2019-2020年三年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 年齡問(wèn)題專題簡(jiǎn)析：年齡問(wèn)題可以說(shuō)是前面所講的和差問(wèn)題及差倍問(wèn)題的綜合，要正確解答這類題，首先要弄清：兩個(gè)不同年齡的人，年齡之差始終不變，但兩個(gè)人年齡的倍數(shù)關(guān)系卻在不斷地變化。年齡問(wèn)題的主要特征是：大小年齡差是一個(gè)不變的量。我們可以抓住差不變這個(gè)特點(diǎn)，利用和差、差倍等知識(shí)來(lái)分析解答這類應(yīng)用題。例題1 三年前爸爸年齡是女兒的4倍，爸爸今年43歲，女兒今年多少歲？思路導(dǎo)航：由題意可知爸爸今年43歲，則三年前爸爸的年齡是433=40歲，40歲正好是女兒年齡的4倍，女兒三年前的年齡是404=10歲，今年女兒的年齡是103=13歲。練 習(xí) 一1四年前小林年齡是小麗的2倍，小林今年12歲，小麗今年多少歲？2五年前爺爺年齡是孫子的7倍，孫子今年14歲，爺爺今年多少歲？3兒子今年10歲，爸爸今年34歲。幾年前，爸爸的年齡是兒子的4倍？例題2 明明4歲時(shí)，媽媽年齡是明明的8倍。今年明明12歲，媽媽今年多少歲？思路導(dǎo)航：媽媽的年齡是明明的8倍，那么媽媽與明明的年齡相差484=28歲。媽媽與明明的年齡差是不變的，今年明明12歲，那么媽媽的年齡是1228=40歲。練 習(xí) 二1玲玲7歲時(shí)，爸爸年齡是玲玲的5倍。今年爸爸40歲，玲玲今年多少歲？2爺爺63歲時(shí)，他的年齡是小青的9倍。今年小青12歲，爺爺今年多少歲？3兩年前媽媽年齡是兒子的5倍，兒子今年9歲，媽媽今年多少歲？例題3 女兒今年3歲，媽媽今年33歲。幾年后，媽媽的年齡是女兒的7倍？思路導(dǎo)航：女兒今年3歲，媽媽今年33歲，她們的年齡差是333=30歲。她們年齡差不變，幾年后，媽媽的年齡是女兒的3倍，把女兒的年齡看作1份，媽媽的年齡就有7份，相差71=6份，6份是30歲，所以幾年后女兒的年齡是306=5歲。也就是說(shuō)，53=2年后，媽媽的年齡是女兒的7倍。練 習(xí) 三1小明今年7歲，爺爺今年62歲。幾年前，爺爺?shù)哪挲g是小明的12倍？2兒子今年2歲，爸爸今年的年齡是兒子的16倍。幾年后，爸爸的年齡是兒子的7倍？3媽媽今年26歲，是小玲年齡的13倍。幾年后，媽媽的年齡是小玲的7倍？例題4 4年前，媽媽的年齡是女兒的3倍，4年后，母女年齡和是56歲。媽媽今年多少歲？思路導(dǎo)航：4年后，母子的年齡和是56歲，可求出今年母子年齡和是5642=48歲。4年前母子年齡和是4842=40歲。又根據(jù)4年前，媽媽年齡是女兒的3倍，把女兒年齡看作1份，媽媽的年齡就有這樣的3份，共有31=4份。所以4年前女兒的年齡是404=10歲，媽媽今年的年齡是1034=34歲。練 習(xí) 四13年前，哥哥的年齡是弟弟的2倍。3年后，哥弟倆的年齡和是30歲。哥哥今年多少歲？25年前，小明的年齡是小紅的3倍。5年后，小明和小紅年齡和是44歲。今年小明多少歲？37年前，姐姐的年齡是妹妹的4倍。7年后，姐妹倆的年齡和是48歲。姐姐今年多少歲？例題5 明明今年12歲，強(qiáng)強(qiáng)今年7歲，當(dāng)兩人的年齡和是45歲時(shí)，兩人各多少歲？思路導(dǎo)航：明明和強(qiáng)強(qiáng)的年齡差為127=5歲，這是一個(gè)不變量。當(dāng)兩人的年齡和是45歲時(shí)，明明比強(qiáng)強(qiáng)還是大5歲，如果從兩人的年齡和45歲里減去兩人的年齡差5歲，得到的就是兩個(gè)強(qiáng)強(qiáng)的年齡。所以，強(qiáng)強(qiáng)的年齡是（455）2=20歲，明明的年齡是205=25歲。練 習(xí) 五1小紅今年4歲，今年10歲，當(dāng)兩人的年齡和是30歲時(shí)，兩人各多少歲？2聰聰今年2歲，媽媽今年28歲。