成才之路 數(shù)學(xué) 路漫漫其修遠(yuǎn)兮吾將上下而求索 人教版 必修2 點(diǎn) 直線 平面之間的位置關(guān)系 第二章 這是我國(guó)著名的大學(xué) 設(shè)計(jì)風(fēng)格新穎 設(shè)計(jì)師獨(dú)特創(chuàng)意的背后卻是縝密的幾何思維 類似許許多多的建筑設(shè)計(jì)包含了線 面的位置關(guān)系的應(yīng)用 相交 平行 垂直關(guān)系隨處可見(jiàn) 現(xiàn)實(shí)生活中類似這樣的位置關(guān)系是比較常見(jiàn)的 如何準(zhǔn)確判斷這些位置關(guān)系 這就是本章將要研究的點(diǎn) 直線 平面之間的位置關(guān)系 點(diǎn) 直線 平面之間的位置關(guān)系是高中數(shù)學(xué)立體幾何中的基礎(chǔ)內(nèi)容 在整個(gè)幾何學(xué)中占有非常重要的地位 起著承前啟后的作用 2 1空間點(diǎn) 直線 平面之間的位置關(guān)系 第二章 2 1 1平面 1 在初中幾何中學(xué)習(xí)的線可以看作是 運(yùn)動(dòng)形成的軌跡 2 在平面幾何中 通過(guò)實(shí)驗(yàn) 觀察得到了點(diǎn)和線的基本性質(zhì)是什么 連結(jié)兩點(diǎn)的線中 線段最短 過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線 知識(shí)銜接 點(diǎn) 3 在平面幾何中 兩條直線的位置關(guān)系有哪幾種 在平面幾何中 兩直線的位置關(guān)系有 相交和平行兩種 4 幾何中的點(diǎn) 直線都是抽象的概念 在現(xiàn)實(shí)世界中可以說(shuō)是不存在的 畫(huà)出的點(diǎn) 我們不考慮它們的大小 畫(huà)出的直線也不考慮它們的粗細(xì) 基于這種抽象的思考 我們才能總結(jié)出上述點(diǎn)與直線的性質(zhì) 大家學(xué)完初中幾何以后 已經(jīng)初步體會(huì)到了這些抽象概念的意義和作用 1 平面 自主預(yù)習(xí) 延展 平行四邊形 2 虛線 希臘字母 英文字母 BCD 頂點(diǎn) 歸納總結(jié) 習(xí)慣上 用平行四邊形表示平面 在一個(gè)具體的圖形中也可以用三角形 圓或其他平面圖形表示平面 2 點(diǎn) 線 面的位置關(guān)系的表示A是點(diǎn) l m是直線 是平面 A lA lA A l l l m A l A l 名師點(diǎn)撥 從集合的角度理解點(diǎn) 線 面之間的關(guān)系 1 直線可以看成無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)組成的集合 故點(diǎn)與直線的關(guān)系是元素與集合的關(guān)系 用 或 表示 2 平面也可以看成點(diǎn)集 故點(diǎn)與平面的關(guān)系也是元素與集合的關(guān)系 用 或 表示 3 直線和平面都是點(diǎn)集 它們之間的關(guān)系可看成集合與集合的關(guān)系 故用 或 表示 3 公理1 兩點(diǎn) l 名師點(diǎn)撥 公理1的內(nèi)容反映了直線與平面的位置關(guān)系 線上兩點(diǎn)在平面內(nèi) 是公理的條件 結(jié)論是 線上所有點(diǎn)都在平面內(nèi) 從集合的角度看 這個(gè)公理就是說(shuō) 如果一條直線 點(diǎn)集 中有兩個(gè)點(diǎn) 元素 屬于一個(gè)平面 點(diǎn)集 那么這條直線就是這個(gè)平面的真子集 這個(gè)結(jié)論闡述了兩個(gè)觀點(diǎn) 一是整條直線在平面內(nèi) 二是直線上的所有點(diǎn)都在平面內(nèi) 4 公理2 不在 不共線 名師點(diǎn)撥 1 公理2的條件是 