兩條直線的位置關(guān)系一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1. 已知直線l1：x+ay+6=0和l2：(a-2)x+3y+2a=0，則l1/l2的充要條件是( )A. a=-1 B. a=3 C. a=-1或a=3 D. a=12（正確答案）A解：根據(jù)題意，若l1/l2，則有13=a(a-2)，解可得a=-1或3，反之可得，當(dāng)a=-1時(shí)，直線l1：x-y+6=0，其斜率為1，直線l2：-3x+3y-2=0，其斜率為1，且l1與l2不重合，則l1/l2，當(dāng)a=3時(shí)，直線l1：x+3y+6=0，直線l2：x+3y+6=0，l1與l2重合，此時(shí)l1與l2不平行，l1/l2a=-1，反之，a=-1l1/l2，故l1/l2a=-1，故選：A首先由兩直線平行可得13=a(a-2)，解可得a=-1或3，分別驗(yàn)證可得a=-1時(shí)，則l1/l2，即可得l1/l2a=-1；反之將a=-1代入直線的方程，可得l1/l2，即有a=-1l1/l2；綜合可得l1/l2a=-1，即可得答案本題考查直線平行的判定方法，利用解析幾何的方法判斷時(shí)，要注意驗(yàn)證兩直線是否重合2. 已知直線l1：x+2ay-1=0，與l2：(2a-1)x-ay-1=0平行，則a的值是( )A. 0或1 B. 1或14 C. 0或14 D. 14（正確答案）C解：當(dāng)a=0時(shí)，兩直線的斜率都不存在，它們的方程分別是x=1，x=-1，顯然兩直線是平行的當(dāng)a0時(shí)，兩直線的斜率都存在，故它們的斜率相等，由2a-1a=-12a-1-1，解得：a=14綜上，a=0或14，故選：C先檢驗(yàn)當(dāng)a=0時(shí)，是否滿足兩直線平行，當(dāng)a0時(shí)，兩直線的斜率都存在，由2a-1a=-12a-1-1，解得a的值本題考查兩直線平行的條件，要注意特殊情況即直線斜率不存在的情況，要進(jìn)行檢驗(yàn)3. 直線x+2y-4=0與直線2x-y+2=0的交點(diǎn)坐標(biāo)是( )A. (2,0) B. (2,1) C. (0,2) D. (1,2)（正確答案）C解：聯(lián)立x+2y-4=02x-y+2=0，解得x=0，y=2，直線x+2y-4=0與直線2x-y+2=0的交點(diǎn)坐標(biāo)是(0,2)故選：C將二直線的方程聯(lián)立解出即可正確理解方程組的解與直線的交點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵4. 光線沿著直線y=-3x+b射到直線x+y=0上，經(jīng)反射后沿著直線y=ax+2射出，則有( )A. a=13，b=6 B. a=-13，b=-6C. a=3，b=-16 D. a=-3，b=16（正確答案）B解：在直線y=-3x+b上任意取一點(diǎn)A(1,b-3)，則點(diǎn)A關(guān)于直線x+y=0的對(duì)稱點(diǎn)B(-b+3,-1)在直線y=ax+2上，故有-1=a(-b+3)+2，即-1=-ab+3a+2，ab=3a+3，結(jié)合所給的選項(xiàng)，故選：B在直線y=-3x+b上任意取一點(diǎn)A(1,b-3)，則根據(jù)點(diǎn)A關(guān)于直線x+y=0的對(duì)稱點(diǎn)B(-b+3,-1)在直線y=ax+2上，結(jié)合選項(xiàng)可得a、b的值本題主要考查一條直線關(guān)于另一條直線對(duì)稱的性質(zhì)，反射定理，屬于基礎(chǔ)題5. 設(shè)mR，過(guò)定點(diǎn)A的動(dòng)直線x+my=0和過(guò)定點(diǎn)B的直線mx-y-m+3=0交于點(diǎn)P(x,y)，則|PA|+|PB|的取值范圍是( )A. 5,25 B. 10,25 C. 10,45 D. 25,45（正確答案）B解：由題意可知，動(dòng)直線x+my=0經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A(0,0)，動(dòng)直線mx-y-m+3=0即m(x-1)-y+3=0，經(jīng)過(guò)點(diǎn)定點(diǎn)B(1,3)，動(dòng)直線x+my=0和動(dòng)直線mx-y-m+3=0的斜率之積為-1，始終垂直，P又是兩條直線的交點(diǎn)，PAPB，|PA|2+|PB|2=|AB|2=10設(shè)ABP=，則|PA|=10sin，|PB|=10cos，由|PA|0且|PB|0，可得0,2 |PA|+|PB|=10(sin+cos)=25sin(+4)，0,2，+44,34，sin(+4)22,1，25sin(+4)10,25，故選：B可得直線分別過(guò)定點(diǎn)(0,0)和(1,3)且垂直，可得|PA|2+|PB|2=10.三角換元后，由三角函數(shù)的知識(shí)可得本題考查直線過(guò)定點(diǎn)問題，涉及直線的垂直關(guān)系和三角函數(shù)的應(yīng)用，屬中檔題6. 已知b>0，直線(b2+1)x+ay+2=0與直線x-b2y-1=0互相垂直，則ab的最小值等于( )A. 1 B. 2 C. 22 D. 23（正確答案）B解：b>0，兩條直線的斜率存在，因?yàn)橹本€(b2+1)x+ay+2=0與直線x一b2y一1=0互相垂直，所以(b2+1)-ab2=0，ab=b+1b2 故選B由題意可知直線的斜率存在，利用直線的垂直關(guān)系，求出a，b關(guān)系，然后求出ab的最小值本題考查兩條直線垂直的判定，考查計(jì)算推理能力，是基礎(chǔ)題7. 