成才之路 數(shù)學 路漫漫其修遠兮吾將上下而求索 人教A版 選修2 3 計數(shù)原理 第一章 高二一班某寢室有8名同學 他們約定畢業(yè)后每年春節(jié)要互寄一張賀年卡片 他們一共要消費多少張卡片 2015年9月 紀念中國人民抗日戰(zhàn)爭暨世界反法西斯戰(zhàn)爭勝利70周年閱兵式 外軍方隊有17個方隊 這些方隊的出場順序一共有多少種排法 某城市的電話號碼有8位數(shù)字 一共能構(gòu)成多少電話號碼 汽車牌照由26個英文字母和10個阿拉伯數(shù)字選出五個組成 一共能組成多少輛汽車的牌照號碼 你知道是怎樣計數(shù)的嗎 本章將系統(tǒng)學習計數(shù)原理 學習本章要注意體會有序與無序在計數(shù)中的區(qū)別 體會建模在數(shù)學研究中的作用 1 1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理 第一章 第1課時分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理 1 通過實例抽象概括出兩個計數(shù)原理 2 能夠區(qū)分兩個計數(shù)原理并會應(yīng)用兩個計數(shù)原理解決一些簡單問題 重點 歸納得出兩個計數(shù)原理 能運用它們解決簡單的實際問題 難點 正確理解 完成一件事情 的含義 正確區(qū)分 分類 與 分步 分類加法計數(shù)原理 新知導學1 分類加法計數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案 在第1類方案中有m種不同的方法 在第2類方案中有n種不同的方法 那么完成這件事共有N 種不同的方法 2 分類加法計數(shù)原理的推廣完成一件事有n類不同的方案 在第1類方案中有m1種不同的方法 在第2類方案中有m2種不同的方法 在第n類方案中有mn種不同的方法 那么完成這件事共有N 種不同的方法 m n m1 m2 mn 牛刀小試1 某校開設(shè)A類選修課3門 B類選修課4門 若要求從兩類課程中選一門 則不同的選法共有 A 3種B 4種C 7種D 12種 答案 C 解析 選擇課程的方法有2類 從A類課程中選一門有3種不同方法 從B類課程中選1門有4種不同方法 共有不同選法3 4 7種 2 用1 2 3這3個數(shù)字可以寫出沒有重復數(shù)字的整數(shù) 個 答案 15 解析 分三類 第一類為一位整數(shù) 有3個 第二類為兩位整數(shù) 有12 21 13 31 23 32 共6個 第三類為三位整數(shù) 有123 132 321 312 231 213 共6個 共寫出沒有重復數(shù)字的整數(shù)3 6 6 15個 3 2015 錦州一中高二期中 從數(shù)字1 2 3 4 5 6中取兩個數(shù)相加 共得 個不同的偶數(shù) 答案 4 解析 由兩個數(shù)相加是偶數(shù)知兩個數(shù)都是偶數(shù)或兩個數(shù)都是奇數(shù) 分兩類 第一類 兩個數(shù)都是偶數(shù) 2 4 6 2 6 8 4 6 10 共得3個偶數(shù) 第二類 兩個數(shù)都是奇數(shù) 1 3 4 1 5 6 3 5 8 共得3個偶數(shù) 2 6 3 5 2 4 1 5 從數(shù)字1 2 3 4 5 6中取兩個相加 共得4個不同的偶數(shù) 故答案為4 分步乘法計數(shù)原理 新知導學3 分步乘法計數(shù)原理完成一件事需要兩個步驟 做第1步有m種不同的方法 做第2步有n種不同的方法 那么完成這件事共有N 種不同的方法 4 分步乘法計數(shù)原理的推廣完成一件事需要分成n個步驟 做第1步有m1種不同的方法 做第2步有m2種不同的方法 做第n步有mn種不同的方法 那么完成這件事共有N 種不同的方法 m n m1 m2 mn 牛刀小試4 已知x 2 3 7 y 31 24 4 則 x y 可表示不同的點的個數(shù)是 A 1B 3C 6D 9 答案 D 解析 這件事可分為兩步完成 第一步 在集合 