過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn) 結(jié)論是 有且只有一個(gè)平面 2 公理2中 有且只有一個(gè) 的含義要準(zhǔn)確理解 這里的 有 是說(shuō)圖形存在 只有一個(gè) 是說(shuō)圖形唯一 強(qiáng)調(diào)的是存在和唯一兩個(gè)方面 因此 有且只有一個(gè) 必須完整地使用 不能僅用 只有一個(gè) 來(lái)代替 否則就沒(méi)有表達(dá)出存在性 確定一個(gè)平面中的 確定 是 有且只有 的同義詞 也是指存在性和唯一性這兩個(gè)方面 這個(gè)術(shù)語(yǔ)今后也會(huì)常常出現(xiàn) 5 公理3 公共點(diǎn) 直線 P l 名師點(diǎn)撥 公理3反映了兩個(gè)平面的位置關(guān)系 條件可簡(jiǎn)記為 兩面共一點(diǎn) 結(jié)論是 兩面共一線 且線過(guò)點(diǎn) 線唯一 公理3強(qiáng)調(diào)的是兩個(gè)不重合的平面 只要它們有一個(gè)公共點(diǎn) 其交集就是一條直線 以后若無(wú)特別說(shuō)明 兩個(gè)平面 是指不重合的兩個(gè)平面 1 下列命題 1 書(shū)桌面是平面 2 8個(gè)平面重疊起來(lái)要比6個(gè)平面重疊起來(lái)厚 3 有一個(gè)平面的長(zhǎng)是50m 寬是20m 4 平面是絕對(duì)的平 無(wú)厚度 可以無(wú)限延展的抽象的數(shù)學(xué)概念 其中正確命題的個(gè)數(shù)為 A 1B 2C 3D 4 答案 A 預(yù)習(xí)自測(cè) 解析 答案 1 2 AB 3 4 3 已知直線m 平面 P m Q m 則 A P Q B P Q C P Q D Q 答案 D 解析 Q m m Q P m 有可能P 也可能有P 4 三點(diǎn)可確定平面的個(gè)數(shù)是 A 0B 1C 2D 1或無(wú)數(shù)個(gè) 答案 D 解析 當(dāng)這三點(diǎn)共線時(shí) 可確定無(wú)數(shù)個(gè)平面 當(dāng)這三點(diǎn)不共線時(shí) 可確定一個(gè)平面 5 如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn) 那么這兩個(gè)平面 A 沒(méi)有其他公共點(diǎn)B 僅有這一個(gè)公共點(diǎn)C 僅有兩個(gè)公共點(diǎn)D 有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn) 答案 D 用符號(hào)語(yǔ)言表示下列語(yǔ)句 并畫(huà)出圖形 1 三個(gè)平面 相交于一點(diǎn)P 且平面 與平面 交于PA 平面 與平面 交于PB 平面 與平面 交于PC 2 平面ABD與平面BCD交于BD 平面ABC與平面ADC交于AC 文字 圖形 符號(hào)三種語(yǔ)言的轉(zhuǎn)化 互動(dòng)探究 探究 1 解答本題要正確理解立體幾何中表示點(diǎn) 線 面之間位置關(guān)系的符號(hào) 的意義 2 解決立體幾何問(wèn)題首先應(yīng)過(guò)好三大語(yǔ)言關(guān) 即 文字語(yǔ)言 圖形語(yǔ)言 符號(hào)語(yǔ)言 能實(shí)現(xiàn)這三種語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)換 文字語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言在轉(zhuǎn)換的時(shí)候 要注意符號(hào)語(yǔ)言所代表的含義 由符號(hào)語(yǔ)言作出直觀圖時(shí) 要注意實(shí)虛線的標(biāo)注 解析 1 符號(hào)語(yǔ)言表示 