186 3709 4521 6665 5325 5383 2702 9055 7196 2172 3207 1114 1384 4359 4488 A．76,63,17,00 B．16,00,02,30 C．17,00,02,25 D．17,00,02,07 解析：選D 在隨機數(shù)表中，將處于00～29的號碼選出，滿足要求的前4個號碼為17,00,02,07. 4．(2019屆高三南昌調(diào)研)某校高三(2)班現(xiàn)有64名學生，隨機編號為0,1,2，…，63，依編號順序平均分成8組，組號依次為1,2,3，…，8.現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個容量為8的樣本，若在第1組中隨機抽取的號碼為5，則在第6組中抽取的號碼為________． 解析：由題知分組間隔為＝8，又第1組中抽取的號碼為5，所以第6組中抽取的號碼為58＋5＝45. 答案：45 5．采用系統(tǒng)抽樣方法從1 000人中抽取50人做問卷調(diào)查，將他們隨機編號1,2，…，1 000.適當分組后在第一組采用簡單隨機抽樣的方法抽到的號碼為8.若抽到的50人中，編號落入?yún)^(qū)間[1,400]的人做問卷A，編號落入?yún)^(qū)間[401,750]的人做問卷B，其余的人做問卷C，則抽到的人中，做問卷C的人數(shù)為________． 解析：根據(jù)系統(tǒng)抽樣的特點可知，所有做問卷調(diào)查的人的編號構成首項為8，公差d＝＝20的等差數(shù)列{an}，∴通項公式an＝8＋20(n－1)＝20n－12，令751≤20n－12≤1 000，得≤n≤，又∵n∈N*，∴39≤n≤50，∴做問卷C的共有12人． 答案：12 [系統(tǒng)方法] 解決抽樣問題應關注的兩點 (1)解決此類題目的關鍵是深刻理解各種抽樣方法的特點和適用范圍．但無論哪種抽樣方法，每一個個體被抽到的概率都是相等的，都等于樣本容量與總體容量的比值． (2)在系統(tǒng)抽樣的過程中，要注意分段間隔，需要抽取n個個體，樣本就需要分成n個組，則分段間隔即為(N為樣本容量)，首先確定在第一組中抽取的個體的號碼數(shù)，再從后面的每組中按規(guī)則抽取每個個體. 用樣本估計總體 [題組全練] 1．(2019屆高三貴陽模擬)在某中學舉行的環(huán)保知識競賽中，將三個年級參賽學生的成績進行整理后分為5組，繪制如圖所示的頻率分布直方圖，圖中從左到右依次為第一、第二、第三、第四、第五小組，已知第二小組的頻數(shù)是40，則成績在80～100分的學生人數(shù)是( ) A．15 B．18 C．20 D．25 解析：選A 根據(jù)頻率分布直方圖，得第二小組的頻率是0.0410＝0.4，∵頻數(shù)是40，∴樣本容量是＝100，又成績在80～100分的頻率是(0.01＋0.005)10＝0.15，∴成績在80～100分的學生人數(shù)是1000.15＝15. 2．(2018全國卷Ⅰ)某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設，農(nóng)村的經(jīng)濟收入增加了一倍，實現(xiàn)翻番．為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟收入變化情況，統(tǒng)計了該地區(qū)新農(nóng)村建設前后農(nóng)村的經(jīng)濟收入構成比例，得到如下餅圖： 則下面結論中不正確的是( ) A．新農(nóng)村建設后，種植收入減少 B．新農(nóng)村建設后，其他收入增加了一倍以上 C．新農(nóng)村建設后，養(yǎng)殖收入增加了一倍 D．新農(nóng)村建設后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟收入的一半 解析：選A 設新農(nóng)村建設前，農(nóng)村的經(jīng)濟收入為a，則新農(nóng)村建設后，農(nóng)村經(jīng)濟收入為2a. 新農(nóng)村建設前后，各項收入的對比如下表： 新農(nóng)村建設前 新農(nóng)村建設后 新農(nóng)村建設后變化情況 結論 種植收入 60%a 37%2a＝74%a 增加 A錯 其他收入 4%a 5%2a＝10%a 增加一倍以上 B對 養(yǎng)殖收入 30%a 30%2a＝60%a 增加了一倍 C對 養(yǎng)殖收入＋第三產(chǎn)業(yè)收入 (30%＋6%)a＝36%a (30%＋28%)2a＝116%a 超過經(jīng)濟收入2a的一半 D對 故選A. 3．(2018長春質檢)已知某班級部分同學一次測驗的成績統(tǒng)計如圖，則其中位數(shù)和眾數(shù)分別為( ) A．95,94 B．92,86 C．99,86 D．95,91 解析：選B 由莖葉圖可知，此組數(shù)據(jù)由小到大排列依次為76,79,81,83,86,86,87,91,92,94,95,96,98,99,101,103,114，共17個，故92為中位數(shù)，出現(xiàn)次數(shù)最多的為眾數(shù)，故眾數(shù)為86，故選 B. 4.