《高中數(shù)學 1.3.1 二項式定理課件 新人教A版選修2-3 .ppt》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高中數(shù)學 1.3.1 二項式定理課件 新人教A版選修2-3 .ppt（45頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1 3二項式定理1 3 1二項式定理 二項式定理 右邊的式子 1 判一判 正確的打 錯誤的打 1 a b n展開式中共有n項 2 二項式 a b n與 b a n展開式中第r 1項相同 3 是 a b n展開式中的第k項 解析 1 錯誤 a b n展開式中共有n 1項 2 錯誤 a b n展開式中第r 1項為 而 b a n展開式中第r 1項為 3 錯誤 是 a b n展開式中的第k 1項 答案 1 2 3 2 做一做 請把正確的答案寫在橫線上 1 的二項展開式中第4項是 2 展開為 3 1 x 7的展開式中x2項的系數(shù)是 解析 1 展開式的通項公式為所以第4項為答案 答案 3 1 x 7展開式中令k 2 得x2項的系數(shù)是 21 答案 21 要點探究 知識點二項式定理及其通項公式1 二項展開式的特點 1 展開式共有n 1項 2 各項的次數(shù)和都等于二項式的冪指數(shù)n 3 字母a的冪指數(shù)按降冪排列 從第一項開始 次數(shù)由n逐項減1直到為0 字母b的冪指數(shù)按升冪排列 從第一項開始 次數(shù)由0逐項加1直到為n 2 對通項公式的四點說明 1 通項是 a b n的展開式的第r 1項 這里r 0 1 n 2 二項式 a b n的第r 1項和 b a n的展開式的第r 1項是有區(qū)別的 應用二項式定理時 其中的a和b是不能隨便交換的 3 注意二項式系數(shù)與展開式中對應項的系數(shù)不一定相等 二項式系數(shù)一定為正 而項的系數(shù)有時可為負 4 通項公式是在 a b n這個標準形式下而言的 如 a b n的二項展開式的通項公式是 只需把 b看成b代入二項式定理 這與是不同的 在這里對應項的二項式系數(shù)是相等的 都是 但項的系數(shù)一個是 一個是 可看出二項式系數(shù)與項的系數(shù)是不同的概念 知識拓展 二項式定理的證明 a b n是n個 a b 相乘 每個 a b 在相乘時有兩種選擇 選a或b 而且每個 a b 中的a或b選定后才能得到展開式的一項 由分步計數(shù)原理可知展開式共有2n項 包括同類項 其中每一項都是an kbk的形式 k 0 1 n 對于每一項an kbk 它是由n k個 a b 選了a k個 a b 選了b得到的 它出現(xiàn)的次數(shù)相當于從n個 a b 中取k個b的組合數(shù) 將它們合并同類項 就得二項展開式 這就是二項式定理 微思考 1 a b n展開式中各項前的系數(shù)代表著什么 提示 各項前的系數(shù)依次為組合數(shù)代表著這些項在展開式中出現(xiàn)的次數(shù) 2 二項展開式中一定含有常數(shù)項嗎 提示 不一定 由可知 也可能無常數(shù)項 即時練 1 在的二項展開式中 x5的系數(shù)為 解析 因為由題意知15 5r 5 解得r 2 所以即為所求x5的系數(shù) 答案 40 2 1 2x 5的展開式的第3項的系數(shù)為 第三項的二項式系數(shù)為 解析 1 2x 5的展開式的第3項的系數(shù)為 40 第三項的二項式系數(shù)為 10 答案 4010 題型示范 類型一二項式定理的正用和逆用 典例1 1 計算 2 用二項式定理展開 解題探究 1 題 1 中式子有什么結構特征 如何與二項式定理聯(lián)系 2 題 2 中運用二項式定理展開二項式的關鍵是什么 探究提示 1 式子是按x 1的降冪排列的 但與二項式定理比較可知式子中缺少 x 1 0項 進而可構造 x 1 1 5 2 關鍵是記準展開式 根據(jù)二項式的結構特征進行必要的變形 可使展開二項式的過程得到簡化 自主解答 1 原式 答案 x5 1 2 方法一 方法二 方法技巧 運用二項式定理的解題策略 1 正用 求形式簡單的二項展開式時可直接由二項式定理展開 展開時注意二項展開式的特點 前一個字母是降冪 后一個字母是升冪 形如 a b n的展開式中會出現(xiàn)正負間隔的情況 對較繁雜的式子 先化簡再用二項式定理展開 2 逆用 逆用二項式定理可將多項式化簡 對于這類問題的求解 要熟悉公式的特點 項數(shù) 各項冪指數(shù)的規(guī)律以及各項的系數(shù) 變式訓練 求二項式 a 2b 4的展開式 解析 根據(jù)二項式定理得 誤區(qū)警示 運用二項式定理時要注意對號入座 本題易誤把 2b中的負號忽略 補償訓練 計算 解析 設則所以答案 類型二求二項展開式的特定項 典例2 1 