當(dāng)母子倆的年齡和是42歲時(shí)，兩人各多少歲？3蘭蘭今年12歲，婷婷今年14歲，當(dāng)兩人的年齡和是40歲時(shí)，兩人各多少歲？ 附送：2019-2020年三年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 應(yīng)用同余問(wèn)題專題簡(jiǎn)析：同余這個(gè)概念最初是由偉大的德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯發(fā)現(xiàn)的。同余的定義是這樣的：兩個(gè)整數(shù)a，b，如果它們除以同一自然數(shù)m所得的余數(shù)相同，則稱a，b對(duì)于模m同余。記作：ab（mod ）。讀做：同余于模。比如，12除以5，47除以5，它們有相同的余數(shù)2，這時(shí)我們就說(shuō)，對(duì)于除數(shù)5，12和47同余，記做1247（mod5）。同余的性質(zhì)比較多，主要有以下一些：性質(zhì)（1）：對(duì)于同一個(gè)除數(shù)，兩個(gè)數(shù)之和（或差）與它們的余數(shù)之和（或差）同余。比如：32除以5余數(shù)是2，19除以5余數(shù)是4，兩個(gè)余數(shù)的和是2+4=6?！?2+19”除以5的余數(shù)就恰好等于它們的余數(shù)和6除以5的余數(shù)。也就是說(shuō)，對(duì)于除數(shù)5，“32+19”與它們的余數(shù)和“2+4”同余，用符號(hào)表示就是：322（mod5），194（mod5），32+192+41（mod5）性質(zhì)（2）：對(duì)于同一個(gè)除數(shù)，兩個(gè)數(shù)的乘積與它們余數(shù)的乘積同余。性質(zhì)（3）：對(duì)于同一個(gè)除數(shù)，如果有兩個(gè)整數(shù)同余，那么它們的差就一定能被這個(gè)除數(shù)整除。性質(zhì)（4）：對(duì)于同一個(gè)除數(shù)，如果兩個(gè)整數(shù)同余，那么它們的乘方仍然同余。應(yīng)用同余性質(zhì)解題的關(guān)鍵是要在正確理解的基礎(chǔ)上靈活運(yùn)用同余性質(zhì)。把求一個(gè)較大的數(shù)除以某數(shù)的余數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求一個(gè)較小的數(shù)除以這個(gè)數(shù)的余數(shù)，使復(fù)雜的題變簡(jiǎn)單，使困難的題變?nèi)菀?。例題1：求199259除以7的余數(shù)。應(yīng)用同余性質(zhì)（2）可將199259轉(zhuǎn)化為求1992除以7和59除以7的余數(shù)的乘積，使計(jì)算簡(jiǎn)化。1992除以7余4，59除以7余3。根據(jù)同余性質(zhì)，“43”除以7的余數(shù)與“199259”除以7的余數(shù)應(yīng)該是相同的，通過(guò)求“43”除以7的余數(shù)就可知道199259除以7的余數(shù)了。因?yàn)?99259435（mod 7）所以199259除以7的余數(shù)是5。練習(xí)1：1求4217364除以6的余數(shù)。2求133965512除以13的余數(shù)。3求87943765283除以11的余數(shù)。例題2：已知xx年的國(guó)慶節(jié)是星期一，求xx年的國(guó)慶節(jié)是星期幾？一星期有7天，要求xx年的國(guó)慶節(jié)是星期幾，就要求從xx年到xx年的國(guó)慶節(jié)的總天數(shù)被7除的余數(shù)就行了。但在計(jì)算中，如果我們能充分利用同余性質(zhì)，就可以不必算出這個(gè)總天數(shù)。