第二章基本初等函數(shù) 2 1 2指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)第1課時(shí)指數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì) 1 理解指數(shù)函數(shù)的概念和意義 重點(diǎn) 2 能借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象 難點(diǎn) 3 初步掌握指數(shù)函數(shù)的有關(guān)性質(zhì) 重點(diǎn) 難點(diǎn) 1 指數(shù)函數(shù)的定義函數(shù) 叫做指數(shù)函數(shù) 其中x是自變量 2 指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì) y ax a 0 且a 1 0 1 0 1 y 1 0 y 1 0 y 1 y 1 增函數(shù) 減函數(shù) 1 想一想 1 函數(shù)y 3 5x是指數(shù)函數(shù)嗎 提示 不是 不符合指數(shù)函數(shù)的定義 必須嚴(yán)格符合y ax a 0 且a 1 這種形式 才是指數(shù)函數(shù) 3 在第一象限內(nèi) 函數(shù)y 2x與y 3x的圖象的位置關(guān)系是怎樣的 提示 在第一象限內(nèi)y 3x的圖象在y 2x的圖象的上方 2 判一判 正確的打 錯(cuò)誤的打 1 指數(shù)函數(shù)的圖象一定在x軸的上方 2 當(dāng)a 1時(shí) 對(duì)于任意x R總有ax 1 3 函數(shù)f x 2 x在R上是增函數(shù) 2 底數(shù)變化對(duì)指數(shù)函數(shù)圖象形狀的影響 指數(shù)函數(shù)y ax的圖象如圖所示 由指數(shù)函數(shù)y ax的圖象與直線x 1相交于點(diǎn) 1 a 可知 1 在y軸右側(cè) 圖象從上到下相應(yīng)的底數(shù)由大變小 2 在y軸左側(cè) 圖象從下到上相應(yīng)的底數(shù)由大變小 如圖中的底數(shù)的大小關(guān)系為0 a4 a3 1 a2 a1 3 指數(shù)函數(shù)值的變化規(guī)律 1 根據(jù)底數(shù)的不同指數(shù)函數(shù)的函數(shù)值有以下兩類變化規(guī)律 當(dāng)a 1時(shí) 若x 0 則y 1 若x 0 則0 y 1 當(dāng)0 a 1時(shí) 若x 0 則0 y 1 若x 0 則y 1 2 指數(shù)函數(shù)中函數(shù)值的 有界性 當(dāng)a 0 且a 1時(shí) 對(duì)于任意x R總有ax 0 4 指數(shù)函數(shù)圖象和性質(zhì)的巧記 1 指數(shù)函數(shù)圖象的記憶方法 一定二近三單調(diào) 兩類單調(diào)正相反 2 指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的巧記方法 非奇非偶是單調(diào) 性質(zhì)不同因?yàn)閍 分清是0 a 1 還是a 1 依靠圖象記性質(zhì) 指數(shù)函數(shù)的概念 函數(shù)y a2 3a 3 ax是指數(shù)函數(shù) 求a的值 1 判斷一個(gè)函數(shù)是否為指數(shù)函數(shù)的方法判斷一個(gè)函數(shù)是否是指數(shù)函數(shù) 其關(guān)鍵是分析該函數(shù)是否具備指數(shù)函數(shù)三大特征 1 底數(shù)a 0 且a 1 2 ax的系數(shù)為1 3 y ax中 a是常數(shù) x為自變量 自變量在指數(shù)位置上 2 已知某函數(shù)是指數(shù)函數(shù)求參數(shù)值的基本步驟 解 1 為指數(shù)函數(shù) 中底數(shù) 8 0 不是指數(shù)函數(shù) 中指數(shù)不是自變量x 而是x的函數(shù) 不是指數(shù)函數(shù) 中底數(shù)a 只有規(guī)定a 0且a 1時(shí) 才是指數(shù)函數(shù) 中3x前的系數(shù)是2 而不是1 不是指數(shù)函數(shù) 如圖是指數(shù)函數(shù) y ax y bx y cx y dx的圖象 則a b c d與1的大小關(guān)系是 A a b 1 c dB b a 1 d cC 1 a b c dD a b 1 d c 指數(shù)函數(shù)的圖象 思路點(diǎn)撥 解析 方法一 在 中底數(shù)大于零且小于1 在y軸右邊 底數(shù)越小 圖象向下越靠近x軸 故有b a 在 中底數(shù)大于1 在y軸右邊 底數(shù)越大 圖象向上越靠近y軸 故有d c 故選B 方法二 作直線x 1 與四個(gè)圖象分別交于A B C D四點(diǎn) 由于x 1代入各個(gè)函數(shù)可得函數(shù)值等于底數(shù) 所以四個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)越大 則底數(shù)越大 由圖可知b a 1 d c 故選B 答案 B 1 當(dāng)a 1時(shí) a的值越大 圖象越靠近y軸 遞增速度越快 當(dāng)0 a 1時(shí) a的值越小 圖象越靠近y軸 遞減的速度越快 2 在y軸右側(cè) 圖象從上到下相應(yīng)的底數(shù)由大變小 在y軸左側(cè) 圖象從下到上相應(yīng)的底數(shù)由大變小 即無論在y軸的左側(cè)還是右側(cè) 底數(shù)按逆時(shí)針方向變大 與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的定義域 值域問題 函數(shù)y af x 定義域 值域的求法 1 定義域 函數(shù)y af x 的定義域與y f x 的定義域相同 2 值域 換元 令t f x 求t f x 的定義域x D 求t f x 的值域t M 利用y at的單調(diào)性求y at t M的值域 思想方法系列 四 指數(shù)型函數(shù)的值域的求法 換元法已知函數(shù)y a2x 2ax 1 a 0 且a 1 當(dāng)x 0時(shí) 求函數(shù)f x 的值域 當(dāng)0 a 1時(shí) x 0 0 t 1 g 0 1 g 1 2 當(dāng)0 a 1時(shí) 1 y 2 綜上所述 當(dāng)a 1時(shí) 函數(shù)的值域是 2 當(dāng)0 a 1時(shí) 函數(shù)的值域是 1 2 特別關(guān)注 1 由于a2x ax 2 故令t ax 則原函數(shù)可變?yōu)閥 t2 2t 1 從而可利用二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)求解 這種轉(zhuǎn)化方法為換元法 2 換元后 由于x 0 當(dāng)a 1和0 a 1時(shí) t ax的值域不同 因此應(yīng)分兩種情況確定t的取值范圍 3 值域 2 和 1 2 是在底數(shù)a在不同取值范圍所求出的結(jié)果 所以不能取并集 此處極易與分段函數(shù)的值域相混淆 認(rèn)為應(yīng)取并集 從而得出值域?yàn)?1 的錯(cuò)誤結(jié)論 跟蹤訓(xùn)練 如果函數(shù)y a2x 2ax 1 a 0且a 1 在 1 1 上的最大值為14 求a的值