P PA PB PC 圖形表示 如圖1所示 2 符號(hào)語(yǔ)言表示 平面ABD 平面BCD BD 平面ABC 平面ADC AC 圖形表示 如圖2所示 規(guī)律總結(jié) 學(xué)習(xí)幾何問(wèn)題 三種語(yǔ)言間的互相轉(zhuǎn)換是一種基本技能 要注意符號(hào)語(yǔ)言的意義 如點(diǎn)與直線 點(diǎn)與平面間的位置關(guān)系只能用 或 直線與平面間的位置關(guān)系只能用 或 由圖形語(yǔ)言表示點(diǎn) 線 面的位置關(guān)系時(shí) 要注意實(shí)線和虛線的區(qū)別 3 根據(jù)下列條件畫(huà)出圖形 平面 平面 MN ABC的三個(gè)頂點(diǎn)滿足條件A MN B B MN C C MN 答案 1 M a a M 2 AC 3 如圖所示 求證 如果兩兩平行的三條直線都與另一條直線相交 那么這四條直線共面 探究 1 平面確定的條件 2 兩平面重合的條件 解析 已知 a b c l a A l b B l c C 求證 直線a b c和l共面 證明 如圖所示 因?yàn)閍 b 由公理2可知直線a與b確定一個(gè)平面 設(shè)為 證明多線共面問(wèn)題 因?yàn)閘 a A l b B 所以A a B b 則A B 又因?yàn)锳 l B l 所以由公理1可知l 因?yàn)閎 c 所以由公理2可知直線b與c確定一個(gè)平面 同理可知l 因?yàn)槠矫?和平面 都包含著直線b與l 且l b B 而由公理2的推理2知 經(jīng)過(guò)兩條相交直線 有且只有一個(gè)平面 所以平面 與平面 重合 所以直線a b c和l共面 規(guī)律總結(jié) 1 證明點(diǎn)線共面的主要依據(jù) 公理1 公理2及其推論 2 證明點(diǎn)線共面的常用方法 納入平面法 先由公理2或其推論確定一個(gè)平面 再由公理1證明有關(guān)點(diǎn)線在此平面內(nèi) 輔助平面法 先證明有關(guān)的點(diǎn)線確定平面 再證明其余元素確定平面 最后證明平面 重合 過(guò)直線l外一點(diǎn)P 引兩條直線PA PB和直線l分別交于A B兩點(diǎn) 求證 三條直線PA PB l共面 證明 如右圖所示 PA PB P 過(guò)PA PB確定一個(gè)平面 A B A l B l l PA PB l共面 已知 ABC在平面 外 AB P AC R BC Q 如圖 求證 P Q R三點(diǎn)共線 探究 1 P Q R三點(diǎn)分別在哪幾個(gè)平面上 2 在兩個(gè)相交平面上的點(diǎn) 有什么特點(diǎn) 證明多點(diǎn)共線問(wèn)題 證明 方法一 AB P P AB P 平面 又AB 平面ABC P 平面ABC 由公理3可知 點(diǎn)P在平面ABC與平面 的交線上 同理可證Q R也在平面ABC與平面 的交線上 P Q R三點(diǎn)共線 方法二 AP AR A 直線AP與直線AR確定平面APR 又 AB P AC R 平面APR 平面 PR B 面APR C 面APR BC 面APR 又 Q 面APR Q Q PR P Q R三點(diǎn)共線 規(guī)律總結(jié) 證明點(diǎn)線共面的常用方法 1 歸一法 先由部分元素確定一個(gè)平面 再證其余元素也在這個(gè)平面內(nèi) 其中第一步要應(yīng)用公理2 第二步要應(yīng)用公理1 2 重合法 應(yīng)用公理1 先由部分元素分別確定平面 然后應(yīng)用公理2證明這幾個(gè)平面重合 如圖 正方體ABCD A1B1C1D1中 對(duì)角線A1C與平面BDC1交于點(diǎn)O AC BD交于點(diǎn)M 求證 C1 O M三點(diǎn)共線 分析 要證若干點(diǎn)共線 只需證這些點(diǎn)同在兩個(gè)相交平面內(nèi)即可 證明 由AA1 CC1 