與直線L1：mx-m2y=1垂直于點(diǎn)P(2,1)的直線L2的方程為( )A. x+y-1=0 B. x-y-3=0 C. x-y-1=0 D. x+y-3=0（正確答案）D解：點(diǎn)P(2,1)代入直線L1：mx-m2y=1，可得m=1，所以直線L1的斜率為1，直線L2的斜率為-1，故可知方程為x+y-3=0，故選D先求m=1，從而得到直線L1的斜率為1，直線L2的斜率為-1，故可求本題主要考查兩直線垂直，斜率互為負(fù)倒數(shù)，屬于基礎(chǔ)題8. 已知傾斜角為的直線l與直線x+2y-3=0垂直，則sin2的值為( )A. 35 B. 45 C. 15 D. -15（正確答案）B解：直線l與直線x+2y-3=0垂直，kl=-1-12=2tan=2sin2=2sincos=2sincossin2+cos2=2tantan2+1=45故選：B直線l與直線x+2y-3=0垂直，可得tan=2.再利用倍角公式與同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可得出本題考查了相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、倍角公式與同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題9. “m=12”是“直線(m+2)x+3my+1=0與直線(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直”的( )A. 充分必要條件 B. 充分而不必要條件C. 必要而不充分條件 D. 既不充分也不必要條件（正確答案）B解：當(dāng)m=12時(shí)，直線(m+2)x+3my+1=0的斜率是-53，直線(m-2)x+(m+2)y-3=0的斜率是35，滿足k1k2=-1，“m=12”是“直線(m+2)x+3my+1=0與直線(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直”的充分條件，而當(dāng)(m+2)(m-2)+3m(m+2)=0得：m=12或m=-2“m=12”是“直線(m+2)x+3my+1=0與直線(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直”充分而不必要條件故選：B判斷充分性只要將“m=12”代入各直線方程，看是否滿足(m+2)(m-2)+3m(m+2)=0，判斷必要性看(m+2)(m-2)+3m(m+2)=0的根是否只有12本題是通過(guò)常用邏輯用語(yǔ)考查兩直線垂直的判定10. 如果直線ax+2y+1=0與直線x+y-2=0互相垂直，那么a的值等于( )A. 1 B. -13 C. -23 D. -2（正確答案）D解：直線ax+2y+1=0與直線x+y-2=0互相垂直，斜率之積等于-1，a-21-1=-1，a=-2，故選D利用兩直線垂直，斜率之積等于-1，列方程解出參數(shù)a的值本題考查兩直線垂直的性質(zhì)，兩直線垂直，斜率之積等于-1，用待定系數(shù)法求參數(shù)a11. 已知直線l1：xsin+y-1=0，直線l2：x-3ycos+1=0，若l1l2，則sin2=( )A. 23 B. 35 C. -35 D. 35（正確答案）D解：因?yàn)閘1l2，所以sin-3cos=0，所以tan=3，所以sin2=2sincos=2sincossin2+cos2=2tan1+tan2=35故選：D根據(jù)直線的垂直，即可求出tan=3，再根據(jù)二倍角公式即可求出本題考查了兩直線的垂直，以及二倍角公式，屬于基礎(chǔ)題12. 若直線l1：x-3y+2=0與直線l2：mx-y+b=0關(guān)于x軸對(duì)稱，則m+b=( )A. 13 B. -1 C. -13 D. 1（正確答案）B解：直線l1：x-3y+2=0與直線l2：mx-y+b=0關(guān)于x軸對(duì)稱，可得：m=-13，y=0時(shí)，x=-2，代入mx-y+b=0，所以b=-23，則m+b=-1故選：B判斷對(duì)稱軸的斜率是相反數(shù)，經(jīng)過(guò)x軸上相同點(diǎn)，求解即可本題考查直線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，直線的對(duì)稱性的應(yīng)用，考查計(jì)算能力二、填空題（本大題共4小題，共20分）13. 直線l1過(guò)點(diǎn)(-2,0)且傾斜角為30，直線l2過(guò)點(diǎn)(2,0)且與直線l1垂直，則直線l1與直線l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為_（正確答案）(1,3)解：由題意可得直線l1的斜率等于tan30=33，由點(diǎn)斜式求得它的方程為y-0=33(x+2)，即3x-3y+23=0直線l2過(guò)的斜率等于-133=-3，由點(diǎn)斜式求得它的方程為y-0=-3(x-2)，即3x+y-23=0由3x-3y+23=03x+y-23=0，解得 x=1y=3，故直線l1與直線l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,3)，故答案為(1,3)用點(diǎn)斜式求出兩條直線的方程，再聯(lián)立方程組，解方程組求得直線l1與直線l2的交點(diǎn)坐標(biāo)本題主要考查用點(diǎn)斜式求直線的方程，兩條直線垂直的性質(zhì)，求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，屬于基礎(chǔ)題14. 