2019-2020年三年級數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 算式謎專題簡析：小朋友都喜歡猜謎語，你們知道數(shù)學(xué)中也有一種有趣的謎嗎？一個完整的算式，缺少幾個數(shù)字，那就成了一道算式謎。算式謎又被稱為“蟲食算”，意思是說算式中的一些數(shù)字像是被蟲子咬去了。算式謎，就是要將算式中缺少的數(shù)字補齊，使它成為一道完整的算式。解算式謎的思考方法是推理加上嘗試，首先要仔細(xì)觀察算式特征，由推理能確定的數(shù)先填上；不能確定的，要分幾種情況，逐一嘗試。分析時要認(rèn)真分析已知數(shù)字與所缺數(shù)字的關(guān)系，抓準(zhǔn)解題的突破口。例題1 在下面算式的內(nèi)，填上適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使算式成立。 思路導(dǎo)航：已知被乘數(shù)個位是8，積的個位是2，可推出乘數(shù)可能是4或9，但積的百位上是7，因而乘數(shù)只能是4，被乘數(shù)百位上是1，那么十位上只能是9。所以算式是：1984=792。練習(xí)一：在里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使算式成立。例題2 里填哪些數(shù)字，可使這道除法算式成為一道完整的算式？ 思路導(dǎo)航：已知除數(shù)和商的某些位上的數(shù)，求被除數(shù)，可從商的末位上的數(shù)與除數(shù)相乘的積想起，56=30，可知這個被除數(shù)個位為0；再想商十位上的數(shù)與6的乘積為一位數(shù)，這個數(shù)只能為1.這樣確定商十位上為1，最后被除數(shù)十位上的數(shù)為36=9。練習(xí)二：在里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使等式成立。例題3 在下面豎式的里，各填入一個合適的數(shù)字，使算式成立。思路導(dǎo)航：要求里填哪些數(shù)，我們可以先想商的個位上是多少，商個位上的數(shù)與除數(shù)7相乘積是兩位數(shù)的有14、21、28、35、42、49、56、63，由此可確定被除數(shù)個位與商個位有八種情況： 商個位上的數(shù)確定后，再想被除數(shù)十位上是多少，被除數(shù)十位上的數(shù)是商十位上的數(shù)乘除數(shù)加上第一次除后所得的余數(shù)。我們可以發(fā)現(xiàn)，商為15、16、17、18、19時，被除數(shù)十位上的數(shù)不是一位數(shù)，而是兩位數(shù)，不合要求，所以這題有三種填法：練習(xí)三：里可填哪些數(shù)字？例題4 在下面豎式的里，填入合適的數(shù)字，使算式成立。 思路導(dǎo)航：這道題我們可以從商百位上的4與除數(shù)8的乘積來考慮，48=32，由此可確定被除數(shù)千位和百位上的數(shù)；再想商十位上的數(shù)與8相乘接近61，而小于61，78=56可得商十位上為7。最后想，幾與8相乘得五十幾，78=56，這樣全題可填出。練習(xí)四：在里填上合適的數(shù)，使豎式成立。例題5 在下面中填入適當(dāng)?shù)臄?shù)，使算式成立。 思路導(dǎo)航：通過觀察我們可以發(fā)現(xiàn)，商的個位數(shù)字是9與除數(shù)的乘積為657，由此可以求出除數(shù)為6579=73；再根據(jù)商十位數(shù)字是5，可求出除數(shù)與商十位數(shù)字積為735=365，也就可求出被除數(shù)前三位是36565=430，個位是7。練習(xí)五：里應(yīng)填幾才能使算式成立？ 附送：2019-2020年三年級數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 能被2，5整除的數(shù)的特征同學(xué)們都知道，自然數(shù)和0統(tǒng)稱為(非負(fù))整數(shù)。同學(xué)們還知道，兩個整數(shù)相加，和仍是整數(shù)；兩個整數(shù)相乘，乘積也是整數(shù)；兩個整數(shù)相減，當(dāng)被減數(shù)不小于減數(shù)時，差還是整數(shù)。兩個整數(shù)相除時，情況就不那么簡單了。如果被除數(shù)除以除數(shù)，商是整數(shù)，我們就說這個被除數(shù)能被這個除數(shù)整除；否則，就是不能整除。例如，84能被2，3，4整除，因為842=42，843=28，844=21，42，28，21都是整數(shù)。而84不能被5整除，因為845=164，有余數(shù)4。也不能被13整除，因為8413=66，有余數(shù)6。因為0除以任何自然數(shù)，商都是0，所以0能被任何自然數(shù)整除。這一講的內(nèi)容是能被2和5整除的數(shù)的特征，也就是討論什么樣的數(shù)能被2或5整除。1.能被2整除的數(shù)的特征因為任何整數(shù)乘以2，所得乘數(shù)的個位數(shù)只有0，2，4，6，8五種情況，所以，能被2整除的數(shù)的個位數(shù)一定是0，2，4，6或8。也就是說，凡是個位數(shù)是0，2，4，6，8的整數(shù)一定能被2整除，凡是個位數(shù)是1，3，5，7，9的整數(shù)一定不能被2整除。例如，38，172，960等都能被2整除，67，881，235等都不能被2整除。能被2整除的整數(shù)稱為偶數(shù)，不能被2整除的整數(shù)稱為奇數(shù)。0，2，4，6，8，10，12，14，就是全體偶數(shù)。1，3，5，7，9，11，13，15，就是全體奇數(shù)。