2 3 7 中任取一個值x有3種方法 第二步 在集合 31 24 4 中任取一個值y有3種方法 根據(jù)分步乘法計數(shù)原理知 有3 3 9個不同的點 5 2015 青島市膠州高二期中 甲 乙兩人從4門課程中各選修1門 則甲 乙所選的課程不相同的選法共有 A 6種B 12種C 30種D 36種 答案 B 解析 甲 乙兩人從4門課程中各選修1門 由乘法原理 可得甲 乙所選的課程不相同的選法有4 3 12種 故選B 6 將三封信投入4個郵箱 不同的投法有 種 答案 64 解析 第一封信有4種投法 第二封信也有4種投法 第三封信也有4種投法 由分步乘法計數(shù)原理知 共有不同投法43 64種 在所有的兩位數(shù)中 個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)共有多少個 分析 完成這件事 只要兩位數(shù)的個位 十位確定了 這件事就算完成了 因此可考慮按十位上的數(shù)字情況或按個位上的數(shù)字情況進行分類 分類加法計數(shù)原理 解析 解法一 按十位數(shù)上的數(shù)字分別是1 2 3 4 5 6 7 8的情況分為8類 在每一類中滿足題目條件的兩位數(shù)分別是8個 7個 6個 5個 4個 3個 2個 1個 由分類加法計數(shù)原理知 符合題意的兩位數(shù)的個數(shù)共有8 7 6 5 4 3 2 1 36 個 解法二 按個位數(shù)字是2 3 4 5 6 7 8 9分成8類 在每一類中滿足條件的兩位數(shù)分別是1個 2個 3個 4個 5個 6個 7個 8個 所以按分類加法計數(shù)原理共有1 2 3 4 5 6 7 8 36 個 方法規(guī)律總結(jié) 應(yīng)用分類加法計數(shù)原理解題時要注意以下三點 1 明確題目中所指的 完成一件事 指的是什么事 怎樣才算是完成這件事 2 完成這件事的n類辦法中的各種方法是互不相同的 無論哪類辦法中的哪種方法都可以單獨完成這件事 3 確立恰當?shù)姆诸悩藴?這個 標準 必須滿足 一 完成這件事情的任何一種方法必須屬于其中的一個類 二 分別在不同兩類中的兩種方法不能相同 即不重復 無遺漏 滿足a b 1 0 1 2 且關(guān)于x的方程ax2 2x b 0有實數(shù)解的有序數(shù)對 a b 的個數(shù)為 A 14B 13C 12D 10 答案 B 解析 當a 0時 2x b 0總有實數(shù)根 a b 的取值有4個 當a 0時 需 4 4ab 0 ab 1 a 1時 b的取值有4個 a 1時 b的取值有3個 a 2時 b的取值有2個 a b 的取法有9個 綜合 知 a b 的取法有4 9 13個 已知a 3 4 6 b 1 2 7 8 r 8 9 則方程 x a 2 y b 2 r2可表示不同的圓的個數(shù)有多少個 分析 要想確定一個圓 需確定圓心的橫坐標a 縱坐標b 圓的半徑r 只有當三個量都確定時 這個圓才確定 故應(yīng)該用分步乘法計數(shù)原理求解 解析 圓方程由三個量a b r確定 a b r分別有3種 4種 2種選法 由分步乘法計數(shù)原理 表示不同的圓的個數(shù)為3 4 2 24 個 分步乘法計數(shù)原理 方法規(guī)律總結(jié) 應(yīng)用分步乘法計數(shù)原理解題時要注意以下三點 1 明確題目中所指的 完成一件事 是什么事 怎樣才算完成了這件事 2 完成這件事情需要分成n個步驟 每一步驟都不能完成這件事情 只有各個步驟都完成了 這件事情才能完成 3 選取的標準不同 分的 步 也不同 完成這件事的任何一種方法 都要分成若干個步驟 1 有5本書全部借給3名學生 有不同的借法 種 2 有3名學生分配到某工廠的5個車間去參加社會實踐 則有不同分配方案 種 答案 1 243 2 125 解析 1 中要完成的事情是把5本書全部借給3名學生 可分5個步驟完成 每一步把一本書借出去 有3種不同的方法 根據(jù)分步乘法計數(shù)原理 共有N 3 3 3 3 3 35 243 種 不同的借法 2 