難點自選專題一“選填”壓軸小題命題的4大區(qū)域全國卷3年考情分析題號考卷第11題第12題第15題第16題命題分析2018卷直線與雙曲線的位置關(guān)系及雙曲線的幾何性質(zhì)空間直線與平面的位置關(guān)系及其所成角的問題計數(shù)原理與組合問題三角函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)高考在選擇、填空壓軸題中，主要考查圓錐曲線的幾何性質(zhì)及圓錐曲線定義、函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)與不等式的求解、指數(shù)、對數(shù)式大小比較、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、幾何體的表面積與體積的計算及空間角問題，而三角函數(shù)、數(shù)列、平面向量也常有考查.卷函數(shù)的奇偶性與周期性橢圓的定義與橢圓的幾何性質(zhì)兩角和與差的公式應(yīng)用圓錐側(cè)面積的運算及空間角的問題卷雙曲線的幾何性質(zhì)不等式性質(zhì)及對數(shù)運算三角函數(shù)的零點問題拋物線的幾何性質(zhì)及應(yīng)用2017卷指數(shù)式與對數(shù)式的互化與對數(shù)運算及大小比較等差數(shù)列、等比數(shù)列前n項和公式的運用雙曲線的幾何性質(zhì)三棱錐的體積、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用卷利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值平面向量的數(shù)量積與最值等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式、特殊數(shù)列求和拋物線的定義及標準方程卷函數(shù)的零點問題平面向量基本定理、直線與圓的位置關(guān)系分段函數(shù)、解不等式空間中直線與直線的位置關(guān)系、空間向量2016卷平面與平面平行的性質(zhì)、異面直線所成的角及等角定理函數(shù)yAsin(x)的性質(zhì)等比數(shù)列通項公式、二次函數(shù)的最值及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)線性規(guī)劃的實際應(yīng)用卷雙曲線的定義及標準方程、離心率的計算函數(shù)圖象的對稱性推理與論證導(dǎo)數(shù)的計算與幾何意義、直線方程、斜率計算公式卷橢圓的離心率、直線斜率的應(yīng)用計數(shù)原理與組合問題函數(shù)的奇偶性、導(dǎo)數(shù)的幾何意義點到直線的距離公式，直線的斜率、傾斜角，直線與圓的位置關(guān)系命題區(qū)域(一)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)本類壓軸題常以分段函數(shù)、抽象函數(shù)等為載體，考查函數(shù)性質(zhì)、函數(shù)零點的個數(shù)、參數(shù)的范圍和通過函數(shù)性質(zhì)求解不等式問題等要注意函數(shù)yf(x)與方程f(x)0以及不等式f(x)>0的關(guān)系，進行彼此之間的轉(zhuǎn)化是解決該類題目的關(guān)鍵解決該類問題的途徑往往是構(gòu)造函數(shù)，進而研究函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)性質(zhì)去求解問題是常用方法其間要注意導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：利用導(dǎo)數(shù)研究可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，求可導(dǎo)函數(shù)的極值和最值，以及利用導(dǎo)數(shù)解決實際應(yīng)用題是導(dǎo)數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的主要應(yīng)用分段函數(shù)問題例1已知函數(shù)f(x)若f(x)無最大值，則實數(shù)a的取值范圍是_技法演示法一：分段處理，分類討論記g(x)x33x，h(x)2x，同時作出函數(shù)g(x)與h(x)的圖象，如圖所示，則h(x)在(，)上單調(diào)遞減，下面分析g(x)的單調(diào)性因為g(x)3x233(x1)(x1)，當x變化時，g(x)和g(x)變化如下：x(，1)1(1,1)1(1，)g(x)00g(x)極大值極小值下面分析f(x)的單調(diào)性，注意到f(x)結(jié)合前面g(x)與h(x)的單調(diào)性，我們可以按下述三種情況討論：a<11a1a1若a<1，則f(x)在(，a上的最大值為f(a)，由g(x)在(，1)上單調(diào)遞增，f(a)g(a)<g(1)2，而f(x)在(a，)上無最大值，取值范圍是(，2a)，由于2a>2，此時函數(shù)f(x)無最大值，符合題意若1a<1，則f(x)在(，a上的最大值為f(1)2，且當x>a時，f(x)h(x)<h(a) h(1)2，則當x1時，f(x)取得最大值，不符合題意若a1，由g(x)的單調(diào)性可得，f(x)在(，a上的最大值為f(1)或f(a)，令Mmaxf(1)，f(a)，則有Mf(1)2，而當x>a時，f(x)h(x)<h(a)h(1)2，則f(x)有最大值M，不符合題意綜上，若f(x)無最大值，則實數(shù)a的取值范圍是(，1)法二：整體考慮，正難則反記g(x)x33x，h(x)2x，由解法一知h(x)在(，)上單調(diào