(2018武漢調(diào)研)從某選手的7個得分中去掉1個最高分，去掉1個最低分后，剩余5個得分的平均數(shù)為91分，如圖所示是該選手得分的莖葉圖，其中有一個數(shù)字模糊，無法辨認，在圖中用x表示，則剩余5個得分的方差為________． 解析：去掉一個最高分99分，一個最低分87分，剩余的得分為93分，90分，(90＋x)分，91分，87分，則＝91，解得x＝4，所以這5個數(shù)的方差s2＝[(91－93)2＋(91－90)2＋(91－94)2＋(91－91)2＋(91－87)2]＝6. 答案：6 [系統(tǒng)方法] 1．頻率分布直方圖的應用 (1)已知頻率分布直方圖中的部分數(shù)據(jù)，求其他數(shù)據(jù)．可根據(jù)頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)求出樣本與整體的關系，利用頻率和等于1就可求出其他數(shù)據(jù)． (2)已知頻率分布直方圖，求某種范圍內(nèi)的數(shù)據(jù)．可利用圖形及某范圍結合求解． 2．數(shù)字特征及其特點 平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征，是對數(shù)據(jù)的一種簡明描述，它們所反映的情況有著重要的實際意義．平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述數(shù)據(jù)的集中趨勢，方差和標準差描述數(shù)據(jù)的波動大小. 回歸分析 [多維例析] 角度一 線性回歸分析 (2018陜西質檢)基于移動互聯(lián)網(wǎng)技術的共享單車被稱為“新四大發(fā)明”之一，短時間內(nèi)就風靡全國，帶給人們新的出行體驗．某共享單車運營公司的市場研究人員為了解公司的經(jīng)營狀況，對該公司2018年6月～11月六個月內(nèi)的市場占有率進行了統(tǒng)計，結果如下表： 月份 6月 7月 8月 9月 10月 11月 月份代碼x 1 2 3 4 5 6 市場占有率y(%) 11 13 16 15 20 21 (1)請在給出的坐標紙中作出散點圖，并用相關系數(shù)說明能否用線性回歸模型擬合市場占有率y與月份代碼x之間的關系； (2)求y關于x的線性回歸方程，并預測該公司2019年3月份的市場占有率． 參考數(shù)據(jù)：(xi－)2＝17.5，(xi－)(yi－)＝35，≈36.5. 參考公式：相關系數(shù)r＝； 回歸直線方程為＝x＋， 其中＝，＝－. [解] (1)作出散點圖如下． ∵＝＝16， ∴(yi－)2＝76， ∴r＝＝ ＝≈≈0.96. ∴兩變量之間具有較強的線性相關關系，故可用線性回歸模型擬合市場占有率y與月份代碼x之間的關系． (2)由參考數(shù)據(jù)及(1)知＝＝＝2， ＝＝3.5， ∴＝－＝16－23.5＝9， ∴y關于x的線性回歸方程為＝2x＋9. 2019年3月的月份代碼為x＝10，∴＝210＋9＝29， ∴估計該公司2019年3月份的市場占有率為29%. [類題通法] 1．求線性回歸方程的步驟 (1)計算，； (2)計算iyi，； (3)計算＝＝； ＝－； (4)寫出線性回歸方程＝x＋. [注意] 樣本點的中心(，)必在回歸直線上． 2．相關系數(shù)r (1)當r>0時，表明兩個變量正相關； 當r<0時，表明兩個變量負相關． (2)r的絕對值越接近于1，表明兩個變量的線性相關性越強．r的絕對值越接近于0，表明兩個變量之間幾乎不存在線性相關關系．通常|r|大于0.75時，認為兩個變量有很強的線性相關性． 角度二 非線性回歸分析 某機構為研究某種圖書每冊的成本費y(單位：元)與印刷數(shù)量x(單位：千冊)的關系，收集了一些數(shù)據(jù)并進行了初步處理，得到了下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值． (xi－)2 (xi－)(yi－) (ui－)2 (ui－)(yi－) 15.25 3.63 0.269 2 085.5 －230.3 0.787 7.049 表中ui＝，＝i. (1)根據(jù)散點圖判斷：y＝a＋bx與y＝c＋哪一個模型更適合作為該圖書每冊的成本費y(單位：元)與印刷數(shù)量x(單位：千冊)的回歸方程？(只要求給出判斷，不必說明理由) (2)根據(jù)(1)的判斷結果及表中數(shù)據(jù)，建立y關于x的回歸方程(回歸系數(shù)的結果精確到0.01)． (3)若該圖書每冊的定價為10元，則至少應該印刷多少冊才能使銷售利潤不低于78 840元？(假設能夠全部售出．結果精確到1) 附：對于一組數(shù)據(jù)(ω1，ν1)，(ω2，ν2)，…，(ωn，νn)，其回歸直線＝＋ω的斜率和截距的最小二乘估計分別為＝，＝－. [解] (1)由散點圖判斷，y＝c＋更適合作為該圖書每冊的成本費y(單位：元)與印刷數(shù)量x(單位：千冊)的回歸方程． (2)令u＝，先建立y關于u的線性回歸方程， 由于＝＝≈8.957≈8.96， ∴＝－＝3.63－8.9570.269≈1.22， ∴y關于u的線性回歸方程為＝1.22＋8.96u， ∴y關于x的回歸方程為＝1.22＋. (3)假設印刷x千冊， 依題意得10x－x≥78.840， ∴x≥10， ∴至少印刷10 000冊才能使銷售利潤不低于78 840元． [類題通法] 解決非線性回歸問題的關鍵是適當換元，將非線性回歸分析轉化為線性回歸分析問題求解． [綜合訓練] 1．