專(zhuān)題十四 函數(shù)與不等式【母題原題1】【2018浙江，15】已知R，函數(shù)f(x)=，當(dāng)=2時(shí)，不等式f(x)<0的解集是_若函數(shù)f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是_【答案】 (1). (1,4) (2). 【解析】分析:根據(jù)分段函數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)不等式組，分別求解，最后求并集.先討論一次函數(shù)零點(diǎn)的取法，再對(duì)應(yīng)確定二次函數(shù)零點(diǎn)的取法，即得參數(shù)的取值范圍.詳解：由題意得或，所以或，即，不等式f(x)<0的解集是點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路：(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解【母題原題2】【2017浙江，17】已知，函數(shù)在區(qū)間1,4上的最大值是5，則a的取值范圍是_【答案】【解析】，分類(lèi)討論：當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)的最大值，舍去；當(dāng)時(shí)， ，此時(shí)命題成立；當(dāng)時(shí)， ，則：或，解得： 或綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍是【名師點(diǎn)睛】本題利用基本不等式，由，得，通過(guò)對(duì)解析式中絕對(duì)值符號(hào)的處理，進(jìn)行有效的分類(lèi)討論：；，問(wèn)題的難點(diǎn)在于對(duì)分界點(diǎn)的確認(rèn)及討論上，屬于難題解題時(shí)，應(yīng)仔細(xì)對(duì)各種情況逐一進(jìn)行討論【母題原題3】【2016浙江，理18】已知，函數(shù)F（x）=min2|x1|，x22ax+4a2，其中minp，q= （）求使得等式F（x）=x22ax+4a2成立的x的取值范圍；（）（）求F（x）的最小值m（a）；（）求F（x）在區(qū)間0,6上的最大值M（a）.【答案】（）；（）（）；（）試題解析：（）由于，故當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以，使得等式成立的的取值范圍為（）（）設(shè)函數(shù)，則，所以，由的定義知，即（）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以，【考點(diǎn)】函數(shù)的單調(diào)性與最值，分段函數(shù)，不等式【思路點(diǎn)睛】（）根據(jù)的取值范圍化簡(jiǎn)，即可得使得等式成立的的取值范圍；（）（）先求函數(shù)和的最小值，再根據(jù)的定義可得；（）根據(jù)的取值范圍求出的最大值，進(jìn)而可得【命題意圖】高考對(duì)本部分內(nèi)容的以考查能力為主，重點(diǎn)考查分段函數(shù)、絕對(duì)值的概念、基本函數(shù)的性質(zhì)、不等式的解法，考查數(shù)學(xué)式子變形的能力、運(yùn)算求解能力、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想.【命題規(guī)律】函數(shù)是高考命題熱點(diǎn)之一，往往以常見(jiàn)函數(shù)為基本考察對(duì)象，以絕對(duì)值或分段函數(shù)的呈現(xiàn)方式，與不等式相結(jié)合，考查函數(shù)的基本性質(zhì)，如單調(diào)性與最值、函數(shù)與方程（零點(diǎn)）、不等式的解法等.由于導(dǎo)數(shù)的加入，除將函數(shù)與導(dǎo)數(shù)相結(jié)合考查外，仍有對(duì)函數(shù)獨(dú)立的考查題目，難度基本穩(wěn)定在中等或以下.【答題模板】求解函數(shù)不等式問(wèn)題，一般考慮：第一步：化簡(jiǎn)函數(shù)，明確函數(shù)的構(gòu)成特點(diǎn).當(dāng)呈現(xiàn)方式含絕對(duì)值式時(shí)，要利用絕對(duì)值的概念化簡(jiǎn)函數(shù)；第二步：根據(jù)函數(shù)特征，聯(lián)想函數(shù)的性質(zhì)，確定求解方法.根據(jù)函數(shù)的構(gòu)成特點(diǎn)，結(jié)合題目要求，聯(lián)想函數(shù)的單調(diào)性、零點(diǎn)的概念、不等式的解法、不等式恒成立問(wèn)題的解法等；第三步：運(yùn)算求解.【方法總結(jié)】1.