)遞減，且當x變化時，g(x)和g(x)變化如下：x(，1)1(1,1)1(1，)g(x)00g(x)極大值極小值由于h(x)在(a，)上單調(diào)遞減，無最大值，若f(x)有最大值，也只可能在x1或xa處取得，同時作出函數(shù)g(x)與h(x)的圖象，如圖所示，容易求得它們的交點分別是(1,2)，(0,0)和(1，2)注意到g(1)h(1)2，由圖象可見，若f(x)在x1處取得最大值，實數(shù)a的取值范圍是1,2，若f(x)在xa處取得最大值，實數(shù)a的取值范圍是2，)綜上，若f(x)有最大值，則實數(shù)a的取值范圍是1，)，從而，若f(x)無最大值，則實數(shù)a的取值范圍是(，1)法三：平移直線xa，直接秒殺根據(jù)題意，將函數(shù)f(x)采用分離的方式，記g(x)x33x，h(x)2x，同時在同一平面直角坐標系中作出函數(shù)g(x)與h(x)的圖象，將直線xa在圖象中沿著x軸左右平移，觀察直線xa與函數(shù)g(x)，h(x)的圖象的交點(曲線點實，直線點虛)變化，如圖所示，當直線xa在直線x1左邊時滿足條件“f(x)無最大值”，所以實數(shù)a的取值范圍是(，1)答案(，1)系統(tǒng)歸納“三招”破解分段函數(shù)最值問題分類討論研究分段函數(shù)f(x)的單調(diào)性，大多借助分類討論f(x)在各個分段上的最值如解法一是根據(jù)g(x)的單調(diào)性，對a進行分類討論整體思想從函數(shù)的整體性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性和周期性)出發(fā)，研究函數(shù)的最值問題當一個問題從正面不好入手時，也可從反面思考如解法二就采取正難則反的方法解題數(shù)形結(jié)合“以形助數(shù)”，作出函數(shù)或變形后的函數(shù)圖象，結(jié)合條件求解問題，解法三是利用數(shù)形結(jié)合的思想直觀得到結(jié)果應(yīng)用體驗1若函數(shù)f(x)|x1|2xa|的最小值為3，則實數(shù)a的值為()A5或8B1或5C1或4 D4或8解析：選D當a2時，f(x)如圖1可知，f(x)minf13，可得a8；當a<2時，f(x)如圖2可知，f(x)minf13，可得a4.函數(shù)的含參零點問題例2已知函數(shù)f(x)ax33x21，若f(x)存在唯一的零點x0，且x00，則a的取值范圍為()A(2，)B(，2)C(1，) D(，1)技法演示法一：分類討論，各個擊破分類討論就是將數(shù)學(xué)問題進行分類，然后對劃分的每一類分別進行研究，最后整合獲解，其基本思路是化整為零，各個擊破由已知得a0，f(x)3ax26x，令f(x)0，得x0或x.當a>0時，x(，0)，f(x)>0；x，f(x)<0；x，f(x)>0.所以函數(shù)f(x)在(，0)和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且f(0)1>0，故f(x)有小于零的零點，不符合題意當a<0時，x，f(x)<0；x，f(x)>0；x(0，)，f(x)<0.所以函數(shù)f(x)在和(0，)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以要使f(x)有唯一的零點x0，且x0>0，只需f>0，即a2>4，解得a<2.法二：數(shù)形結(jié)合，曲曲與共函數(shù)f(x)的零點，亦即函數(shù)f(x)的圖象與x軸的交點的橫坐標，是數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用的聯(lián)結(jié)點，因此用圖象來揭開函數(shù)零點的神秘面紗成為我們解決函數(shù)零點問題常用而最有效的策略令f(x)0，得ax33x21.問題轉(zhuǎn)化為g(x)ax3的圖象與h(x)3x21的圖象存在唯一的交點，且交點橫坐標大于零當a0時，函數(shù)g(x)的圖象與h(x)的圖象存在兩個的交點；當a>0時，如圖(1)所示，不合題意；當a<0時，由圖(2)知，可先求出函數(shù)g(x)ax3與h(x)3x21的圖象有公切線時a的值由g(x)h(x)，g(x)h(x)，得a2.由圖象可知當a<2時，滿足題意法三：參變分離，演繹高效參變分離法，亦即將原函數(shù)中的參變量進行分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決巧用參數(shù)分離求解零點問題，既可以回避對參數(shù)取值的分類討論，又形象直觀，一目了然易知x0，令f(x)0，則a，記g(x)，g(x)，可知g(x)在(，1)和(1，)上單調(diào)遞減，在(1,0)和(0,1)上單調(diào)遞增，且g(1)2，畫出函數(shù)大致圖象如圖所示，平移直線ya，結(jié)合圖象，可知a<2.答案B系統(tǒng)歸納“三招”破解含參零點問題帶參討論若無法通過等價轉(zhuǎn)化的思想將原問題化歸為相對容易的問題，此時應(yīng)根據(jù)題設(shè)要求合理地對參數(shù)的取值進行分類，并逐一求解利用該策略求解時一般要求我們明確討論的標準，必須做到不重不漏如解法一中就要考慮到a的正負對根“0”與“”大小的影響數(shù)形結(jié)合由兩個基本初等函數(shù)組合而得的函數(shù)f(x)g(x)h(x)的零點個數(shù)，等價于方程g(x)h(x)0的解的個數(shù)，亦即g(x)h(x)的解的個數(shù)，進而轉(zhuǎn)化為基本初等函數(shù)yg(x)與yh(x)的圖象的交點個數(shù)參變分離通過將原函數(shù)中的參變量進行分離后變形成g(x)l(a)，則原函數(shù)的零點問題化歸為與x軸平行的直線yl(a)和函數(shù)g(x)的圖象的交點問題應(yīng)用體驗2已知函數(shù)f(x)|x23x|(xR)若方程f(x)a|x1|0恰有4個互異的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍為_解析：法一：畫出函數(shù)f(x)|x23x|的大致圖象，如圖，令g(x)a|x1|，則函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)g(x)的圖象有且僅有4個不同的交點，顯然a>0.