2019-2020年二年級數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 找規(guī)律法觀察、搜集已知事實，從中發(fā)現(xiàn)具有規(guī)律性的線索，用以探索未知事件的奧秘，是人類智力活動的主要內(nèi)容。數(shù)學(xué)上有很多材料可用以來模擬這種活動、培養(yǎng)學(xué)生這方面的能力。例1 觀察數(shù)列的前面幾項，找出規(guī)律，寫出該數(shù)列的第100項來？12345，23451，34512，45123，解：為了尋找規(guī)律，再多寫出幾項出來，并給以編號：仔細(xì)觀察，可發(fā)現(xiàn)該數(shù)列的第6項同第1項，第7項同第2項，第8項同第3項，也就是說該數(shù)列各項的出現(xiàn)具有周期性，他們是循環(huán)出現(xiàn)的，一個循環(huán)節(jié)包含5項。1005=20?？梢姷?00項與第5項、第10項一樣（項數(shù)都能被5整除），即第100項是51234。例2 把寫上1到100這100個號碼的牌子，像下面那樣依次分發(fā)給四個人，你知道第73號牌子會落到誰的手里？解：仔細(xì)觀察，你會發(fā)現(xiàn)：分給小明的牌子號碼是1，5，9，13，號碼除以4余1；分給小英的牌子號碼是2，6，10，14，號碼除以4余2；分給小方的牌子號碼是3，7，11，號碼除以4余3；分給小軍的牌子號碼是4，8，12，號碼除以4余0（整除）。因此，試用4除73看看余幾？734=18余 1可見73號牌會落到小明的手里。這就是運(yùn)用了如下的規(guī)律：用這種規(guī)律預(yù)測第幾號牌子發(fā)給誰，是很容易的，請同學(xué)們自己再試一試。例3 四個小動物換位，開始小鼠、小猴、小兔和小貓分別坐在1、2、3、4號位子上（如下圖所示）。第一次它們上下兩排換位，第二次左右換位，第三次又上下交換，第四次左右交換。這樣一直交換下去，問十次換位后，小兔坐在第幾號座位上？解：為了能找出變化規(guī)律，再接著寫出幾次換位情況，見下圖。盯住小兔的位置進(jìn)行觀察：第一次換位后，它到了第1號位；第二次換位后，它到了第2號位；第三次換位后，它到了第4號位；第四次換位后，它到了第3號位；第五次換位后，它又到了第1號位；可以發(fā)現(xiàn)，每經(jīng)過四次換位后，小兔又回到了原來的位置，利用這個規(guī)律以及104=2余2，可知：第十次換位后，小兔的座位同第二次換位后的位置一樣，即在第二號位。如果再仔細(xì)地把換位圖連續(xù)起來研究研究，可以發(fā)現(xiàn)，隨著一次次地交換，小兔的座位按順時針旋轉(zhuǎn)，小鼠的座位按逆時針旋轉(zhuǎn)，小猴的座位按順時針旋轉(zhuǎn)，小貓的座位按逆時針旋轉(zhuǎn)，按這個規(guī)律也可以預(yù)測任何小動物在交換幾次后的座位。例4 從1開始，每隔兩個數(shù)寫出一個數(shù)，得到一列數(shù)，求這列數(shù)的第100個數(shù)是多少？1，4，7，10，13，解：不難看出，這是一個等差數(shù)列，它的后一項都比相鄰的前一項大3，即公差=3，還可以發(fā)現(xiàn)：第2項等于第1項加1個公差即4=1+13。第3項等于第1項加2個公差即7=1+23。第4項等于第1項加3個公差即10=1+33。第5項等于第1項加4個公差即13=1+43?？梢姷趎項等于第1項加（n-1）個公差，即按這個規(guī)律，可求出：第100項=1+（100-1）3=1+993=298。例5 畫圖游戲先畫第一代，一個，再畫第二代，在下面畫出兩條線段，在一條線段的末端又畫一個，在另一條的末端畫一個；畫第三代，在第二代的下面又畫出兩條線段，一條末端畫，另一條末端畫；而在第二代的的下面畫一條線，線的末端再畫一個；一直照此畫下去（見下圖），問第十次的和共有多少個？解：按著畫圖規(guī)則繼續(xù)畫出幾代，以便于觀察，以期從中找出圖形的生成規(guī)律，見下圖。數(shù)一數(shù)，各代的圖形（包括和）的個數(shù)列成下表：可以發(fā)現(xiàn)各代圖形個數(shù)組成一個數(shù)列，這個數(shù)列的生成規(guī)律是，從第三項起每一項都是前面兩項之和。按此規(guī)律接著把數(shù)列寫下去，可得出第十代的和共有89個（見下表）：這就是著名的裴波那契數(shù)列。裴波那契是意大利的數(shù)學(xué)家，他生活在距今大約七百多年以前的時代。例6 如下圖所示，5個大小不等的中心有孔的圓盤，按大的在下、小的在上的次序套在木樁上構(gòu)成了一座圓盤塔。現(xiàn)在要把這座圓盤塔移到另一個木樁上。