設(shè)a>0，b>0，若關(guān)于x，y的方程組ax+y=1x+by=1無(wú)解，則a+b的取值范圍為_ （正確答案）(2,+)解：關(guān)于x，y的方程組ax+y=1x+by=1無(wú)解，直線ax+y=1與x+by=1平行，a>0，b>0，a1=1b11，即a1，b1，且ab=1，則b=1a，則a+b=a+1a，則設(shè)f(a)=a+1a，(a>0且a1)，則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f(a)=1-1a2=a2-1a2，當(dāng)0<a<1時(shí)，f(a)=a2-1a2<0，此時(shí)函數(shù)為減函數(shù)，此時(shí)f(a)>f(1)=2，當(dāng)a>1時(shí)，f(a)=a2-1a2>0，此時(shí)函數(shù)為增函數(shù)，f(a)>f(1)=2，綜上f(a)>2，即a+b的取值范圍是(2,+)，故答案為：(2,+)根據(jù)方程組無(wú)解，得到兩直線平行，建立a，b的方程關(guān)系，利用轉(zhuǎn)化法，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可本題主要考查直線平行的應(yīng)用以及構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵15. 若直線l與直線2x-y-2=0關(guān)于直線x+y-4=0對(duì)稱，則l的方程是_（正確答案）x-2y+2=0解：由x+y-4=02x-y-2=0，得y=2x=2，即直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2)，在直線2x-y-2=0上取一點(diǎn)A(1,0)，設(shè)A關(guān)于直線x+y-4=0的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(a,b)，則滿足ba-1=1a+12+b2-4=0得a+b-7=0a-b-1=0得b=3a=4，即對(duì)稱點(diǎn)(4,3) 則l的方程為y-23-2=x-24-2，整理得x-2y+2=0，故答案為：x-2y+2=0先求出直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱性求出一點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，利用兩點(diǎn)式方程進(jìn)行求解即可本題主要考查直線方程求解，利用點(diǎn)的對(duì)稱性是解決本題的關(guān)鍵16. 已知兩點(diǎn)A(-m,0)，B(m,0)(m>0)，如果在直線3x+4y+25=0上存在點(diǎn)P，使得APB=90，則m的取值范圍是_（正確答案）5,+)解：P在直線3x+4y+25=0上，設(shè)點(diǎn)P(x,-3x-254)，AP=(x+m,-3x-254)，BP=(x-m,-3x-254)；又APB=90，APBP=(x+m)(x-m)+(-3x-254)2=0，即25x2+150x+625-16m2=0；0，即1502-425(625-16m2)0，解得m5，或m-5，又m>0，m的取值范圍是5,+)故答案為：5,+)根據(jù)P在直線3x+4y+25=0上，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，寫出向量AP、BP；利用APBP=0得出方程，再由0求出m的取值范圍本題考查了直線方程的應(yīng)用問題，也考查了平面向量的數(shù)量積的應(yīng)用問題，考查了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用問題，是綜合性題目三、解答題（本大題共3小題，共30分）17. 已知函數(shù)f(x)=mxlnx，曲線y=f(x)在點(diǎn)(e2,f(e2)處的切線與直線2x+y=0垂直(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))(1)求f(x)的解析式及單調(diào)遞減區(qū)間；(2)是否存在常數(shù)k，使得對(duì)于定義域內(nèi)的任意x，f(x)>klnx+2x恒成立，若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由（正確答案）解：(1)f(x)=m(lnx-1)(lnx)2，曲線y=f(x)在點(diǎn)(e2,f(e2)處的切線與直線2x+y=0垂直，f(e2)=m4=12，解得m=2，f(x)=2xlnx，f(x)=2(lnx-1)(lnx)2，令解得：0<x<1或1<x<e，函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(0,1)和(1,e). (2)f(x)>klnx+2x恒成立，即2xlnx>klnx+2xklnx<2xlnx-2x，當(dāng)x(0,1)時(shí)，lnx<0，則k>2x-2xlnx恒成立，令g(x)=2x-2xlnx，則g(x)=2x-lnx-2x，再令h(x)=2x-lnx-2，則h(x)=x-1x<0，所以h(x)在(0,1)內(nèi)遞減，所以當(dāng)x(0,1)時(shí)，h(x)>h(1)=0，故g(x)=h(x)x>0，所以g(x)在(0,1)內(nèi)遞增，g(x)<g(1)=2k2當(dāng)x(1,+)時(shí)，lnx>0，則k<2x-2xlnx恒成立，由可知，當(dāng)x(1,+)時(shí)， 