聯(lián)立消去y，得x2(3a)xa0，由>0，解得a<1或a>9；聯(lián)立消去y，得x2(3a)xa0，由>0，解得a>1或a<9.綜上，實數(shù)a的取值范圍為(0,1)(9，)法二：易知a>0，且x1不是方程的根故有ax15.設(shè)h(x)，則問題等價于曲線yh(x)與直線ya有4個不同交點作出圖象如圖所示顯然y9，y1是yh(x)的兩條切線，此時都只有3個交點于是，結(jié)合圖形知，當0<a<1或a>9時，直線ya與曲線yh(x)均有4個交點所以a的取值范圍為(0,1)(9，)答案：(0,1)(9，)抽象函數(shù)問題例3設(shè)函數(shù)f(x)是奇函數(shù)f(x)(xR)的導(dǎo)函數(shù)，f(1)0，當x>0時，xf(x)f(x)<0，則使得f(x)>0成立的x的取值范圍是()A(，1)(0,1)B(1,0)(1，)C(，1)(1,0) D(0,1)(1，)技法演示法一：構(gòu)造抽象函數(shù)法觀察xf(x)f(x)<0這個式子的特征，不難想到商的求導(dǎo)公式，設(shè)F(x).因為f(x)是奇函數(shù)，故F(x)是偶函數(shù)，F(xiàn)(x)，易知當x>0時，F(xiàn)(x)<0，所以函數(shù)F(x)在(0，)上單調(diào)遞減又f(1)0，則f(1)0，于是F(1)F(1)0，f(x)xF(x)，解不等式f(x)>0，即找到x與F(x)的符號相同的區(qū)間，易知當x(，1)(0,1)時，f(x)>0，故選A.法二：構(gòu)造具體函數(shù)法題目中沒有給出具體的函數(shù)，但可以根據(jù)已知條件構(gòu)造一個具體函數(shù)，越簡單越好，因此考慮簡單的多項式函數(shù)設(shè)f(x)是多項式函數(shù)，因為f(x)是奇函數(shù)，所以它只含x的奇次項又f(1)f(1)0，所以f(x)能被x21整除因此可取f(x)xx3，檢驗知f(x)滿足題設(shè)條件解不等式f(x)>0，得x(，1)(0,1)，故選A.答案A系統(tǒng)歸納1利用和差函數(shù)求導(dǎo)法則構(gòu)造函數(shù)(1)對于不等式f(x)g(x)>0(或<0)，構(gòu)造函數(shù)F(x)f(x)g(x)；(2)對于不等式f(x)g(x)>0(或<0)，構(gòu)造函數(shù)F(x)f(x)g(x)；特別地，對于不等式f(x)>k(或<k)(k0)，構(gòu)造函數(shù)F(x)f(x)kx.2利用積商函數(shù)求導(dǎo)法則構(gòu)造函數(shù)(1)對于不等式f(x)g(x)f(x)g(x)>0(或<0)，構(gòu)造函數(shù)F(x)f(x)g(x)；(2)對于不等式f(x)g(x)f(x)g(x)>0(或<0)，構(gòu)造函數(shù)F(x)(g(x)0)；(3)對于不等式xf(x)f(x)>0(或<0)，構(gòu)造函數(shù)F(x)xf(x)；(4)對于不等式xf(x)f(x)>0(或<0)，構(gòu)造函數(shù)F(x)(x0)；(5)對于不等式xf(x)nf(x)>0(或<0)，構(gòu)造函數(shù)F(x)(x0)；(6)對于不等式f(x)f(x)>0(或<0)，構(gòu)造函數(shù)F(x)exf(x)；(7)對于不等式f(x)f(x)>0(或<0)，構(gòu)造函數(shù)F(x).應(yīng)用體驗3定義在R上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x)，若對任意實數(shù)x，有f(x)>f(x)，且f(x)2 019為奇函數(shù)，則不等式f(x)2 019ex<0的解集是()A(，0) B(0，)C. D.解析：選B設(shè)g(x)，則g(x)<0，所以g(x)是R上的減函數(shù)，由于f(x)2 019為奇函數(shù)，所以f(0)2 019，g(0)2 019，因為f(x)2 019ex<0<2 019，即g(x)<g(0)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知不等式f(x)2 019ex<0的解集是(0，)，故選B.命題區(qū)域(二)三角函數(shù)、平面向量本類壓軸題主要考查三角恒等變換與三角函數(shù)、解三角形相結(jié)合的綜合問題其中三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角形的面積問題是重點考查內(nèi)容；平面向量主要考查與解析幾何、函數(shù)、不等式等相結(jié)合的有關(guān)數(shù)量積問題解決此類問題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化與化歸思想的靈活運用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)例1已知函數(shù)f(x)sin(x)>0，|，x為f(x)的零點，x為yf(x)圖象的對稱軸，且f(x)在上單調(diào)，則的最大值為()A11B9C7 D5技法演示法一：綜合法由f0，得k(kZ)，k，則f(x)sin(nZ)由f1，即sinsin 1，可知為正奇數(shù)(>0)由得又由于>0，所以k只能取0，1，2，3.