確定函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間的常用方法(1)利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理：首先看函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)f(b)<0.若有，則函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)必有零點(diǎn).(2)數(shù)形結(jié)合法：通過(guò)畫(huà)函數(shù)圖象，觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來(lái)判斷.2.已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)取值范圍常用的方法(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解3.確定函數(shù)最值的方法：（1）單調(diào)性法：考查函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)的最值點(diǎn)，便可求出函數(shù)相應(yīng)的最值.（2）圖象法：對(duì)于由基本初等函數(shù)圖象變化而來(lái)的函數(shù)，通過(guò)觀察函數(shù)圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)確定函數(shù)的最值.（3）分段函數(shù)的最值：將每段函數(shù)的最值求出，比較大小確定函數(shù)的最值.（4）導(dǎo)數(shù)法：對(duì)于一般的可導(dǎo)函數(shù)，可以利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值，并與端點(diǎn)值進(jìn)行大小比較，從而確定函數(shù)的最值.4.分段函數(shù)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的分類(lèi)討論思想，求解分段函數(shù)問(wèn)題時(shí)應(yīng)注意以下三點(diǎn)：(1)明確分段函數(shù)的分段區(qū)間(2)依據(jù)自變量的取值范圍，選好討論的切入點(diǎn)，并建立等量或不等量關(guān)系(3)在通過(guò)上述方法求得結(jié)果后，應(yīng)注意檢驗(yàn)所求值(范圍)是否落在相應(yīng)分段區(qū)間內(nèi)5.含絕對(duì)值不等式的應(yīng)用中的數(shù)學(xué)思想(1)利用“零點(diǎn)分段法”求解，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的思想；(2)利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想1【2018屆浙江省杭州市第二中學(xué)6月熱身】設(shè)函數(shù)f(x)=minx-2,x2,x+2，其中minx,y,z表示x,y,z中的最小者.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的（ ）A. 函數(shù)f(x)為偶函數(shù) B. 若x1,+)時(shí)，有f(x-2)f(x)C. 若xR時(shí)，f(f(x)f(x) D. 若x-4,4時(shí)，f(x-2)f(x)【答案】D【解析】分析：fx的圖像可由三個(gè)函數(shù)y=x-2,y=x2,y=x+2的圖像得到（三圖壘起，取最下者），然后依據(jù)圖像逐個(gè)檢驗(yàn)即可詳解：在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出y=x-2,y=x2,y=x+2的圖像（如圖所示），故fx的圖像為圖中粗線所示fx的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，故fx為偶函數(shù)，故A正確當(dāng)1x2時(shí)，-1x-20，fx-2=f2-x2-x=fx；當(dāng)2<x3時(shí)，0<x-21，fx-2x-2=fx；當(dāng)3<x4時(shí)，1<x-22，fx-2=2-x-2=4-xx-2=fx；當(dāng)x4時(shí)，x-22，此時(shí)有fx-2<fx，故B成立從圖像上看，當(dāng)x0,+時(shí)，有fxx成立，令t=fx，則t0，故ffxfx，故C成立取x=32，則f-12=f12=14，f32=12，fx-2<fx，故D不成立綜上，選D點(diǎn)睛：一般地，若fx=minSx,Tx（其中minx,y表示x,y中的較小者），則fx的圖像是由Sx,Tx這兩個(gè)函數(shù)的圖像的較低部分構(gòu)成的2【2018屆黑龍江省哈爾濱師范大學(xué)附屬中學(xué)三?！