則AA1與CC1確定一個(gè)平面A1C A1C 平面A1C 而O A1C O 平面A1C 又A1C 平面BC1D O O 平面BC1D O點(diǎn)在平面BC1D與平面A1C的交線上 又AC BD M M 平面BC1D且M 平面A1C 又C1 平面BC1D且C1 平面A1C 平面A1C 平面BC1D C1M O C1M 即C1 O M三點(diǎn)共線 點(diǎn)評(píng) 本題先證明C1M是平面A1C與平面BC1D的交線 通過(guò)公理3知O C1M 從而證明了C1 O M共線 已知 如圖 空間四邊形ABCD中 E H分別為BC AB的中點(diǎn) F在CD上 G在AD上 且有DF FC DG GA 1 2 求證 直線EF BD HG交于一點(diǎn) 探究 先證EF HG一定相交于一點(diǎn) 再證這一點(diǎn)在直線BD上 證明三線共點(diǎn)問(wèn)題 探索延拓 設(shè)EF GH O 則O GH O EF GH 平面ABD EF 平面BCD O 平面ABD O 平面BCD 平面ABD 平面BCD BD O BD 即直線EF BD HG交于一點(diǎn) 規(guī)律總結(jié) 本題主要考查線線共點(diǎn)的問(wèn)題 在解決這類問(wèn)題時(shí) 首先證明兩條直線相交于一點(diǎn) 再證這一點(diǎn)在另一條直線上 要證這一點(diǎn)在另一條直線上 可證這一點(diǎn)在以這條直線為交線的兩個(gè)平面上 三個(gè)平面 兩兩相交 交于三條直線 即 c a b 已知直線a和b不平行 求證 a b c三條直線必過(guò)同一點(diǎn) 分析 證三條直線共點(diǎn)時(shí) 應(yīng)先找出其中兩條直線的交點(diǎn)P 而第三條直線是兩個(gè)平面的交線 P是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn) 據(jù)公理3得出P在第三條直線上 證明 b a a b a b不平行 a b必相交 設(shè)a b P P a a P 同理P 而 c P c a b c相交于一點(diǎn)P 即a b c三條直線過(guò)同一點(diǎn) 空間中四點(diǎn) 如果任意三點(diǎn)都不共線 那么由這四個(gè)點(diǎn)可以確定多少個(gè)平面 錯(cuò)解 因?yàn)椴还簿€的三點(diǎn)確定一個(gè)平面 所以由題設(shè)條件中的四點(diǎn)可確定四個(gè)平面 錯(cuò)因分析 忽略了四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面上的可能 易錯(cuò)點(diǎn)對(duì)于條件所給的點(diǎn)的位置關(guān)系考慮不全面 誤區(qū)警示 思路分析 空間中任意三點(diǎn)都不共線的四點(diǎn)有兩種位置關(guān)系 一種是任意不共線的三點(diǎn)所確定的平面過(guò)第四個(gè)點(diǎn) 此時(shí) 這四個(gè)點(diǎn)只能確定一個(gè)平面 另一種是任意不共面的三點(diǎn)所確定的平面不過(guò)第四個(gè)點(diǎn) 此時(shí) 這四個(gè)點(diǎn)可確定四個(gè)平面 正解 一個(gè)或者是四個(gè) 已知A B C D E五點(diǎn)中 A B C D共面 B C D E共面 則A B C D E五點(diǎn)一定共面嗎 錯(cuò)解 因?yàn)锳 B C D共面 所以點(diǎn)A在B C D所確定的平面內(nèi) 因?yàn)锽 C D E共面 所以點(diǎn)E也在B C D所確定的平面內(nèi) 所以點(diǎn)A E都在B C D所確定的平面內(nèi) 即A B C D E五點(diǎn)一定共面 錯(cuò)因分析 錯(cuò)解忽略了公理2中 不在一條直線上的三點(diǎn) 這個(gè)重要條件 