當k0時，(2,2)；當k1時，(2,6)；當k2時，(6,10)；當k3時，(10,14)因為是正奇數(shù)(不超過12)，所以1,3,5,7,9,11當11時，x，x11x，里面含有，則f(x)在上不可能單調(diào)，不符合題意當9時，x，x9x，里面不含(nZ)中的任何一個，即f(x)在上單調(diào)，符合題意綜上，的最大值為9.故選B.法二：分類討論由題意T，即0<12.又由題意可得(n，kZ)，所以(n，kZ)又|，所以kn.(1)當kn0時，14k.由可得，當k2時，9，此時函數(shù)f(x)sin在上單調(diào)遞減，符合題意；當k1時，5，此時函數(shù)f(x)sin在上單調(diào)遞減，符合題意；當k0時，1，此時f(x)sin在上單調(diào)遞增，符合題意；(2)當kn1時，14k.由可得，當k1時，3，此時函數(shù)f(x)sin在上單調(diào)遞增，符合題意；當k2時，7，此時函數(shù)f(x)sin在上不單調(diào)，舍去；當k3時，11，此時f(x)sin在上不單調(diào)，舍去綜上，1,3,5,9，此法求出了的所有可能值答案B系統(tǒng)歸納三角函數(shù)圖象與性質(zhì)問題的解題策略(1)函數(shù)yAsin(x)(>0，A>0)的圖象的單調(diào)性、對稱性、周期、零點等問題中涉及的結(jié)論：若函數(shù)yAsin(x)(>0，A>0)有兩條對稱軸xa，xb，則有|ab|(kZ)；若函數(shù)yAsin(x)(>0，A>0)有兩個對稱中心M(a,0)，N(b,0)，則有|ab|(kZ)；若函數(shù)yAsin(x)(>0，A>0)有一條對稱軸xa，一個對稱中心M(b,0)，則有|ab|(kZ)(2)研究函數(shù)在某一特定區(qū)間的單調(diào)性，若函數(shù)僅含有一個參數(shù)的時候，利用導(dǎo)數(shù)的正負比較容易控制，但對于函數(shù)yAsin(x)(>0，A>0)含多個參數(shù)，并且具有周期性，很難解決，所以必須有合理的等價轉(zhuǎn)化方式才能解決解法一嘗試正面求解的可能值，但因單調(diào)區(qū)間的條件不好使用，仍然采取代入驗證的方法解決應(yīng)用體驗1若函數(shù)f(x)cos 2xasin x在區(qū)間上是減函數(shù)，則a的取值范圍是_解析：法一：導(dǎo)數(shù)法對f(x)cos 2xasin x求導(dǎo)，得f(x)2sin 2xacos x因為f(x)在區(qū)間上是減函數(shù)，所以f(x)0在上恒成立，即acos x2sin 2x4sin xcos x，而cos x>0，所以a4sin x在區(qū)間上，<sin x<1，于是a2.法二：圖象法f(x)cos 2xasin x12sin2xasin x221，設(shè)tsin x，由x，知t.要使g(t)221在上是減函數(shù)，只要即可，所以a(，2答案：(，2三角形面積最值問題例2已知a，b，c分別為ABC的三個內(nèi)角A，B，C的對邊，a2，且(2b)(sin Asin B)(cb)sin C，則ABC的面積的最大值為_技法演示法一：綜合運用正、余弦定理由正弦定理知(2b)(sin Asin B)(cb)sin C可化為(2b)(ab)c(cb)，將a2代入整理，得b2c2a2bc，所以cos A，故A，則ABC的面積Sbcsin Abc.而b2c2a2bc2bca2bc4，所以Sbc，當且僅當bc2時取到等號，故ABC的面積的最大值為.法二：正、余弦定理與數(shù)形結(jié)合由法一得A，可知ABC的邊a2為定長，A為定值，作出示意圖如圖所示，滿足條件的點A在圓周上的運動軌跡為優(yōu)弧BC(不包括兩個端點B，C)，易知當點A位于優(yōu)弧中點時，此時ABC的面積最大，由于A，則此時的ABC是等邊三角形，面積為.法三：正、余弦函數(shù)的有界性由法一知A，則由正弦定理得，bsin Bsin B，csin C，則SABCbcsin Abcsin Bsin Ccos(BC)cos(BC)cos(BC)，當且僅當cos(BC)1，即BC時，ABC的面積取得最大值.法四：函數(shù)思想由法三得SABCsin Bsin Csin BsinB，令g(B)sin Bsinsin Bcos Bsin Bsin.由0<B<，易得g(B)max，當且僅當B時取等號，所以ABC的面積的最大值為.答案系統(tǒng)歸納三角形面積最值問題的解題策略(1)借助正、余弦定理，把三角形面積這個目標函數(shù)轉(zhuǎn)化為邊或角的形式，然后借助基本不等式或函數(shù)性質(zhì)來解決；(2)結(jié)合問題特征，構(gòu)造幾何圖形來求得最值，直觀迅速；(3)利用結(jié)論：已知a，b，c分別為ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，若am(m>0)，且A，(0，)，則ABC的面積的最大值是，當且僅當另外兩個角相等時取等號應(yīng)用體驗2(2018濰坊統(tǒng)一考試)在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，外接圓的半徑為1，且，則ABC面積的最大值為_解析：因為，所以(2cb)，由正弦定理得sin Bsin Acos B(2sin Csin B)sin Bcos A，又sin B0，所以sin Acos B(2sin Csin B)cos A，所以sin Acos Bsin Bcos A2sin Ccos A，sin(AB)2sin Ccos A，即sin C2sin Ccos A，又sin C0，所以cos A，sin A，設(shè)外接圓的半徑為r，則r1，由余弦定理得bcb2c2a2b2c2(2rsin A)2b2c232bc3(當且僅當bc時，等號成立)，所以bc3，所以SABCbcsin Abc.