偶數(shù)和奇數(shù)有如下運算性質(zhì)：偶數(shù)偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)奇數(shù)=偶數(shù)，偶數(shù)奇數(shù)=奇數(shù)，奇數(shù)偶數(shù)=奇數(shù)，偶數(shù)偶數(shù)=偶數(shù)，偶數(shù)奇數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)奇數(shù)=奇數(shù)。例1在1199中，有多少個奇數(shù)？有多少個偶數(shù)？其中奇數(shù)之和與偶數(shù)之和誰大？大多少？分析與解：由于1，2，3，4，197，198，199是奇、偶數(shù)交替排列的，從小到大兩兩配對：(1，2)，(3，4)，(197，198)，還剩一個199。共有1982=99(對)，還剩一個奇數(shù)199。所以奇數(shù)的個數(shù)=1982+1=100(個)，偶數(shù)的個數(shù)=1982=99(個)。因為每對中的偶數(shù)比奇數(shù)大1，99對共大99，而199-99=100，所以奇數(shù)之和比偶數(shù)之和大，大100。如果按從大到小兩兩配對：(199，198)，(197，196)，(3，2)，那么怎樣解呢？例2(1)不算出結(jié)果，判斷數(shù)(524+42-429)是偶數(shù)還是奇數(shù)？(2)數(shù)(42+30-147)能被2整除，那么，里可填什么數(shù)？(3)下面的連乘積是偶數(shù)還是奇數(shù)？1357911131415。解：根據(jù)奇偶數(shù)的運算性質(zhì)：(1)因為524，42是偶數(shù)，所以(524+42)是偶數(shù)。又因為429是奇數(shù)，所以(524+42-429)是奇數(shù)。(2)數(shù)(42+30-147)能被2整除，則它一定是偶數(shù)。因為147是奇數(shù)，所以數(shù)(42+30)必是奇數(shù)。又因為其中的30是偶數(shù)，所以，數(shù)42必為奇數(shù)。于是，里只能填奇數(shù)1，3，5，7，9。(3)1，3，5，7，9，11，13，15都是奇數(shù)，由13為奇數(shù)，推知135為奇數(shù)推知13579111315為奇數(shù)。因為14為偶數(shù)，所以(13579111315)14為偶數(shù)，即1357911131415為偶數(shù)。由例2得出：(1)在全部是加、減法的運算中，若參加運算的奇數(shù)的個數(shù)是偶數(shù)，則結(jié)果是偶數(shù)；若參加運算的奇數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)，則結(jié)果是奇數(shù)。(2)在連乘運算中，只要有一個因數(shù)是偶數(shù)，則整個乘積一定是偶數(shù)。例3在黑板上先寫出三個自然數(shù)3，然后任意擦去其中的一個，換成所剩兩個數(shù)的和。照這樣進行100次后，黑板上留下的三個自然數(shù)的奇偶性如何？它們的乘積是奇數(shù)還是偶數(shù)？為什么？解：根據(jù)奇偶數(shù)的運算性質(zhì)知：第一次擦后，改寫得到的三個數(shù)是6，3，3，是“二奇一偶”；第二次擦后，改寫得到的三個數(shù)是6，3，3或6，9，3或6，3，9，都是“二奇一偶”。以后若擦去的是偶數(shù)，則改寫得到的數(shù)為二奇數(shù)之和，是偶數(shù)；若擦去的是奇數(shù)，則改寫得到的數(shù)為一奇一偶之和，是奇數(shù)?？傊?，黑板上仍保持“二奇一偶”。所以，無論進行多少次擦去與改寫，黑板上的三個數(shù)始終為“二奇一偶”。它們的乘積奇數(shù)奇數(shù)偶數(shù)=偶數(shù)。故進行100次后，所得的三個自然數(shù)的奇偶性為二奇數(shù)、一偶數(shù)，它們的乘積一定是偶數(shù)。2.能被5整除的數(shù)的特征由05=0，25=10，45=20，65=30，85= 40，可以推想任何一個偶數(shù)乘以5，所得乘積的個位數(shù)都是0。由15=5，35=15，55=25，75=35，95= 45，可以推想，任何一個奇數(shù)乘以5，所得乘積的個位數(shù)都是5。因此，能被5整除的數(shù)的個位數(shù)一定是0或5。也就是說，凡是個位數(shù)是0或5的整數(shù)一定能被5整除；凡是個位數(shù)不是0或5的整數(shù)一定不能被5整除。例如，870，6275，1234567890等都能被5整除，264，3588等都不能被5整除。例4由0，3，5寫成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，有哪些能被5整除？解：因為個位數(shù)為0或5的數(shù)才能被5整除，所以由0，3，5寫成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，只有350，530，305三個數(shù)能被5整除。例5下面的連乘積中，末尾有多少個0？1232930。解：因為25=10，所以在連乘積中，有一個因子2和一個因子5，末尾就有一個0。連乘積中末尾的0的個數(shù)，等于130中因子2的個數(shù)與因子5的個數(shù)中較少的一個。而在連乘積中，因子2的個數(shù)比因子5的個數(shù)多(如4含兩個因子2，8含三個因子2)，所以，連乘積末尾0的個數(shù)與連乘積中因子5的個數(shù)相同。連乘積中含因子5的數(shù)有5，10，15，20，25，30，這些數(shù)中共含有七個因子 5(其中25含有兩個因子5)。所以，1232930的積中，末尾有七個0。