實(shí)際上B C D三點(diǎn)還可能共線 正解 1 如果B C D三點(diǎn)不共線 則它們確定一個(gè)平面 因?yàn)锳 B C D共面 所以點(diǎn)A在平面 內(nèi) 因?yàn)锽 C D E共面 所以點(diǎn)E在平面 內(nèi) 所以點(diǎn)A E都在平面 內(nèi) 即A B C D E五點(diǎn)一定共面 2 如果B C D三點(diǎn)共線于l 若A E都在l上 則A B C D E五點(diǎn)一定共面 若A E中有且只有一個(gè)在l上 則A B C D E五點(diǎn)一定共面 若A E都不在l上 則A B C D E五點(diǎn)可能不共面 規(guī)律總結(jié) 在立體幾何中 空間點(diǎn) 線 面之間的位置關(guān)系不確定時(shí) 要注意分類討論 避免片面地思考問(wèn)題 對(duì)于確定平面問(wèn)題 在應(yīng)用公理2及其三個(gè)推論時(shí)一定要注意它們成立的前提條件 1 如右圖所示的平行四邊形MNPQ表示的平面不能記為 A 平面MNB 平面NQPC 平面 D 平面MNPQ 答案 A 解析 MN是平行四邊形MNPQ的一條邊 不是對(duì)角線 所以不能記作平面MN 2 用符號(hào)表示 點(diǎn)A在直線l上 l在平面 外 正確的是 A A l l B A l l C A l l D A l l 答案 B 3 下面是一些命題的敘述語(yǔ) A B表示點(diǎn) a表示直線 表示平面 1 A B AB 2 A A A 3 A a A a 4 A a a A 其中命題和敘述方法都正確的個(gè)數(shù)是 A 0B 1C 2D 3 答案 B 解析 3 正確 1 錯(cuò) 其中的AB 應(yīng)為AB 2 錯(cuò) 其中 應(yīng)該交于一條過(guò)A點(diǎn)的直線 4 錯(cuò) 因?yàn)辄c(diǎn)A可能是直線a與平面 的交點(diǎn) 4 看圖填空 1 AC BD 2 平面AB1 平面A1C1 3 平面A1C1CA 平面AC 4 平面A1C1CA 平面D1B1BD 5 平面A1C1 平面AB1 平面B1C 6 A1B1 B1B B1C1 答案 1 O 2 A1B1 3 AC 4 OO1 5 B1 6 B1 5 判斷下列說(shuō)法是否正確 并說(shuō)明理由 1 一點(diǎn)和一條直線確定一個(gè)平面 2 經(jīng)過(guò)一點(diǎn)的兩條直線確定一個(gè)平面 3 兩兩相交的三條直線確定一個(gè)平面 4 首尾依次相接的四條線段在同一平面內(nèi) 解析 1 不正確 如果點(diǎn)在直線上 這時(shí)有無(wú)數(shù)個(gè)平面 如果點(diǎn)不在直線上 在已知直線上任取兩個(gè)不同的點(diǎn) 由公理2知 有唯一一個(gè)平面 2 正確 經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)的兩條直線是相交直線 由公理2 有唯一一個(gè)平面 3 不正確 三條直線可能交于同一點(diǎn) 也可能有三個(gè)不同交點(diǎn) 如圖1 1 2 所示 前者 由公理2得知 可以確定1個(gè)或3個(gè)平面 后者 由公理2及公理1知 能確定唯一一個(gè)平面 4 不正確 四邊形中三點(diǎn)可確定一個(gè)平面 而第四點(diǎn)不一定在此平面內(nèi) 如圖2 因此 這四條線段不一定在同一平面內(nèi) 規(guī)律總結(jié) 公理2是確定平面的依據(jù) 對(duì)涉及這方面的應(yīng)用 務(wù)必分清它們的條件 立體幾何研究的對(duì)象是空間點(diǎn) 線 面的位置關(guān)系 要有一定的空間想象能力 對(duì)于問(wèn)題中的點(diǎn) 線 要注意它們可能存在的不同的位置關(guān)系 以及由此產(chǎn)生的不同結(jié)果