(2018全國卷Ⅱ)下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎設施投資額y(單位：億元)的折線圖． 為了預測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額，建立了y與時間變量t的兩個線性回歸模型．根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)(時間變量t的值依次為1,2，…，17)建立模型①：＝－30.4＋13.5t；根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)(時間變量t的值依次為1,2，…，7)建立模型②：＝99＋17.5t. (1)分別利用這兩個模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值； (2)你認為用哪個模型得到的預測值更可靠？并說明理由． 解：(1)利用模型①，可得該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值為＝－30.4＋13.519＝226.1(億元)． 利用模型②，可得該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值為＝99＋17.59＝256.5(億元)． (2)利用模型②得到的預測值更可靠． 理由如下： (ⅰ)從折線圖可以看出，2000年至2016年的數(shù)據(jù)對應的點沒有隨機散布在直線y＝－30.4＋13.5t上下，這說明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①不能很好地描述環(huán)境基礎設施投資額的變化趨勢.2010年相對2009年的環(huán)境基礎設施投資額有明顯增加，2010年至2016年的數(shù)據(jù)對應的點位于一條直線的附近，這說明從2010年開始環(huán)境基礎設施投資額的變化規(guī)律呈線性增長趨勢，利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型＝99＋17.5t可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎設施投資額的變化趨勢，因此利用模型②得到的預測值更可靠． (ⅱ)從計算結果看，相對于2016年的環(huán)境基礎設施投資額220億元，由模型①得到的預測值226.1億元的增幅明顯偏低，而利用模型②得到的預測值的增幅比較合理，說明利用模型②得到的預測值更可靠． (以上給出了2種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分) 2．某市春節(jié)期間7家超市的廣告費支出xi(萬元)和銷售額yi(萬元)數(shù)據(jù)如下： 超市 A B C D E F G 廣告費支出x 1 2 4 6 11 13 19 銷售額y 19 32 40 44 52 53 54 (1)若用線性回歸模型擬合y與x的關系，求y關于x的線性回歸方程； (2)若用二次函數(shù)回歸模型擬合y與x的關系，可得回歸方程為＝－0.17x2＋5x＋20，經(jīng)計算二次函數(shù)回歸模型和線性回歸模型的R2分別約為0.92和0.75，請用R2說明選擇哪個回歸模型更合適，并用此模型預測A超市廣告費支出為3萬元時的銷售額． 參數(shù)數(shù)據(jù)及公式：＝8，＝42，iyi＝2 794， ＝708，＝，＝－. 解：(1)∵＝＝＝1.7， ∴＝－＝42－1.78＝28.4. ∴y關于x的線性回歸方程是＝1.7x＋28.4. (2)∵0.75<0.92， ∴二次函數(shù)回歸模型更合適． 當x＝3萬元時，＝－0.179＋53＋20＝33.47， ∴預測A超市銷售額為33.47萬元. 獨立性檢驗 [由題知法] (2018鄭州質量預測)2018年10月份鄭州市進行了高三學生的體育學業(yè)水平測試，為了考察高中學生的身體素質情況，現(xiàn)抽取了某校1 000名(男生800名，女生200名)學生的測試成績，根據(jù)性別按分層抽樣的方法抽取100名學生的測試成績進行分析，得到如下統(tǒng)計表： 男生測試情況： 抽樣情況 病殘免試 不合格 合格 良好 優(yōu)秀 人數(shù) 5 10 15 47 x 女生測試情況： 抽樣情況 病殘免試 不合格 合格 良好 優(yōu)秀 人數(shù) 2 3 10 y 2 (1)現(xiàn)從抽取的100名且測試等級為“優(yōu)秀”的學生中隨機選出2名學生，求選出的這2名學生恰好是一男一女的概率； (2)若測試等級為“良好”或“優(yōu)秀”的學生為“體育達人”，其他等級(含病殘免試)的學生為“非體育達人”，根據(jù)以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面列聯(lián)表，并回答能否在犯錯誤的概率不超過0.010的前提下認為“是否為‘體育達人’與性別有關？” 