答案：平面向量數(shù)量積問題例3在等腰梯形ABCD中，已知ABDC，AB2，BC1，ABC60，動點E和F分別在線段BC和DC上，且，則的最小值為_技法演示法一：基底法選取，為一組基底，由題意易求DC1，|2，|1，21cos 1201，.于是() 412 (>0)，當且僅當，即時等號成立，故的最小值為.法二：坐標法以A為坐標原點建立如圖所示的平面直角坐標系，因為ABDC，AB2，BC1，ABC60，所以DC1，即B(2,0)，D，C.因為，所以E，F(xiàn)，.所以2.當且僅當，即時等號成立，故的最小值為.答案 系統(tǒng)歸納向量數(shù)量積問題的解題策略基底法根據(jù)平面向量基本定理，結(jié)合圖形的結(jié)構(gòu)特征選擇一組基底，將有關(guān)的向量用基底表示，進行求解坐標法分析圖形的結(jié)構(gòu)特征，建立平面直角坐標系，將所涉及的向量坐標化，利用坐標運算進行解答應(yīng)用體驗3已知正方形ABCD的邊長為1，點E是AB邊上的動點，則_；的最大值為_解析：法一：如圖，以射線AB，AD為x軸，y軸的正方向建立平面直角坐標系，則A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，則E(t,0)，t0,1，(t，1)，(0，1)，所以(t，1)(0，1)1.因為(1,0)，所以(t，1)(1,0)t1，故 的最大值為1.法二：由圖知，無論E點在哪個位置，在方向上的投影都是|1，所以|11，當點E運動到B點時，在方向上的投影最大即為|1，所以()max|11.答案：11命題區(qū)域(三)立體幾何此類壓軸題主要考查以立體幾何為背景的新穎問題以立體幾何為背景的新穎問題常見的有折疊問題、與函數(shù)圖象相結(jié)合問題、最值問題、探索性問題等(1)對探索、開放、存在型問題的考查：探索性試題使問題具有不確定性、探究性和開放性，對學(xué)生的能力要求較高，有利于考查學(xué)生的探究能力以及思維的創(chuàng)造性，是新課程高考命題改革的重要方向之一；開放性問題，一般將平面幾何問題類比推廣到立體幾何中(2)對折疊、展開問題的考查：圖形的折疊與展開問題(三視圖問題可看作是特殊的圖形變換)蘊涵了“二維三維二維”的維數(shù)升降變化，求解時須對變化前后的圖形作“同中求異、異中求同”的思辨，考查空間想象能力和分析辨別能力，是立體幾何中的重要題型空間中線面位置關(guān)系與計算例1平面過正方體ABCDA1B1C1D1的頂點A，平面平面CB1D1，平面平面ABCDm，平面平面ABB1A1n，則直線m，n所成角的正弦值為()A.B.C. D.技法演示法一：割補法我們先嘗試把m，n這兩條直線都作出來，易知這個平面一定在正方體外，所以要往上補形，如圖所示，過點A在正方體ABCDA1B1C1D1的上方補作一個與正方體ABCDA1B1C1D1相同棱長的正方體ABCDA2B2C2D2，可證平面AB2D2就是平面，n就是AB2.因為平面ABCD平面A2B2C2D2，所以B2D2m，說明m應(yīng)該是經(jīng)過點A且在平面ABCD內(nèi)與B2D2平行的直線，則直線m，n所成的角就是AB2D2，因為AB2D2為等邊三角形，所以sinAB2D2sin，故選A.法二：平移法1事實上對法一可進行適當簡化，無須補形也可以設(shè)平面CB1D1平面ABCDm，因為平面平面ABCDm，平面平面CB1D1，所以mm.又平面ABCD平面A1B1C1D1，平面CB1D1平面A1B1C1D1B1D1，所以B1D1m，所以B1D1m.同理可得CD1n，故直線m，n所成角即為直線B1D1，CD1所成的角CD1B1.在正方體ABCDA1B1C1D1中，B1CB1D1CD1，所以CD1B1，所以sinCD1B1，故選A.法三：平移法2與法二類似，我們嘗試在正方體內(nèi)部構(gòu)造一個平面與平面平行，也即與平面CB1D1平行如圖所示，讓點A在平面ABCD內(nèi)運動，不妨讓點A在對角線AC上運動，易知平面BA1D與平面CB1D1平行，則直線m，n所成的角就是DBA1，其正弦值為，故選A.法四：向量法如圖，建立空間直角坐標系，設(shè)正方體的棱長為1，易求得平面CB1D1的一個法向量s(1，1，1)因為平面平面ABCDm，所以直線m的方向向量mxy(y，x,0)又平面平面CB1D1，所以ms0，即yx0，故m(x，x,0)；同理，因為平面平面ABB1A1n，所以直線n的方向向量n(0，)又平面平面CB1D1，所以ns0，即0，故n(0，)記異面直線m，n所成角為，所以cos ，故直線m，n所成角的正弦值為，選A.答案A系統(tǒng)歸納異面直線所成角問題的解題策略(1)平移化歸是關(guān)鍵：求異面直線所成角，關(guān)鍵是將兩條異面的直線平移到相交狀態(tài)，作出等價的平面角，再解三角形即可，常規(guī)步驟是“一作二證三計算”，而第一步最為關(guān)鍵，平移誰，怎么平移都要視題目條件而定；(2)向量計算要快要準：空間向量方法的最大好處是降低了對空間想象能力的要求，但相應(yīng)地對計算能力要求就高了，要求我們熟練地求解空間的點、向量的坐標，計算要準確應(yīng)用體驗1已知四面體ABCD的每個頂點都在球O的表面上，ABAC5，BC8，AD底面ABC，G為ABC的重心，且直線DG與底面ABC所成角的正切值為，則球O的表面積為_解析：在等腰ABC中，ABAC5，BC8，取BC的中點E，連接AE，重心G為AE的三等分點，AE3，AG2，由于AD底面ABC，直線DG與底面ABC所成角的正切值為，所以tanDGA，DA1，在等腰ABC中，cosACB，sinACB，所以ABC的外接圓直徑2r，r，設(shè)ABC的外接圓圓心為O1，四面體ABCD的球心為O，在RtAOO1中，R2OA2AO222，球的表面積為S4R2.