xx年國(guó)慶節(jié)到xx年國(guó)慶節(jié)之間共有2個(gè)閏年7個(gè)平年，即有“3662+3657”天。因?yàn)?662224（mod 7），3657170（mod 7），3662+365722+174+04（mod 7）答：xx年的國(guó)慶節(jié)是星期五。練習(xí)2：1已知xx年元旦是星期二。求xx年元旦是星期幾？2已知xx年的“七月一日”是星期一。求xx年的“十月一日”是星期幾？3今天是星期四，再過(guò)365的15次方是星期幾？例題3：求xx的xx次方除以13的余數(shù)。xx除以13余12，即xx12（mod 13）。根據(jù)同余性質(zhì)（4），可知xx的xx次方12的xx次方（mod 13），但12的xx次方仍然是一個(gè)很大的值，要求它的余數(shù)比較困難。這時(shí)的關(guān)鍵就是要找出12的幾次方對(duì)模13與1是同余的。經(jīng)試驗(yàn)可知12的平方1（mod 13），而xx21001+1。所以（12的平方）的1001次方1的1001（mod 13），即12的xx次方1（mod 13），而12的xx次方12的xx次方12。根據(jù)同余性質(zhì)（2）可知12的xx次方1211212（mod 13）因?yàn)椋簒x的xx次方12的xx次方（mod 13）12的平方1（mod 13），而xx21001+112的xx次方12的xx次方1211212（mod 13）所以xx的xx次方除以13的余數(shù)是12。練習(xí)3：1求12的200次方除以13的余數(shù)。2求3的92次方除以21余幾。39個(gè)小朋友坐成一圈，要把35的7次方粒瓜子平均分給他們，最后剩下幾粒？例題4：自然數(shù)16520，14903，14177除以m的余數(shù)相同，m最大是多少？自然數(shù)16520，14903，14177除以m的余數(shù)相同，換句話說(shuō)就是165201490314177（mod m）。根據(jù)同余性質(zhì)（3），這三個(gè)數(shù)同余，那么它們的差就能被m整除。要求m最大是多少，就是求它們差的最大公約數(shù)是多少？因?yàn)?652014903=1617=37的平方111652014177=2343=31171 1490314177=726=2311的平方M是這些差的公約數(shù)，m最大是311=33。練習(xí)4：1若2836、4582、5164、6522四個(gè)整數(shù)都被同一個(gè)兩位數(shù)相除，所得的余數(shù)相同。除數(shù)是多少？2一個(gè)整數(shù)除226、192、141都得到相同的余數(shù)，且余數(shù)不為0，這個(gè)整數(shù)是幾？3當(dāng)1991和1769除以某一個(gè)自然數(shù)m時(shí)，余數(shù)分別為2和1，那么m最小是多少？例題5：某數(shù)用6除余3，用7除余5，用8除余1，這個(gè)數(shù)最小是幾？我們可從較大的除數(shù)開(kāi)始嘗試。首先考慮與1模8同余的數(shù)，91（mod 8），但9輸以7余數(shù)不是5，所以某數(shù)不是9。171（mod 8），17除以7的余數(shù)也不是5。251（mod 8），25除以7的余數(shù)也不是5。331（mod 8），33除以7的余數(shù)正好是5，而且33除以6余數(shù)正好是3，所以這個(gè)數(shù)最小是33。上面的方法實(shí)際是一種列舉法，也可以簡(jiǎn)化為下面的格式：被8除余1的數(shù)有：9，17，25，33，41，49，57，65，73，81，89，其中被7除余5的數(shù)有：33，89，這些數(shù)中被6除余3的數(shù)最小是33。練習(xí)5：1某數(shù)除以7余1，除以5余1，除以12余9。這個(gè)數(shù)最小是幾？2某數(shù)除以7余6，除以5余1，除以11余3，求此數(shù)最小值。