男性 女性 總計 體育達人 非體育達人 總計 臨界值表： P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. [解] (1)按分層抽樣的方法男生應抽取80名，女生應抽取20名， ∴x＝80－(5＋10＋15＋47)＝3，y＝20－(2＋3＋10＋2)＝3. 抽取的100名且測試等級為“優(yōu)秀”的3名男生分別記為A，B，C,2名女生分別記為a， b. 從5名學生中任選2名，總的基本事件有(A，B)，(A，C)，(A，a)，(A，b)，(B，C)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，(a，b)，共10個． 設“選出的2名學生恰好是一男一女”為事件M， 則事件M包含的基本事件有(A，a)，(A，b)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，共6個， ∴P(A)＝＝. (2)22列聯(lián)表如下： 男生 女生 總計 體育達人 50 5 55 非體育達人 30 15 45 總計 80 20 100 則K2＝ ＝≈9.091. ∵9.091＞6.635且P(K2≥6.635)＝0.010， ∴能在犯錯誤的概率不超過0.010的前提下認為“是否為‘體育達人’與性別有關”． [類題通法] 獨立性檢驗的關鍵 (1)根據(jù)22列聯(lián)表準確計算K2的觀測值k，若22列聯(lián)表沒有列出來，要先列出此表． (2)K2的觀測值k越大，對應假設事件H0成立(兩類變量相互獨立)的概率越小，H0不成立的概率越大． [應用通關] 2018年2月22日上午，山東省委、省政府在濟南召開山東省全面展開新舊動能轉換重大工程動員大會，會議動員各方力量，迅速全面展開新舊動能轉換重大工程．某企業(yè)響應號召，對現(xiàn)有設備進行改造，為了分析設備改造前后的效果，現(xiàn)從設備改造前后生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了200件產(chǎn)品作為樣本，檢測一項質量指標值，若該項質量指標值落在[20,40)內(nèi)的產(chǎn)品視為合格品，否則為不合格品．設備改造前的樣本的頻率分布直方圖和設備改造后的樣本的頻數(shù)分布表如下所示． 設備改造后樣本的頻數(shù)分布表： 質量指標值 [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) [40,45] 頻數(shù) 4 36 96 28 32 4 (1)完成下面的22列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質量指標值與設備改造有關； 設備改造前 設備改造后 總計 合格品 不合格品 總計 (2)根據(jù)上述數(shù)據(jù)，試從產(chǎn)品合格率的角度對改造前后設備的優(yōu)劣進行比較； (3)根據(jù)市場調(diào)查，設備改造后，每生產(chǎn)一件合格品企業(yè)可獲利180元，一件不合格品虧損100元，用頻率估計概率，求生產(chǎn)1 000件產(chǎn)品企業(yè)大約能獲利多少元？ 附： P(K2≥k0) 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 K2＝，n＝a＋b＋c＋d. 解：(1)根據(jù)題中圖和表得到22列聯(lián)表： 設備改造前 設備改造后 總計 合格品 172 192 364 不合格品 28 8 36 總計 200 200 400 將22列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式得 K2＝≈12.210. ∵12.210>6.635， ∴有99%的把握認為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質量指標值與設備改造有關． (2)由22列聯(lián)表可知， 設備改造后產(chǎn)品的合格率約為＝0.96， 設備改造前產(chǎn)品的合格率約為＝0.86， 即設備改造后產(chǎn)品的合格率更高，因此，設備改造后性能更好． (3)用頻率估計概率，1 000件產(chǎn)品中大約有960件合格品，40件不合格品，則180960－10040＝168 800， ∴該企業(yè)大約能獲利168 800元． [專題跟蹤檢測](對應配套卷P200) 1．在一次馬拉松比賽中，35名運動員的成績(單位：分鐘)的莖葉圖如圖所示. 