答案：空間最值問題例2如圖，在ABC中，ABBC2，ABC120.若平面ABC外的點P和線段AC上的點D，滿足PDDA，PBBA，則四面體PBCD的體積的最大值是_技法演示法一：平面幾何法由題意可知四面體PBCD的體積最大時，應(yīng)有平面PBD平面BCD.如圖，過點P作PFBD，垂足為F，則PF平面BCD，則VPBCDSBCDPF.由翻折過程可知AFPF，則VPBCDSBCDAF，這樣就將空間問題轉(zhuǎn)化為ABC內(nèi)的問題等腰ABC的底邊AC邊上的高hABsin 301，VPBCDDChAFDCAF.DC與AF不在同一個三角形中，用哪個變量能表示兩者呢？注意到當點D在AC上運動時，ADB也是在變化的，因此可以取ADB為自變量，產(chǎn)生下面的解法如圖，因為SABDBDAFADh，則AF，得VPBCDDC.設(shè)ADB，由正弦定理得2sin(150)，DC，則VPBCD，易知函數(shù)f(x)x在區(qū)間(0,1上單調(diào)遞增，于是VPBCD.法二：構(gòu)造法換個角度看問題，我們把ABC“立起來”，如圖，設(shè)BO平面ACP，考慮以B為頂點，ACP的外接圓O為底面的圓錐，易得AC2，則OB 1.設(shè)PDA，(0，)，ADx(0<x<2)，則SPCDx(2x)sin x(2x)2，所以四面體PBCD的體積VPBCDSPCDOB，當且僅當OAAC，且時取等號(此時D點與圓心O重合，PD垂直平分AC，進而可得BDPD)法三：解析法由于ABC是頂角為120的等腰三角形，故建系非常方便如圖，取AC的中點O為原點，以AC所在的直線為x軸建立平面直角坐標系，則A(，0)，B(0，1)，C(，0)，設(shè)D(t,0)，t(，)，易知直線BD的方程為xtyt0，則點A到直線BD的距離AF，又DCt，于是VPBCDDCAF，令f(t)，t20,3)，易知該函數(shù)在0,3)上單調(diào)遞減，故VPBCDf(0)，此時D在原點答案系統(tǒng)歸納空間最值問題的解題關(guān)鍵(1)要善于將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題：這一步要求我們具備較強的空間想象能力，對幾何體的結(jié)構(gòu)特征要牢牢抓住，如本題一定要分析出“當四面體PBCD的體積取最大值時，必有平面PBD平面BCD”，要判斷出PBD與ABD是翻折關(guān)系(全等)，這樣才能進一步將空間問題轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)的問題；(2)轉(zhuǎn)化后的運算：因為已經(jīng)是平面內(nèi)的問題，那么方法就比較多了，如三角函數(shù)法、均值不等式，甚至導(dǎo)數(shù)都是可以考慮使用的工具應(yīng)用體驗2表面積為60的球面上有四點S，A，B，C且ABC是等邊三角形，球心O到平面ABC的距離為，若平面SAB平面ABC，則棱錐SABC體積的最大值為_解析：因為球的表面積為60，所以球的半徑為，設(shè)ABC的中心為D，則OD，所以DA2，則AB6，棱錐SABC的底面積S629為定值，欲使其體積最大，應(yīng)有S到平面ABC的距離取最大值，又平面SAB平面ABC，所以S在平面ABC上的射影落在直線AB上，而SO，點D到直線AB的距離為，則S到平面ABC的距離的最大值為3，所以V9327.答案：27命題區(qū)域(四)解析幾何本類壓軸題主要考查圓錐曲線的幾何性質(zhì)、特定字母的取值范圍以及圓錐曲線中的最值問題圓錐曲線的幾何性質(zhì)是高考考查圓錐曲線的重點內(nèi)容之一在選擇、填空題中主要考查橢圓和雙曲線的離心率、參數(shù)的值(范圍)、雙曲線的漸近線方程以及拋物線的焦點弦圓錐曲線中的弦長是直線與圓錐曲線相交時產(chǎn)生的，面積也以弦長的計算為基礎(chǔ)，高考重點考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，它是命制壓軸題時的一個重要命題方向圓錐曲線的幾何性質(zhì)例1已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線E：1(a>0，b>0)的左、右焦點，點M在雙曲線E上，MF1與x軸垂直，sinMF2F1，則雙曲線E的離心率為()A.B.C. D2技法演示法一：定義法因為MF1F2是直角三角形，且sinMF2F1，所以|MF1|MF2|sinMF2F1|MF2|，即|MF2|3|MF1|.由雙曲線的定義可知|MF2|MF1|2a.由和可求得|MF1|a，|MF2|3a.在RtMF1F2中，由勾股定理得|MF2|2|MF1|2|F1F2|2，即(3a)2a2(2c)2，化簡得2a2c2，即22，從而可知e.故選A.法二：利用正弦定理在RtMF1F2中，sin F1MF2sin(90MF2F1)cosMF2F1，sinMF1F21.由正弦定理得e.故選A.法三：利用直角三角形的三角函數(shù)設(shè)點M(c，y0)，則1，由此解得y|MF1|2b2.MF1F2是直角三角形，且sinMF2F1，cosMF2F1，tanMF2F1，從而可得8，即8，化簡整理得2c45a2c22a40，兩邊同除以a4，得245220，即 0，>1，22，即e.