中要完成的事情是把3名學生分配到5個車間中 可分3個步驟完成 每一步分配一名學生 有5種不同的方法 根據(jù)分步乘法計數(shù)原理 共有N 5 5 5 53 125 種 不同的分配方案 點評 1 中只有當5本書全部確定去向 這件事情才算完成 2 中只有當3名學生全部確定去的車間 這件事情才算完成 現(xiàn)有5幅不同的國畫 2幅不同的油畫 7幅不同的水彩畫 1 從中任選一幅畫布置房間 有幾種不同的選法 2 從這些國畫 油畫 水彩畫中各選一幅布置房間 有幾種不同的選法 3 從這些畫中選出兩幅不同種類的畫布置房間 有幾種不同的選法 分析 1 選一幅國畫布置房間 這件事情可以完成 選一幅油畫布置房間 這件事情也可以完成 因此完成 選一幅畫布置房間 這件事情共分三類 兩個基本原理的區(qū)別應(yīng)用 2 選一幅國畫布置房間 布置房間的任務(wù)沒有完成 選一幅油畫布置房間 布置房間的任務(wù)也沒有完成 只有國畫 油畫 水彩畫各選一幅都完成后 布置房間的任務(wù)才算完成 故完成這件事情需分三步 3 選兩種不同種類的畫 可以選國畫 油畫 也可以選國畫 水彩畫 如果選了國畫 油畫 則這件事情已經(jīng)完成 故用分類加法計數(shù)原理 在每一類里選一種畫 再選一種畫 兩種畫都選出 這件事情才完成 故用分步乘法計數(shù)原理 因此本題應(yīng)先分類 再分步解決 解析 1 分為三類 從國畫中選 有5種不同的選法 從油畫中選 有2種不同的選法 從水彩畫中選 有7種不同的選法 根據(jù)分類加法計數(shù)原理共有5 2 7 14種不同的選法 2 分為三步 國畫 油畫 水彩畫各有5種 2種 7種不同的選法 根據(jù)分步乘法計數(shù)原理 共有5 2 7 70種不同的選法 3 分為三類 第一類是一幅選自國畫 一幅選自油畫 由分步乘法計數(shù)原理知 有5 2 10種不同的選法 第二類是一幅選自國畫 一幅選自水彩畫 有5 7 35種不同的選法 第三類是一幅選自油畫 一幅選自水彩畫 有2 7 14種不同的選法 所以有10 35 14 59種不同的選法 方法規(guī)律總結(jié) 用兩個計數(shù)原理解決具體問題時 首先 要分清是 分類 還是 分步 區(qū)分分類還是分步的關(guān)鍵是看這種方法能否完成這件事情 其次 要清楚 分類 或 分步 的具體標準 在 分類 時要遵循 不重不漏 的原則 在 分步 時要正確設(shè)計 分步 的程序 注意步與步之間的連續(xù)性 有些題目中 分類 與 分步 同時進行 即 先分類后分步 或 先分步后分類 有三只口袋裝有小球 一只裝有5個白色小球 一只裝有6個黑色小球 一只裝有7個紅色小球 若每次從中取兩個不同顏色的小球 共有多少種不同的取法 解析 分為三類 一類是取白球 黑球 有5 6 30種取法 一類是取白球 紅球 有5 7 35種取法 一類是取黑球 紅球 有6 7 42種取法 共有取法 30 35 42 107 種 正確理解完成一件事情所需要的步驟或類型下圖中一共有多少個矩形 頂點不完全相同就視作不同的矩形 錯解 按橫行進行分類 第一類 由A行和B行組成的矩形有15個 第二類 由B行和C行組成的矩形有15個 第三類 由C行和D行組成的矩形有15個 由分類加法原理知 不同的矩形共有15 15 15 45個 辨析 完成一個矩形 既要考慮橫線由哪兩條構(gòu)成 也要考慮豎線由哪兩條構(gòu)成 只有當兩條橫線與兩條豎線都確定時 這個矩形才算完成 故這是分步乘法計數(shù)原理 正解 我們只要在A B C D四條橫線中選取2條 在1 2 3 4 5 6這6條豎線中選取兩條 就能確定一個矩形 如圖中矩形B2D2D5B5是由橫線B2B5 D2D5和豎線B2D2 B5D5圍成的 選取橫線有AB AC AD BC BD CD共6種不同方法 選取豎線有 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 2 3 2 4 2 5 2 6 3 4 3 5 3 6 4 5 4 6 5 6 共15種不同方法 由分步乘計數(shù)原理知 共有不同的矩形6 15 90個