若將運動員按成績由好到差編為1～35號，再用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取7人，則其中成績在區(qū)間[139,151]上的運動員人數(shù)是( ) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：選B 由系統(tǒng)抽樣可知，35人分為7組，每組5人，最后一組成績均大于151，前兩組成績均小于139，故成績在區(qū)間[139,151]上的運動員人數(shù)為4. 2．“雙色球”彩票中紅色球的號碼由編號為01,02，…，33的33個個體組成，一位彩民利用下面的隨機數(shù)表選取6組數(shù)作為6個紅色球的編號，選取方法是從隨機數(shù)表第1行的第6列和第7列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字，則選出來的第6個紅色球的編號為( ) 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 A.23 B．09 C．02 D．17 解析：選C 從隨機數(shù)表第1行的第6列和第7列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字，則選出的6個紅色球的編號依次為21,32,09,16,17,02，故選出的第6個紅色球的編號為02.故選C. 3．(2018昆明調(diào)研)下圖是1951～2016年我國年平均氣溫變化圖． 根據(jù)上圖，判斷下列結論正確的是( ) A．1951年以來，我國年平均氣溫逐年增高 B．1951年以來，我國年平均氣溫在2016年再創(chuàng)新高 C．2000年以來，我國年平均氣溫都高于1981～2010年的平均值 D．2000年以來，我國年平均氣溫的平均值高于1981～2010年的平均值 解析：選D 由1951～2016年我國年平均氣溫變化圖可以看出，年平均氣溫有升高的也有降低的，所以選項A不正確；2016年的年平均氣溫不是最高的，所以選項B不正確；2012年的年平均氣溫低于1981～2010年的平均值，所以選項C不正確；2000年以來，只有2012年的年平均氣溫低于1981～2010年的平均值，所以2000年以來，我國年平均氣溫的平均值高于1981～2010年的平均值，故選項D正確，故選D. 4．(2018惠州模擬)某商場為了了解毛衣的月銷售量y(件)與月平均氣溫x(℃)之間的關系，隨機統(tǒng)計了某4個月的月銷售量與當月平均氣溫，其數(shù)據(jù)如下表： 月平均氣溫x/℃ 17 13 8 2 月銷售量y/件 24 33 40 55 由表中數(shù)據(jù)算出線性回歸方程＝x＋中的＝－2，氣象部門預測下個月的平均氣溫約為6 ℃，據(jù)此估計該商場下個月毛衣銷售量約為( ) A．46件 B．40件 C．38件 D．58件 解析：選A 由題中數(shù)據(jù)，得＝10，＝38，回歸直線＝x＋過點(，)，且＝－2，代入得＝58，則回歸方程＝－2x＋58，所以當x＝6時，y＝46，故選A. 5．(2018鄭州質量預測)我市某高中從高三年級甲、乙兩個班中各選出7名學生參加2018年全國高中數(shù)學聯(lián)賽(河南初賽)，他們?nèi)〉玫某煽?滿分140分)的莖葉圖如圖所示，其中甲班學生成績的中位數(shù)是81，乙班學生成績的平均數(shù)是86，若正實數(shù)a，b滿足a，G，b成等差數(shù)列且x，G，y成等比數(shù)列，則＋的最小值為( ) A. B．2 C. D．9 解析：選C 由甲班學生成績的中位數(shù)是81，可知81為甲班7名學生的成績按從小到大的順序排列的第4個數(shù)，故x＝1.由乙班學生成績的平均數(shù)為86，可得(－10)＋(－6)＋(－4)＋(y－6)＋5＋7＋10＝0，解得y＝4.由x，G，y成等比數(shù)列，可得G2＝xy＝4，由正實數(shù)a，b滿足a，G，b成等差數(shù)列，可得G＝2，a＋b＝2G＝4，所以＋＝(a＋b)＝≥(5＋4)＝(當且僅當b＝2a時取等號)．故＋的最小值為，選C. 6．某高校調(diào)查了200名學生每周的自習時間(單位：小時)，制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中自習時間的范圍是[17.5,30]，樣本數(shù)據(jù)分組為[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30]．根據(jù)頻率分布直方圖，這200名學生中每周的自習時間不少于22.5小時的人數(shù)是( ) A．56 B．60 C．120 D．140 解析：選D 由頻率分布直方圖可知，每周的自習時間不少于22.5小時的頻率為(0.16＋0.08＋0.04)2.5＝0.7，所以每周的自習時間不少于22.5小時的人數(shù)是2000.7＝140. 7.空氣質量指數(shù)(Air Quality Index，簡稱AQI)是定量描述空氣質量狀況的指數(shù)，空氣質量按照AQI大小分為六級，0～50為優(yōu)；51～100為良；101～150為輕度污染；151～200為中度污染；201～300為重度污染；大于300為嚴重污染．從某地一環(huán)保人士某年的AQI記錄數(shù)據(jù)中，隨機抽取10個，其莖葉圖記錄如圖所示．