1 2極坐標(biāo)系 本節(jié)課在學(xué)習(xí)了平面直角坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上 知道可以在直角坐標(biāo)系中表示任意一個點M 通過路人問話的問題引導(dǎo)學(xué)生從另外一個角度去研究平面內(nèi)點的位置 在生活中人們經(jīng)常用方向和距離來表示一點的位置 這種用方向和距離表示平面上一點的位置的思想 就是極坐標(biāo)的基本思想 本節(jié)重點學(xué)習(xí)極坐標(biāo)的建立和點M的表示 在學(xué)習(xí)過程中有的學(xué)生可能沒有辦法馬上適應(yīng)極坐標(biāo)的思想方法 因為之前解決問題總是用平面直角坐標(biāo) 可以通過練習(xí)加以區(qū)分二者的聯(lián)系與區(qū)別 1 理解極坐標(biāo)的概念 弄清極坐標(biāo)系的結(jié)構(gòu) 建立極坐標(biāo)系的四要素 2 理解廣義極坐標(biāo)系下點的極坐標(biāo) 與點之間的多對一的對應(yīng)關(guān)系 3 已知一點的極坐標(biāo)會在極坐標(biāo)系中描點 以及已知點能寫出它的極坐標(biāo) 目標(biāo)在哪 在以 為X軸以 為Y軸 坐標(biāo)是 以天河路為X軸以廣州大道為Y軸 請問 去廣州塔怎么走 癡線 以天河路為X軸以廣州大道為Y軸 以天河路為X軸以廣州大道為Y軸 從這向東2000米 請問 去廣州塔怎么走 請分析上面這句話 他告訴了問路人什么 從這向東走2000米 出發(fā)點 方向 距離 在生活中人們經(jīng)常用方向和距離來表示一點的位置 這種用方向和距離表示平面上一點的位置的思想 就是極坐標(biāo)的基本思想 一 極坐標(biāo)系的建立 在平面內(nèi)取一個定點O 叫做極點 引一條射線OX 叫做極軸 再選定一個長度單位和角度單位及它的正方向 通常取逆時針方向 這樣就建立了一個極坐標(biāo)系 O 極坐標(biāo)系的四要素 二 極坐標(biāo)系內(nèi)一點的極坐標(biāo)的規(guī)定 對于平面上任意一點M 用 表示線段OM的長度 用 表示從OX到OM的角度 叫做M的極徑 叫做點M的極角 有序數(shù)對 就叫做M的極坐標(biāo) 特別強調(diào) 表示線段OM的長度 既點M到極點O的距離 表示從OX到OM的角度 既以O(shè)X 極軸 為始邊 OM為終邊的角 例1 說出下圖中各點的極坐標(biāo) 特別規(guī)定 當(dāng)M在極點時 它的極坐標(biāo) 0 可以取任意值 極點 0 R 即極點有無數(shù)個極坐標(biāo) 三 點的極坐標(biāo)的表達式的研究 如圖 OM的長度為4 請說出點M的極坐標(biāo)的其他表達式 1 這些極坐標(biāo)之間有何異同 2 這些極角有何關(guān)系 這些極角的始邊相同 終邊也相同 也就是說它們是終邊相同的角 本題點M的極坐標(biāo)統(tǒng)一表達式 極徑相同 不同的是極角 例2 在極坐標(biāo)系里描出下列各點 1 極坐標(biāo)系的建立需確定幾條 2 極坐標(biāo)系內(nèi)一點的極坐標(biāo)有多少種表達式 無數(shù)種 是因為極角引起的 3 一點的極坐標(biāo)有否統(tǒng)一的表達式 有 極點 極徑 長度單位和角度正方向 四 負(fù)極徑 說明 一般情況下 極徑都是正值 在某些必要情況下 極徑也可以取負(fù)值 對于點M 負(fù)極徑時的規(guī)定 1 作射線OP 使 XOP 2 在OP的反向延長線上取一點M 使 OM 1 負(fù)極徑的定義 2 負(fù)極徑的實例 在極坐標(biāo)系中畫出點M 3 4 的位置 解 1 作射線OP 使 XOP 4 2 在OP的反向延長線上取一點M 使 OM 3 四 負(fù)極徑 3 關(guān)于負(fù)極徑的思考 把負(fù)極徑時點的確定過程 與正極徑時點的確定過程相比較 看看有什么相同 有什么不同 四 負(fù)極徑 負(fù)極徑 真是 負(fù) 的 4 正 負(fù)極徑時 點的確定過程比較 畫出點 3 4 和 3 4 四 負(fù)極徑 點 3 4 點 3 4 5 負(fù)極徑的實質(zhì) 從比較來看 負(fù)極徑比正極徑多了一個操作 將射線OP 反向延長 而反向延長也可以說成旋轉(zhuǎn) 因此 所謂 負(fù)極徑 實質(zhì)是管方向的 這與數(shù)學(xué)中通常的習(xí)慣一致 用 負(fù) 表示 反向 四 負(fù)極徑 負(fù)極徑總結(jié) 極徑是負(fù)的 等于極角增加 負(fù)極徑的負(fù)與數(shù)學(xué)中歷來的習(xí)慣相同 用來表示 反向 特別強調(diào) 以后不特別聲明 0 因為 負(fù)極徑只在極少數(shù)情況用 練習(xí) 寫出下列各點的負(fù)極徑的極坐標(biāo) 答 3 4 3 4 1 極徑是正的時候 2 極徑用 3 五 極坐標(biāo)系下點與它的極坐標(biāo)的對應(yīng)情況 探索點M 3 的所有極坐標(biāo) 五 極坐標(biāo)系下點與它的極坐標(biāo)的對應(yīng)情況 1 首先 給定極坐標(biāo)M 在平面上可以確定唯一的一點 2 反過來 給定平面上一點 卻有無數(shù)個極坐標(biāo) 原因 極徑有正有負(fù) 極角有無數(shù)個 但是 有統(tǒng)一表達式兩個 如果限定 0 0 2 那么除極點外 平面內(nèi)的點和極坐標(biāo)就可以一一對應(yīng)了 3 一點的極坐標(biāo)有否統(tǒng)一的表達式 1 建立一個極坐標(biāo)系需要哪些要素 極點 極軸 長度單位 角度單位和它的正方向 2 極坐標(biāo)系內(nèi)一點的極坐標(biāo)有多少種表達式 無數(shù) 極角有無數(shù)個 有 2k 預(yù)習(xí) 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化