恳阎瘮?shù)f(x)=e(x+1)2,x0x+4x-3,x>0，函數(shù)y=fx-a有四個(gè)不同的零點(diǎn)，從小到大依次為x1,x2,x3,x4則x1x2+x3+x4的取值范圍為（ ）A. (4,4+e) B. 4,4+e) C. 4，+ D. -,4【答案】A【解析】分析：首先根據(jù)題中所給的函數(shù)解析，將函數(shù)的大致圖像畫(huà)出來(lái)，可以判斷出函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)時(shí)對(duì)應(yīng)參數(shù)a的范圍，并且可以斷定有兩個(gè)正根，兩個(gè)負(fù)根，以及兩個(gè)負(fù)根和為定值，從而確定出其積的取值范圍，兩個(gè)正根可以解方程，之后用兩根和來(lái)斷定，最后根據(jù)題的條件，確定出其取值范圍.所以x1x2+x3+x4(4,4+e)，故選A.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)函數(shù)零點(diǎn)的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)由函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)性，對(duì)勾函數(shù)圖像的走向，函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)向向函數(shù)圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)靠攏，總之要想最對(duì)改題目，必須將基礎(chǔ)知識(shí)抓牢.3【2018屆福建省莆田市第二次檢測(cè)】已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且滿足f(x)=x-x2,0x<2,2-xex,x2,若函數(shù)F(x)=f(x)-m有六個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）A. (-1e3,14) B. (-1e3,0)(0,14) C. (-1e3,0 D. (-1e3,0)【答案】D【解析】分析：首先根據(jù)題中所給的函數(shù)解析式，將函數(shù)圖像畫(huà)出來(lái)，注意分段函數(shù)要明確相應(yīng)的式子，當(dāng)0x<2時(shí)，很容易畫(huà)出拋物線段，當(dāng)x2時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)解析式，確定出函數(shù)值的符號(hào)，從而畫(huà)出函數(shù)的圖像，利用偶函數(shù)的圖像的對(duì)稱(chēng)性，得到函數(shù)fx的圖像與直線y=m在y軸右側(cè)有三個(gè)交點(diǎn)，觀察圖像可得結(jié)果.詳解：畫(huà)出函數(shù)的圖像，當(dāng)0x<2時(shí)，很容易畫(huà)出拋物線段，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)y=2-xex(x2)的圖像的走向，從而確定出其在2,3)上單調(diào)減，在3,+)上單調(diào)增，但是其一直落在x軸下方，因?yàn)閒(x)是定義在R上的偶函數(shù)，所以函數(shù)F(x)=f(x)-m有六個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于有三個(gè)正的零點(diǎn)，相當(dāng)于函數(shù)fx的圖像與直線y=m在y軸右側(cè)有三個(gè)交點(diǎn)，觀察圖像可知m的取值范圍是(-1e3,0)，故選D.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題，在求解的過(guò)程中，將零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，結(jié)合偶函數(shù)的圖像的對(duì)稱(chēng)性，得到在y軸右側(cè)有三個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)圖像的走向，從而觀察圖像求得結(jié)果.4【2018屆天津市濱海新區(qū)七所重點(diǎn)學(xué)校聯(lián)考】已知函數(shù)fx=xx-a+2x，若存在a2，3，使得關(guān)于x的函數(shù)y=fx-tfa有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（ ）A. 98，54 B. 1，2524 C. 1，98 D. 1，54【答案】B【解析】a2,3,fx=x2+2-ax,xa-x2+2+ax,x<a,當(dāng)xa時(shí),fx=x2+2-ax,其對(duì)稱(chēng)軸x=a-22<a,則函數(shù)在a,+上為增函數(shù),此時(shí)fx的值域?yàn)?a,+;當(dāng)x<a時(shí),fx=-x2+2+ax,其對(duì)稱(chēng)軸x=a+22<a,則函數(shù)在-,a+22上為增函數(shù),此時(shí)函數(shù)的值域?yàn)?,a+224,函數(shù)在a+22,a上為減函數(shù),值域?yàn)?a,a+224.