答案A系統(tǒng)歸納圓錐曲線離心率問題的求解策略(1)雙曲線(橢圓)的定義可直接建立“焦點三角形”的兩邊關(guān)系用好這一隱含條件，可為三角形的求解省下不少功夫法二便充分利用了雙曲線的定義將離心率e寫成，轉(zhuǎn)化為“焦點三角形”的三邊關(guān)系，從而利用正弦定理再轉(zhuǎn)化到已知的角上去(2)在求解圓錐曲線(主要指的是橢圓和雙曲線)的離心率問題時，要把握一個基本思想，就是充分利用已知條件和挖掘隱含條件建立起a與c的關(guān)系式注意在求離心率的值時需建立等量關(guān)系式，在求離心率的范圍時需建立不等量關(guān)系式應(yīng)用體驗1已知雙曲線E：1(a>0，b>0)的右頂點為A，拋物線C：y28ax的焦點為F，若在E的漸近線上存在點P，使得PAFP，則E的離心率的取值范圍是()A(1,2) B.C(2，) D.解析：選B雙曲線E：1(a>0，b>0)的右頂點為A(a,0)，拋物線C：y28ax的焦點為F(2a,0)，雙曲線的漸近線方程為yx，可設(shè)P，則有，由PAFP，得0，即(ma)(m2a)m20，整理得m23ma2a20，由題意可得9a2412a20，即a28b28(c2a2)，即8c29a2，則e.又e>1，所以1<e.參數(shù)的值(范圍)問題例2設(shè)A，B是橢圓C：1長軸的兩個端點，若C上存在點M滿足AMB120，則m的取值范圍是()A(0,19，) B(0，9，)C(0,14，) D(0，4，)技法演示法一：幾何性質(zhì)法如圖，設(shè)橢圓方程為1(a>b>0)過點M作MNAB，垂足為N，設(shè)M(x，y)根據(jù)橢圓的對稱性，不妨令y>0，設(shè)AMN，BMN，則tan ，tan .又點M在橢圓上，所以x2a2.則tan().又yb，b，所以當yb時，取最大值，即M為橢圓短軸頂點P時，APB最大由此，我們可以得到本題的如下解法先考慮橢圓的焦點在x軸上的情況，則0<m<3.設(shè)橢圓一個短軸的頂點為P，要使橢圓C上存在點M滿足AMB120，則APBAMB，即APB120，所以APO60.而tanAPO，所以，解得0<m1.同理：當m>3時，焦點在y軸上，要使C上存在點M滿足AMB120，則，解得m9.故m的取值范圍為(0,19，)法二：二級結(jié)論法橢圓上任意一點與橢圓長軸的兩個端點連線的斜率之積為定值.這一結(jié)論不難證明：設(shè)M(x，y)為橢圓1(a>b>0)上任意一點，A，B分別為橢圓的左、右兩個端點，則kMAkMB.因為點M在橢圓上，所以y2(a2x2)，從而kMAkMB.由此可以得到本題的如下解法當0<m<3時，橢圓的焦點在x軸上，如圖，設(shè)MAB，MBx，設(shè)直線MA，MB的斜率分別為k1，k2，則k1k2，k1tan ，k2tan .因為AMB120，由三角形的一個外角等于不相鄰的兩內(nèi)角之和，所以tan()tan 120.根據(jù)兩角差的正切公式tan()，可得tan tan ，即k2k1m.結(jié)合k1k2，將兩式變形為k2(k1)m，k2(k1)，故可將k2，k1看作是關(guān)于t的方程t2t0的兩個根，則24(m210m9)0，所以m210m90，解得m1或m9(舍去)，所以0<m1.同理可得當焦點在y軸上時，m9.綜上所述，m的取值范圍是(0,19，)故選A.法三：向量法當橢圓的焦點在x軸上時，設(shè)A，B分別為橢圓的左、右兩個端點，M(x，y)，設(shè)直線MA，MB的斜率分別為k1，k2，則k1k2.又(x，y)，(x，y)，此時如果直接應(yīng)用數(shù)量積進行計算，顯然計算量較大，這里我們可以考慮利用直線的方向向量來簡化運算分別取與，相同方向的向量n1(1，k1)，n2(1，k2)又AMB120，所以向量n1，n2的夾角為60，由向量的數(shù)量積公式可得，cos 60，即.由k1k2<0，結(jié)合均值不等式a2b22ab，可得kkk(k2)22k1(k2)m，所以，即，所以1，解得m1.又0<m<3，所以0<m1.當焦點在y軸上時，此時k1k2<0.同理，即1，解得m9.綜上所述，m的取值范圍是(0,19，)答案A系統(tǒng)歸納圓錐曲線中特定字母的值(范圍)問題的解題策略構(gòu)造不等式根據(jù)題設(shè)條件以及曲線的幾何性質(zhì)(如：曲線的范圍、對稱性、位置關(guān)系等)，建立關(guān)于特定字母的不等式(或不等式組)，然后解不等式(或不等式組)，求得特定字母的取值范圍構(gòu)造函數(shù)根據(jù)題設(shè)條件，用其他的變量或參數(shù)表示欲求范圍的特定字母，即建立關(guān)于特定字母的目標函數(shù)，然后研究該函數(shù)的值域或最值情況，從而得到特定字母的取值范圍數(shù)形結(jié)合研究特定字母所對應(yīng)的幾何意義，然后根據(jù)相關(guān)曲線的定義、幾何性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解應(yīng)用體驗2若過點M(2,0)的直線與橢圓y21相交于A，B兩點，|AB|，設(shè)P為橢圓上一點，且滿足t (O為坐標原點)，則實數(shù)t的值為()A BC D解析：選B由題意知，直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為yk(x2)顯然，當k0時，|AB|2，與已知不符，k0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，聯(lián)立消去y，得(12k2)x28k2x8k220，則(8k2)24(12k2)(8k22)816k2>0，x1x2，x1x2，|AB|， |x1x2|，即(1k2)(x1x2)24x1x2，(4k21)(14k213)0，解得k2.又t，即(x1x2，y1y2)t(x，y)，且k0，t0，x，yk(x1x2)4k.點P在橢圓上，22，又k2，解得t.