2014 湖南高考 的展開式中x2y3的系數(shù)是 A 20B 5C 5D 20 2 二項式的展開式中的常數(shù)項為 解題探究 1 題 1 中x2y3是二項式的展開式中的第幾項 2 題 2 中二項展開式中的常數(shù)項有什么特征 探究提示 1 由通項公式可知 x2y3是二項式展開式中的第4項 2 對于常數(shù)項 隱含條件是字母的指數(shù)為0 即0次項 自主解答 1 選A 因為所以x2y3的系數(shù)是 20 令6 2r 0 得r 3 所以答案 20 延伸探究 題 2 中第3項的系數(shù)為 第3項的二項式系數(shù)為 解析 因為所以二項展開式中第3項的系數(shù)為60 第3項的二項式系數(shù)為答案 6015 方法技巧 1 求二項展開式特定項的步驟 2 求二項展開式的特定項常見題型及處理措施 1 求第k項 2 求常數(shù)項 對于常數(shù)項 隱含條件是字母的指數(shù)為0 即0次項 3 求有理項 對于有理項 一般是根據(jù)通項公式所得到的項 其所有的字母的指數(shù)恰好都是整數(shù)的項 解這類問題必須合并通項公式中同一字母的指數(shù) 根據(jù)具體要求 令其屬于整數(shù) 再根據(jù)數(shù)的整除性來求解 4 求整式項 求二項展開式中的整式項 其通項公式中同一字母的指數(shù)應是非負整數(shù) 求解方式與求有理項一致 提醒 在實際求解時 若通項中含有根式 宜把根式化為分數(shù)指數(shù)冪 以減少計算中的錯誤 3 正確區(qū)分二項式系數(shù)與指定某一項的系數(shù)二項式系數(shù)與項的系數(shù)是兩個不同的概念 前者僅與二項式的指數(shù)及項數(shù)有關 與二項式無關 后者與二項式 二項式的指數(shù)及項數(shù)均有關 變式訓練 求二項式展開式中的有理項 解題指南 寫出展開式的通項 令通項公式中x的指數(shù)是整數(shù) 解析 令 Z 0 r 9 得r 3或r 9 所以當r 3時 當r 9時 綜上 展開式中的有理項為 84x4與 x3 補償訓練 若展開式的常數(shù)項為60 則常數(shù)a的值為 解析 由二項式定理可知令6 3r 0 得r 2 所以所以15a 60 所以a 4 答案 4 拓展類型 二項式定理的應用 整除問題 備選例題 1 8011被9除的余數(shù)為 2 證明 32n 2 8n 9 n N 能被64整除 解析 1 因為 81k 1 k Z 因為k Z 所以81k 1 Z 所以81k 1被9除余8 即8011被9除的余數(shù)為8 答案 8 由于各項均能被64整除 所以32n 2 8n 9 n N 能被64整除 方法技巧 整除性問題或求余數(shù)問題的處理方法 1 解決這類問題 必須構造一個與題目條件有關的二項式 2 用二項式定理解決an b整除 或余數(shù) 問題時 一般需要將底數(shù)寫成除數(shù)m的整數(shù)倍加上或減去r 1 r m 的形式 利用二項展開式求解 3 要注意余數(shù)的范圍 a cr b式子中b為余數(shù) b 0 r r是除數(shù) 利用二項式定理展開式變形后 若剩余部分是負數(shù)要注意轉換 4 利用二項式定量證明有關多項式 數(shù)值 的整除問題時 關鍵是將所給多項式通過恒等變形變?yōu)槎検叫问?使其展開后的各項均含有除式 易錯誤區(qū) 混淆二項式系數(shù)與項的系數(shù)而致誤 典例 2014 日照高二檢測 若 x n的展開式中第二項與第四項的系數(shù)之比為1 2 則展開式中第三項的二項式系數(shù)為 解析 x n的展開式中第二項與第四項分別為由題意得 即n2 3n 4 0 解得n 4或n 1 舍去 所以 所以第三項的二項式系數(shù)為 6 答案 6 常見誤區(qū) 防范措施 1 注意概念的區(qū)分對概念的把握和區(qū)分在解題中往往起到關鍵的作用 如本例易將 二項展開式中的二項式系數(shù) 與 二項展開式中項的系數(shù) 混為一談 2 審題細致看清條件在解決二項式問題時 一定注意分析問題具體是哪一項 到底是什么樣的系數(shù) 熟練把握二項式定理及通項公式 同時要養(yǎng)成良好的思維習慣 如本例條件是 第二項與第四項的系數(shù) 一是指明第二項和第四項 二是指明是系數(shù)而不是二項式系數(shù) 類題試解 1 2014 臨沂高二檢測 若的二項展開式中x3的系數(shù)為 則a 用數(shù)字作答 解析 因為 當12 3r 3時 r 3 所以 即a 2 答案 2 2 已知的展開式中第5項的二項式系數(shù)與第3項的二項式系數(shù)的比為14 3 則展開式中的常數(shù)項為 解析 由已知條件得 14 3 整理得 n2 5n 50 0 所以n 10 所以展開式的通項為 令 得k 2 所以常數(shù)項為第三項答案 180