0/>，所以h(x)在(1,+)內(nèi)遞增，所以當(dāng)x(1,+)時(shí)，h(x)>h(1)=0，故g(x)=h(x)x>0，所以g(x)在(1,+)內(nèi)遞增，g(x)>g(1)=2k2； 綜合可得：k=2(1)令f(e2)=12解出m，得出f(x)的解析式，令f(x)<0解出f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)分離參數(shù)得出k>2x-2xlnx(0<x<1)或k<2x-2xlnx(x>1)，分情況討論求出右側(cè)函數(shù)的最大值或最小值，從而得出k的范圍本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)恒成立問題，屬于中檔題18. 已知函數(shù)f(x)=alnx-1x，aR()若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線與直線x+2y=0垂直，求a的值；()求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；()當(dāng)a=1，且x2時(shí)，證明：f(x-1)2x-5（正確答案）解：()函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閤|x>0，f(x)=ax+1x2又曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線與直線x+2y=0垂直，所以，即a=1()由于f(x)=ax+1x2當(dāng)a0時(shí)，對(duì)于x(0,+)，有 0/>在定義域上恒成立，即f(x)在(0,+)上是增函數(shù)當(dāng)a<0時(shí)，由，得x=-1a(0,+)當(dāng)x(0,-1a)時(shí)， 0/>，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x(-1a,+)時(shí)，f(x)單調(diào)遞減()當(dāng)a=1時(shí)，f(x-1)=ln(x-1)-1x-1x2,+)令g(x)=ln(x-1)-1x-1-2x+5g(x)=1x-1+1(x-1)2-2=-(2x-1)(x-2)(x-1)2當(dāng)x>2時(shí)，g(x)<0，g(x)在(2,+)單調(diào)遞減又g(2)=0，所以g(x)在(2,+)恒為負(fù)所以當(dāng)x2,+)時(shí)，g(x)0即ln(x-1)-1x-1-2x+50故當(dāng)a=1，且x2時(shí)，f(x-1)2x-5成立()導(dǎo)數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值是切線斜率，垂直的直線斜率互為負(fù)倒數(shù)()導(dǎo)數(shù)大于0，對(duì)應(yīng)區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于0，對(duì)應(yīng)區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間()用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的最值，證明不等式本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義；切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為切線斜率；用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間：導(dǎo)數(shù)大于0，對(duì)應(yīng)區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于0，對(duì)應(yīng)區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間；用導(dǎo)數(shù)求最值，證明不等式19. 已知ABC中，點(diǎn)A(3,-1)，AB邊上的中線所在直線的方程為6x+10y-59=0，B的平分線所在直線的方程為x-4y+10=0，求BC邊所在直線的方程（正確答案）解：設(shè)B(c,d)，B的平分線所在直線上的點(diǎn)為D，因?yàn)锽在BD上所以d=14(c+10) 即：B(c,14(c+10) 所以AB中點(diǎn)(12(c+3),18(c+6) AB的中點(diǎn)在中線6x+10y-59=0上所以3(c+3)+54(c+6)-59=0 解得c=10 所以B(10,5) 所以AB斜率KAB=67 kBD-kBC1+kBDkBC=kAB-kBD1+kABkBD 14-kBC1+14kBC=67-141+314 解得kBc=-29 所以BC方程(點(diǎn)斜式)：y-5=-29(x-10)，即2x+9y-65=0設(shè)B(c,d)B的平分線所在直線上的點(diǎn)為D，因?yàn)锽在BD上，AB的中點(diǎn)在中線6x+10y-59=0上，求出B的坐標(biāo)，利用解答平分線方程，到角公式，求出BC的斜率，然后求出BC的方程本題是中檔題，充分利用中邊所在直線方程，角的平分線方程，到角公式，求解所求直線的斜率，考查計(jì)算能力，分析問題解決問題的能力，本題的解法比較多，但是都比較復(fù)雜，考查學(xué)生的耐心和毅力