根據(jù)該統(tǒng)計數(shù)據(jù)，估計此地該年AQI大于100的天數(shù)約為__________．(該年為365天) 解析：該樣本中AQI大于100的頻數(shù)是4，頻率為，由此估計該地全年AQI大于100的概率為，估計此地該年AQI大于100的天數(shù)約為365＝146. 答案：146 8．某學校高二年級共有女生300人，現(xiàn)調(diào)查她們每天的課外運動時間，發(fā)現(xiàn)她們的課外運動時間介于30分鐘到90分鐘，如圖是統(tǒng)計結果的頻率分布直方圖，則她們的平均運動時間大約是________分鐘． 解析：由題圖得平均運動時間約為350.1＋450.1＋550.5＋650.2＋750.05＋850.05＝56.5(分鐘)． 答案：56.5 9.如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩位射箭運動員的5次比賽成績(單位：環(huán))，若兩位運動員平均成績相同，則成績較為穩(wěn)定(方差較小)的那位運動員成績的方差為________． 解析：由題意知＝90， 則＝90， 解得x＝2， 所以s＝[(87－90)2＋(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(93－90)2]＝4， s＝ [(88－90)2＋(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(92－90)2]＝2， 所以s>s，所以成績較為穩(wěn)定(方差較小)的那位運動員成績的方差為2. 答案：2 10．某公司為了解廣告投入對銷售收益的影響，在若干地區(qū)共投入4萬元廣告費用，并將各地的銷售收益繪制成頻率分布直方圖(如圖所示)．由于工作人員操作失誤，橫軸的數(shù)據(jù)丟失，但可以確定橫軸是從0開始計數(shù)的． (1)根據(jù)頻率分布直方圖，計算圖中各小矩形的寬度； (2)試估計該公司投入4萬元廣告費用之后，對應銷售收益的平均值(以各組的區(qū)間中點值代表該組的取值)； (3)該公司按照類似的研究方法，測得另外一些數(shù)據(jù)，并整理得到下表： 廣告投入x/萬元 1 2 3 4 5 銷售收益y/萬元 2 3 2 7 由表中的數(shù)據(jù)顯示，x與y之間存在線性相關關系，請將(2)的結果填入空白欄，并求出y關于x的回歸直線方程． 附：＝，＝－. 解：(1)設各小矩形的寬度為m，由頻率分布直方圖中各小矩形的面積和為1，可知(0.08＋0.10＋0.14＋0.12＋0.04＋0.02)m＝1， 解得m＝2， 故圖中各小矩形的寬度為2. (2)由(1)知各分組依次是[0,2)，[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10)，[10,12]，它們的中點的橫坐標分別為1,3,5,7,9,11， 各組對應的頻率分別為0.16,0.20,0.28,0.24,0.08,0.04， 故可估計銷售收益的平均值為10.16＋30.20＋50.28＋70.24＋90.08＋110.04＝5. (3)由(2)可知空白欄中填5， 由題意可知，＝＝3， ＝＝3.8， iyi＝12＋23＋32＋45＋57＝69， ＝12＋22＋32＋42＋52＝55， 所以＝＝1.2， ＝3.8－1.23＝0.2， 故所求的回歸直線方程為＝1.2x＋0.2. 11．(2018全國卷Ⅲ)某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術創(chuàng)新活動，提出了完成某項生產(chǎn)任務的兩種新的生產(chǎn)方式．為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機分成兩組，每組20人．第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式．根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務的工作時間(單位：min)繪制了如下莖葉圖： (1)根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說明理由． (2)求40名工人完成生產(chǎn)任務所需時間的中位數(shù)m，并將完成生產(chǎn)任務所需時間超過m和不超過m的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表： 超過m 不超過m 第一種生產(chǎn)方式 第二種生產(chǎn)方式 (3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表，能否有99%的把握認為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？ 附：K2＝， 解：(1)第二種生產(chǎn)方式的效率更高． 