圓錐曲線中與面積相關(guān)的問題例3已知F是拋物線y2x的焦點，點A，B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè)，2(其中O為坐標原點)，則ABO與AFO面積之和的最小值是()A2 B3C. D.技法演示法一：利用基本不等式依題意，不妨設(shè)點A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中y1>0，y2<0.由2，得x1x2y1y2(y1y2)2y1y22，由此解得y1y22，ABO與AFO面積之和等于|x1y2x2y1|y1|yy2yy1|y12(y1y2)y1y1(y2)23，當且僅當y1y2時取等號，因此ABO與AFO面積之和的最小值是3，選B.該方法中用到這樣一個公式：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則SAOB|x1y2x2y1|，證明如下：設(shè)AOB，則SAOB|sin |x1y2x2y1|.法二：雙根法設(shè)直線AB的方程為xtym，A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1y2<0，由得y2tym0，y1y2m，又2，因此x1x2y1y2(y1y2)2y1y22，m2m20，解得m2或m1.又y1y2m<0，因此y1y2m2，m2，直線AB：xty2過定點(2,0)，SABO2|y1y2|，SAFO|y1|y1|，SABOSAFO|y1|y1|23，當且僅當|y1|，即|y1|時取等號，因此ABO與AFO面積之和的最小值是3，選B.答案B系統(tǒng)歸納圓錐曲線中與面積相關(guān)問題的解題規(guī)律(1)三角形面積的向量公式：若(x1，y1)，(x2，y2)，則SABC|x1y2x2y1|，用此公式便于建立目標函數(shù)求最值；(2)直線方程的選擇：對于不同的直線方程，其中所含的參數(shù)意義不同，形成不同的解題長度為了消元、計算的方便，可將經(jīng)過定點(m,0)的動直線設(shè)為xtym的形式，避免了對斜率存在性的討論如本題法二應(yīng)用體驗3已知橢圓E的方程為y21，O為坐標原點，直線l與橢圓E交于A，B兩點，M為線段AB的中點，且|OM|1，則AOB面積的最大值為_解析：設(shè)直線l：xmyn，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，由整理得(4m2)y22mnyn240.所以y1y2，y1y2，x1x2.由中點坐標公式可知x0，y0，即M.因為|OM|1，所以n2.設(shè)直線l與x軸的交點為D(n,0)，則AOB的面積S|OD|y1y2|n|y1y2|.S2n2(y1y2)2，設(shè)tm24(t4)，則S2481，當且僅當t，即t12時，等號成立，此時m28，n26，即S2取得最大值1.故AOB的面積的最大值為1.答案：1 A組選擇壓軸小題命題點專練1(2018全國卷)已知角的頂點為坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊上有兩點A(1，a)，B(2，b)，且cos 2，則|ab|()A.B.C. D1解析：選B由cos 2，得cos2 sin2，即，tan ，即，|ab|.故選B.2(2019屆高三廣州調(diào)研)若將函數(shù)y2sinsin的圖象向左平移(>0)個單位長度，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)恰為奇函數(shù)，則的最小值為()A. B.C. D.解析：選A由y2sinsin，可得y2sincossin，該函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為g(x)sinsin，因為g(x)sin為奇函數(shù)，所以2k(kZ)，(kZ)，又>0，故的最小值為，選A.3.如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是直角梯形，ADBC，ABBC，側(cè)面PAB底面ABCD，若PAADABkBC(0<k<1)，則()A當k時，平面BPC平面PCDB當k時，平面APD平面PCDCk(0,1)，直線PA與底面ABCD都不垂直Dk(0,1)，使直線PD與直線AC垂直解析：選A取PB，PC的中點分別為M，N，連接MN，AM，DN，由平面PAB平面ABCD，BCAB，可知BC平面PAB，BCAM，又M為PB的中點，PAAB，AMPB，可得AM平面PBC，而ADBC且ADBC，同時MNBC且MNBC，ADMN且ADMN，則四邊形ADNM為平行四邊形，可得AMDN，則DN平面BPC，又DN平面PCD，平面BPC平面PCD.其余選項都錯誤，故選A.4(2019屆高三西安八校聯(lián)考)已知球的直徑SC4，A，B是該球球面上的兩點，ASCBSC30，則棱錐SABC的體積最大為()A2 B.C. D2解析：選A如圖，因為球的直徑為SC，且SC4，ASCBSC30，所以SACSBC90，ACBC2，SASB2，所以SSBC222，則當點A到平面SBC的距離最大時，棱錐ASBC，即SABC的體積最大，此時平面SAC平面SBC，點A到平面SBC的距離為2sin 30，所以棱錐SABC的體積最大為22，故選A.5(2019屆高三蘭州診斷考試)已知圓C：(x1)2(y4)210和點M(5，t)，若圓C上存在兩點A，B使得MAMB，則實數(shù)t的取值范圍是()A2,6 B3,5C2,6 D3,5解析：選C法一：當MA，MB是圓C的切線時，AMB取得最大值若圓C上存在兩點A，B使得MAMB，則MA，MB是圓C的切線時，AMB90，AMC45，且AMC<90，如圖，則|MC|2，所以16(t4)220，所以2t6.法二：由于點M(5，t)是直線x5上的點，圓心的縱坐標為