由于關(guān)于x的函數(shù)y=fx-tfa有三個(gè)不同的零點(diǎn),所以2at2a,a+224,t1,a+228a.而a+228a=18a+4a+4為增函數(shù),故t<a+228amax=3+2283=2524.所以t1,2524.故選B.5【百校聯(lián)盟2018屆TOP202018屆三月聯(lián)考】已知若， 恒成立，則的取值范圍為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)， ，則是的最大值， ，當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，要滿足，需，即，解之得，得的取值范圍是，故選C.6【2018屆北京市人大附中二?！恳阎瘮?shù)fx=x-3,x3-(x-3)2,x>3函數(shù)gx=b-f3-x，其中bR，若函數(shù)y=fx-gx恰有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（ ）A. -114,+ B. -3,-114 C. -,-114 D. -3,0【答案】B【解析】y=fx+f3-x-b=0,fx+f3-x=b.構(gòu)造函數(shù)Fx=fx+f3-x=-x2-x-3,x<0-3,0x3-x2+7x-15,x>3,畫(huà)出函數(shù)Fx的圖象如下圖所示,其中A,B的坐標(biāo)分別為-12,-114,72,-114.故當(dāng)b-3,-114時(shí),與y=b有4個(gè)交點(diǎn),故選B.7.【2018屆浙江省紹興市5月調(diào)測(cè)】設(shè)函數(shù)f(x)=1x-1-a-4x+a+1有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值是_.【答案】-12,72,4【解析】分析：將原問(wèn)題進(jìn)行換元，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)的問(wèn)題，然后結(jié)合函數(shù)圖像的特征整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.詳解：不防令t=1x-1，則x=1+1t.原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y1=t-a+a與函數(shù)y2=41+1t-1=4t+3的圖像有2個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)y2=4t+3的圖像是確定的，如下所示(三個(gè)函數(shù)圖像對(duì)應(yīng)滿足題意的三種情況)，而函數(shù)y1=t-a+a是一動(dòng)態(tài)V函數(shù)，頂點(diǎn)軌跡y=x，當(dāng)動(dòng)態(tài)V函數(shù)的一支與反比例函數(shù)相切時(shí)，即為所求.聯(lián)立y1=a-t+a=-t+2ay=4t+3可得t2+3-2at+4=0，則滿足題意時(shí)：=3-2a2-16=0，解得：a1=-12,a2=72，注意到當(dāng)V函數(shù)的頂點(diǎn)為4,4時(shí)滿足題意，此時(shí)a=4.綜上可得：實(shí)數(shù)a的值是-12,72,4.8【2018屆浙江省溫州市一?！恳阎瘮?shù)f(x)=|x+1x|+|m-x+1m-x|-a有六個(gè)不同零點(diǎn)，且所有零點(diǎn)之和為3，則a的取值范圍為_(kāi)【答案】a>5【解析】根據(jù)題意，有fx=fm-x，于是函數(shù)fx關(guān)于x=12m對(duì)稱(chēng)，結(jié)合所有的零點(diǎn)的平均數(shù)為12，可得m=1，此時(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)gx=x+1x+1-x+11-x，在12,+上與直線y=a有3個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)gx=1x+11-x+1,12<x<12x+1x+1x-1-1,x>1，當(dāng)12<x<1時(shí)，函數(shù)gx的導(dǎo)函數(shù)gx=-1x2+11-x2>0，于是函數(shù)gx單調(diào)遞增，且取值范圍是5,+，當(dāng)x>1時(shí)，函數(shù)gx的導(dǎo)函數(shù)gx=2-1x2-11-x2，考慮到gx是1,+上的單調(diào)遞增函數(shù)，且limx1+gx=-,limx+gx=2，于是gx在1,+上有唯一零點(diǎn)，記為x0，進(jìn)而函數(shù)gx在1,x0上單調(diào)遞減，在x0,+上單調(diào)遞增，在x=x0處取得極小值n，如圖：接下來(lái)問(wèn)題的關(guān)鍵是判斷n與5的大小關(guān)系，注意到，nf32=32+23+12+2=143<5，函數(shù)gx=x+1x+1-x+11-x，在12,+上與直線y=a有3個(gè)公共點(diǎn)，a的取值范圍是5,+,故答案為a>5 .9【2017屆浙江省臺(tái)州市高三上學(xué)期期末】已知函數(shù)f(x)=|x+1x-ax-b|(a,bR),當(dāng)x12,2時(shí)，設(shè)f(x)的最大值為M(a,b)，則M(a,b)的最小值為_(kāi)【答案】14【解析】設(shè)M=fmax(x)，則M=maxf(12),f(1),f(2)，由于Mf(12)=|52-12a-b|=12|a+2b-5|,Mf(1)=|2-a-b|,Mf(2)=12|4a+2b-5|，則M|2-a-b|,23M23f(12)=13|a+2b-5|,13M13f(2)=16|4a+2b-5|，所以將以上三式兩邊相加可得2M|2-a-b|+13|a+2b-5|+16|4a+2b-5|2-53-56|，即2M12M14，應(yīng)填答案14.10.【2018屆江蘇省揚(yáng)州樹(shù)人學(xué)校模擬四】已知函數(shù)f(x)=|x+a|+|x-1|,x>0,x2-ax+2,x0的最小值為a，則實(shí)數(shù)a的取值集合為_(kāi)【答案】-23-2,2.函數(shù)f(x) 最小值為a0，a=2當(dāng)0<-a1，即-1a<0時(shí)，則f(x)=-2x-a+1,0<x-aa+1,-a<x<12x+a-1,x1x2-ax+2,x0，f(x)在(-,0上上先減后增，最小值為fa2=2-a24；f(x)在(0,+)上的最小值為a+10函數(shù)f(x) 最小值為a<0，2-a24=a，解得a=-223，不合題意，舍去當(dāng)-a>1，即a<-1時(shí)，則f(x)=-2x-a+1,0<x1-a-1,1<x<-a2x+a-1,x-ax2-ax+2,x0，f(x)在(-,0上上先減后增，最小值為fa2=2-a24；f(x)在(0,+)上的最小值為-a-1>0函數(shù)f(x) 最小值為a<0，2-a24=a，解得a=-2-23或a=-2+23>0（舍去）綜上可得a=-2-23或a=2，實(shí)數(shù)a的取值集合為-23-2,211【2018屆湖南省岳陽(yáng)市第一中學(xué)一模】已知fx=-x-a2,x0,-x2-2x-3+a,x<0,若xR，fxf0恒成立，則a的取值范圍為_(kāi)【答案】-2,0【解析】分析：由題意若xR,fxf0，即函數(shù)fxmax=-a2，根據(jù)分段函數(shù)及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解實(shí)數(shù)a的取值范圍.12【浙江省溫州市十五校聯(lián)合體2017-2018學(xué)年高二下期中聯(lián)考】已知函數(shù)fx=x2-ax-1-1aR（1）若fx0在xR上恒成立，求a的取值范圍；（2）求fx在-2,2上的最大值M(a).【答案】(1)a-2；(2)Ma=0a33-a0a<33-3aa<0.【解析】分析：（1）先根據(jù)絕對(duì)值定義去掉絕對(duì)值，并分離變量得當(dāng)x>1時(shí)，ax+1；當(dāng)x<1時(shí)，a-x+1，當(dāng)x=1時(shí)，aR；再根據(jù)函數(shù)最值得a的取值范圍；（2）先根據(jù)圖像得函數(shù)最大值只能在f(1)，f(2)，f(-2)三處取得，再根據(jù)三者大小關(guān)系以及對(duì)應(yīng)對(duì)稱(chēng)軸確定最大值取法，最后用分段函數(shù)書(shū)寫(xiě).詳解：（1）即x2-1ax-1（*）對(duì)xR恒成立，當(dāng)x=1時(shí)，（*）顯然成立，此時(shí)aR；當(dāng)x1時(shí)，（*）可變形為ax2-1x-1，令x=x2-1x-1=x+1,x>1,-x+1,x<1.當(dāng)x>1時(shí)，x>2，a2當(dāng)x<1時(shí)，x>-2，所以x>-2，故此時(shí)a-2.綜合，得所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是a-2.（2）fx=x2-ax+a-11x2x2+ax-a-1-2x<1得：f(1)=0，f(2)=3-a，f(-2)=3-3a當(dāng)a3時(shí)，a232，-a2-32，f-2<f2f1=0，Ma=0；當(dāng)時(shí)0a<3，f-2f2，f1f2=3-a，即Ma=3-a當(dāng)a<0時(shí)，a2<0，-a2>0，f1<f2<f-2=3-3a，即Ma=3-3a所以Ma=0a33-a0a<33-3aa<0