理由如下： (ⅰ)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務所需時間至少80 min，用第二種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務所需時間至多79 min.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高． (ⅱ)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務所需時間的中位數(shù)為85.5 min，用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務所需時間的中位數(shù)為73.5 min.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高． (ⅲ)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務所需平均時間高于80 min；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務所需平均時間低于80 min.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高． (ⅳ)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務所需時間分布在莖8上的最多，關于莖8大致呈對稱分布；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務所需時間分布在莖7上的最多，關于莖7大致呈對稱分布．又用兩種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務所需時間分布的區(qū)間相同，故可以認為用第二種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務所需的時間比用第一種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務所需的時間更少．因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高． (以上給出了4種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分) (2)由莖葉圖知m＝＝80. 列聯(lián)表如下： 超過m 不超過m 第一種生產(chǎn)方式 15 5 第二種生產(chǎn)方式 5 15 (3)因為K2＝＝10>6.635，所以有99%的把握認為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異． 12．在一次抽樣調(diào)查中測得樣本的6組數(shù)據(jù)，得到一個變量y關于x的回歸方程模型，其對應的數(shù)值如下表： x 2 3 4 5 6 7 y 3.00 2.48 2.08 1.86 1.48 1.10 (1)請用相關系數(shù)r說明y與x之間存在線性相關關系(當|r|>0.75時，說明y與x之間具有線性相關關系)； (2)根據(jù)(1)的判斷結果，建立y關于x的回歸直線方程并預測當x＝9時，對應的值為多少(精確到0.01)． 附：回歸直線方程為＝x＋， 其中＝，＝－， 相關系數(shù)r的公式為r＝. 參考數(shù)據(jù)： iyi＝47.64，＝139，(xi－)(yi－)＝－6.36， ≈4.18, ≈1.53. 解：(1)由題意，得＝(2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4.5， ＝(3.00＋2.48＋2.08＋1.86＋1.48＋1.10)＝2， 又(xi－)(yi－)＝－6.36, ≈4.18，≈1.53， 所以r＝≈≈－0.99. 因為|r|>0.75，所以y與x之間存在線性相關關系． (2)因為＝＝ ≈－0.363≈－0.36， ＝－＝2＋0.3634.5≈3.63， 所以y關于x的線性回歸方程為＝－0.36x＋3.63. 將x＝9代入回歸方程得＝－0.369＋3.63＝0.39. 13．(2019屆高三廣州調(diào)研)某基地蔬菜大棚采用無土栽培方式種植各類蔬菜．過去50周的資料顯示，該地周光照量X(單位：小時)都在30小時以上，其中不足50小時的有5周，不低于50小時且不超過70小時的有35周，超過70小時的有10周．根據(jù)統(tǒng)計，該基地的西紅柿增加量y(千克)與使用某種液體肥料的質量x(千克)之間的對應數(shù)據(jù)為如圖所示的折線圖． (1)依據(jù)折線圖計算相關系數(shù)r(精確到0.01)，并據(jù)此判斷是否可用線性回歸模型擬合y與x的關系．(若|r|>0.75，則線性相關程度很高，可用線性回歸模型擬合) (2)蔬菜大棚對光照要求較高，某光照控制儀商家為該基地提供了部分光照控制儀，但每周光照控制儀運行臺數(shù)受周光照量X限制，并有如下關系： 周光照量X/小時 30
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