規(guī)定移動時要遵守一個條件，每搬一次只許拿一個圓盤而且任何時候大圓盤都不能壓住小圓盤。假如還有第三個木樁可作臨時存放圓盤之用。問把這5個圓盤全部移到另一個木樁上至少需要搬動多少次？（下圖所示）解：先從最簡單情形試起。當(dāng)僅有一個圓盤時，顯然只需搬動一次（見下頁圖）。當(dāng)有兩個圓盤時，只需搬動3次（見下圖）。當(dāng)有三個圓盤時，需要搬動7次（見下頁圖）?？偨Y(jié)，找規(guī)律：當(dāng)僅有一個圓盤時，只需搬1次。當(dāng)有兩個圓盤，上面的小圓盤先要搬到臨時樁上，等大圓盤搬到中間樁后，小圓盤還得再搬回來到大圓盤上。所以小的要搬兩次，下面的大盤要搬1次。這樣搬到兩個圓盤需3次。當(dāng)有三個圓盤時，必須先要把上面的兩個小的圓盤搬到臨時樁上，見上圖中的（1）（3）。由前面可知，這需要搬動3次。然后把最下層的最大圓盤搬一次到中間樁上，見圖（4），之后再把上面的兩個搬到中間樁上，這又需搬3次，見圖中（5）（7）。所以共搬動23+1=7次。推論，當(dāng)有4個圓盤時，就需要先把上面的3個圓盤搬到臨時樁上，需要7次，然后把下面的大圓盤搬到中間樁上（1次），之后再把臨時樁上的3個圓盤搬到中間樁上，這又需要7次，所以共需搬動27+1=15次?？梢姰?dāng)有5個圓盤時，要把它按規(guī)定搬到中間樁上去共需要：215+1=31次。這樣也可以寫出一個一般的公式（叫遞推公式）對于有更多圓盤的情況可由這個公式算出來。進(jìn)一步進(jìn)行考察，并聯(lián)想到另一個數(shù)列：若把n個圓盤搬動的次數(shù)寫成an，把兩個表對照后，可得出 有了這個公式后直接把圓盤數(shù)代入計算就行了，不必再像前一個公式那樣進(jìn)行遞推了。附送：2019-2020年二年級數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 找規(guī)律（一）例1 觀察下面由點(diǎn)組成的圖形（點(diǎn)群），請回答：（1）方框內(nèi)的點(diǎn)群包含多少個點(diǎn)？（2）第（10）個點(diǎn)群中包含多少個點(diǎn)？（3）前十個點(diǎn)群中，所有點(diǎn)的總數(shù)是多少？解：數(shù)一數(shù)可知：前四個點(diǎn)群中包含的點(diǎn)數(shù)分別是：1，4，7，10。可見，這是一個等差數(shù)列，在每相鄰的兩個數(shù)中，后一個數(shù)都比前一個數(shù)大3（即公差是3）。（1）因為方框內(nèi)應(yīng)是第（5）個點(diǎn)群，它的點(diǎn)數(shù)應(yīng)該是10+3=13（個）。（2）列表，依次寫出各點(diǎn)群的點(diǎn)數(shù)，可知第（10）個點(diǎn)群包含有28個點(diǎn)。（3）前十個點(diǎn)群，所有點(diǎn)的總數(shù)是：1+4+7+10+13+16+19+22+25+28=145（個）例2 圖62表示“寶塔”，它們的層數(shù)不同，但都是由一樣大的小三角形擺成的。仔細(xì)觀察后，請你回答：（1）五層的“寶塔”的最下層包含多少個小三角形？（2）整個五層“寶塔”一共包含多少個小三角形？（3） 從第（1）到第（10）的十個“寶塔”，共包含多少個小三角形？解：（1）數(shù)一數(shù)“寶塔”每層包含的小三角形數(shù)：可見1，3，5，7是個奇數(shù)列，所以由這個規(guī)律猜出第五層應(yīng)包含的小三角形是9個。（2）整個五層塔共包含的小三角形個數(shù)是：1+3+5+7+9=25（個）。（3）每個“寶塔”所包含的小三角形數(shù)可列表如下：由此發(fā)現(xiàn)從第（1）到第（10）共十個“寶塔”所包含的小三角形數(shù)是從1開始的自然數(shù)平方數(shù)列前十項之和：例3 下面的圖形表示由一些方磚堆起來的“寶塔”。仔細(xì)觀察后，請你回答：（1）從上往下數(shù)，第五層包含幾塊磚？（2）整個五層的“寶塔”共包含多少塊磚？（3）若另有一座這樣的十層寶塔，共包含多少塊磚？解：（1）數(shù)一數(shù)，“寶塔”每層包含的方磚塊數(shù)：可見各層的方磚塊數(shù)組成自然數(shù)平方數(shù)列，按此規(guī)律，第五層應(yīng)包含的方磚塊數(shù)是：55=25（塊）。（2）整個五層“寶塔”共包含的方磚塊數(shù)應(yīng)是從1開始的前五個自然數(shù)的平方數(shù)相加之和，即：1+4+9+16+25=55（塊）。（3）根據(jù)上面得到的規(guī)律，可求出十層寶塔所包含的方磚的塊數(shù)：