1 4生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例 1 生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例 內(nèi)容 生活中的優(yōu)化問(wèn)題 應(yīng)用 1 海報(bào)版面尺寸的設(shè)計(jì) 2 圓柱形飲料罐的容積為定值時(shí) 所用材料最省問(wèn)題 3 飲料瓶大小對(duì)飲料公司利潤(rùn)有影響 本課主要學(xué)習(xí)生活中的優(yōu)化問(wèn)題 以生活中的實(shí)際問(wèn)題引入新課 本節(jié)課設(shè)計(jì)從易到難 由淺入深地發(fā)現(xiàn)身邊的 數(shù)學(xué) 特別是對(duì)采用一題多解 一題多變的變式教學(xué) 有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性與深刻性 遵循 提出問(wèn)題 分析問(wèn)題 解決問(wèn)題 的思維過(guò)程 注重引導(dǎo)學(xué)生 了解背景 思考推理 數(shù)學(xué)建模等活動(dòng) 本課給出3個(gè)例題和變式 通過(guò)解決這些問(wèn)題 培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的能力 采用例題與變式結(jié)合的方法 通過(guò)例1探討如何設(shè)計(jì)海報(bào)的尺寸 使空白面積最小 例2是飲料罐的容積為定值時(shí) 如何確定它的高與底半徑 使得所用材料最省 例3是飲料的利潤(rùn)最大問(wèn)題 通過(guò)這些問(wèn)題的解決 體會(huì)導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用 提高將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力 問(wèn)題1 學(xué)校宣傳海報(bào)比賽 要求版心面積128dm左右邊距1dm上下邊距2dm 請(qǐng)問(wèn)你將如何設(shè)計(jì) 問(wèn)題2 下面是某品牌飲料的三種規(guī)格不同的產(chǎn)品 若它們的價(jià)格如下表所示 則 1 對(duì)消費(fèi)者而言 選擇哪一種更合算呢 2 對(duì)制造商而言 哪一種的利潤(rùn)更大 運(yùn)用什么知識(shí)解決優(yōu)化問(wèn)題 一般地 若函數(shù)y f x 在 a b 上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線 則求f x 的最值的步驟是 1 求y f x 在 a b 內(nèi)的極值 極大值與極小值 2 將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f a f b 比較 其中最大的一個(gè)為最大值 最小的一個(gè)為最小值 特別地 如果函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn) 則這個(gè)極值一定是最值 例1 海報(bào)版面尺寸的設(shè)計(jì)學(xué)校或班級(jí)舉行活動(dòng) 通常需要張貼海報(bào)進(jìn)行宣傳 現(xiàn)讓你設(shè)計(jì)一張如圖3 4 1所示的豎向張貼的海報(bào) 要求版心面積為128dm2 上 下兩邊各空2dm 左 右兩邊各空1dm 如何設(shè)計(jì)海報(bào)的尺寸 才能使四周空白面積最小 圖3 4 1 因此 x 16是函數(shù)S x 的極小值 也是最小值點(diǎn) 所以 當(dāng)版心高為16dm 寬為8dm時(shí) 能使四周空白面積最小 解法二 由解法 一 得 練習(xí)1 一條長(zhǎng)為的鐵絲截成兩段 分別彎成兩個(gè)正方形 要使兩個(gè)正方形的面積和最小 兩段鐵絲的長(zhǎng)度分別是多少 則兩個(gè)正方形面積和為 由問(wèn)題的實(shí)際意義可知 例2 某種圓柱形的飲料罐的容積為定值V時(shí) 如何確定它的高與底半徑 使得所用材料最省 R h 解 設(shè)圓柱的高為h 底面半徑為R 則表面積為 又 定值 即h 2R 可以判斷S R 只有一個(gè)極值點(diǎn) 且是最小值點(diǎn) 答 罐高與底的直徑相等時(shí) 所用材料最省 變式 當(dāng)圓柱形金屬飲料罐的表面積為定值S時(shí) 它的高與底面半徑應(yīng)怎樣選取 才能使所用材料最省 飲料瓶大小對(duì)飲料公司利潤(rùn)有影響嗎 你是否注意過(guò) 市場(chǎng)上等量的小包裝的物品一般比大包裝的要貴些 你想從數(shù)學(xué)上知道它的道理嗎 是不是飲料瓶越大 飲料公司的利潤(rùn)越大 下面是某品牌飲料的三種規(guī)格不同的產(chǎn)品 若它們的價(jià)格如下表所示 則 1 對(duì)消費(fèi)者而言 選擇哪一種更合算呢 2 對(duì)制造商而言 哪一種的利潤(rùn)更大 例3 某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料 瓶子的制造成本是0 8pr2分 其中r是瓶子的半徑 單位是厘米 已知每出售1ml的飲料 制造商可獲利0 2分 且制造商能制造的瓶子的最大半徑為6cm 1 瓶子半徑多大時(shí) 能使每瓶飲料的利潤(rùn)最大 2 瓶子半徑多大時(shí) 每瓶飲料的利潤(rùn)最小 減函數(shù) 增函數(shù) 1 07p 解 由于瓶子的半徑為r 所以每瓶飲料的利潤(rùn)是 當(dāng)半徑r 時(shí) f r 0它表示f r 單調(diào)遞增 即半徑越大 利潤(rùn)越高 當(dāng)半徑r 時(shí) f r 0它表示f r 單調(diào)遞減 即半徑越大 利潤(rùn)越低 1 半徑為 cm時(shí) 利潤(rùn)最小 這時(shí) 表示此種瓶?jī)?nèi)飲料的利潤(rùn)還不夠瓶子的成本 此時(shí)利潤(rùn)是負(fù)值 半徑為 cm時(shí) 利潤(rùn)最大 由上述例子 我們不難發(fā)現(xiàn) 解決優(yōu)化問(wèn)題的基本思路是 上述解決優(yōu)化問(wèn)題的過(guò)程是一個(gè)典型的數(shù)學(xué)建模過(guò)程 優(yōu)化問(wèn)題 用函數(shù)表示的數(shù)學(xué)問(wèn)題 用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題 優(yōu)化問(wèn)題的答案 解決優(yōu)化問(wèn)題的一般步驟 1 審題 閱讀理解文字表達(dá)的題意 分清條件和結(jié)論 找出問(wèn)題的主要關(guān)系 2 建模 將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語(yǔ)言 利用數(shù)學(xué)知識(shí) 建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型 3 解模 把數(shù)學(xué)問(wèn)題化歸為常規(guī)問(wèn)題 選擇合適的數(shù)學(xué)方法求解 4 對(duì)結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證評(píng)估 定性定量分析 做出正確的判斷 確定其答案 注意 實(shí)際應(yīng)用中 準(zhǔn)確地列出函數(shù)解析式并確定函數(shù)的定義域是關(guān)鍵 習(xí)題1 4A組2 5 6 必做題 1 已知 某商品生產(chǎn)成本 與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為 價(jià)格p與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為 求產(chǎn)量q為何值時(shí) 利潤(rùn)L最大 選做題 分析 法一 這是一個(gè)幾何最值問(wèn)題 本題可用對(duì)稱性技巧獲得解決 法二 只要能把AE BE代數(shù)化 問(wèn)題就易解決