9.3點(diǎn)、線、圓的位置關(guān)系挖命題【考情探究】考點(diǎn)內(nèi)容解讀5年考情預(yù)測(cè)熱度考題示例考向關(guān)聯(lián)考點(diǎn)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系1.能判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系.2.能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題.3.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問(wèn)題的思想.2015浙江,19直線與圓相切拋物線、三角形的面積2014浙江文,5直線與圓相交弦長(zhǎng)分析解讀1.圓的切線和弦的問(wèn)題是本節(jié)的重點(diǎn),也是高考考查的重點(diǎn).2.考查與圓有關(guān)的軌跡方程問(wèn)題、最值問(wèn)題、范圍問(wèn)題等.3.預(yù)計(jì)2020年高考中,點(diǎn)、線、圓的位置關(guān)系仍是考查的重點(diǎn).破考點(diǎn)【考點(diǎn)集訓(xùn)】考點(diǎn)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系1.(2018浙江諸暨高三上學(xué)期期末,6)如圖,已知點(diǎn)P是拋物線C:y2=4x上的一點(diǎn),以P為圓心,r為半徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切,且與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積為5,則此圓的半徑r為() A.23B.5C.43D.4答案D2.(2018浙江鎮(zhèn)海中學(xué)階段性測(cè)試,16)圓心在拋物線y2=2x(y0)上,經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,0)且面積最小的圓為C,直線y=kx+2與C相交于A,B兩點(diǎn),當(dāng)弦長(zhǎng)|AB|取得最小值時(shí),k=.答案2+22煉技法【方法集訓(xùn)】方法有關(guān)圓的切線問(wèn)題的解法1.(2018浙江湖州、衢州、麗水高三質(zhì)檢,6)若cR,則“c=4”是“直線3x+4y+c=0與圓x2+y2+2x-2y+1=0相切”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案A2.(2017浙江鎮(zhèn)海中學(xué)階段測(cè)試,20)已知圓N:(x+3)2+y2=1,拋物線M:y=x2,F(0,1).(1)若P為圓N上任意一點(diǎn),求|PF|的最小值及相應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo);(2)在拋物線M上是否存在縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)R,使過(guò)R且與圓N相切的直線l1,l2,分別交直線l:y=-1于A,B兩點(diǎn),且|AB|=42,如果存在,求出R點(diǎn)的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.解析(1)由題意可得,N(-3,0),直線NF的方程為y=1+,代入圓N的方程,得109(x+3)2=1,所以,當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為-3+31010,1010時(shí),|PF|有最小值10-1.(2)存在.設(shè)R(2t,t2), 過(guò)點(diǎn)R的切線方程為x-2t=m(y-t2),令y=-1,則有x=2t-m(t2+1).由題知點(diǎn)N到直線x-2t=m(y-t2)的距離為|-3+mt2-2t|1+m2=1,化簡(jiǎn)得(t4-1)m2-2(2t+3)t2m+(2t+3)2-1=0,顯然t41,=4(t4+4t2+12t+8),且m1+m2=2(2t+3)t4-1,m1m2=(2t+3)2-1t4-1,所以|AB|=(t2+1)|m1-m2|=(t2+1)2t4+4t2+12t+8|t4-1|=2t4+4t2+12t+8|t2-1|.因?yàn)閨AB|=42,所以2t4+4t2+12t+8|t2-1|=42,化簡(jiǎn)得7t4-20t2-12t=0,所以t=0或7t3-20t-12=0.因?yàn)閠Z且7t3=20t+12,所以t為偶數(shù),不妨設(shè)t=2s,則由14s3-10s-3=0,易知,該方程無(wú)整數(shù)解.故存在點(diǎn)R(0,0)滿足題意.過(guò)專題【五年高考】A組自主命題浙江卷題組考點(diǎn)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系1.(2014浙江文,5,5分)已知圓x2+y2+2x-2y+a=0截直線x+y+2=0所得弦的長(zhǎng)度為4,則實(shí)數(shù)a的值是() A.-2B.-4C.-6D.-8答案B2.(2015浙江,19,15分)如圖,已知拋物線C1:y=x2,圓C2:x2+(y-1)2=1,過(guò)點(diǎn)P(t,0)(t>0)作不過(guò)原點(diǎn)O的直線PA,PB分別與拋物線C1和圓C2相切,A,B為切點(diǎn).(1)求點(diǎn)A,B的坐標(biāo);(2)求PAB的面積.注:直線與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn),且與拋物線的對(duì)稱軸不平行,則稱該直線與拋物線相切,稱該公共點(diǎn)為切點(diǎn).解析(1)由題意知直線PA的斜率存在,故可設(shè)直線PA的方程為y=k(x-t),由y=k(x-t),y=14x2消去y,整理得x2-4kx+4kt=0,由于直線PA與拋物線相切,得k=t.因此,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2t,t2).設(shè)圓C2的圓心為D(0,1),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x0,y0),由題意知:點(diǎn)B,O關(guān)于直線PD對(duì)稱,故y02=-x02t+1,x0t-y0=0,解得x0=2t1+t2,y0=2t21+t2.因此,點(diǎn)B的坐標(biāo)為2t1+t2,2t21+t2.(2)由(1)知|AP|=t1+t2,和直線PA的方程tx-y-t2=0.點(diǎn)B到直線PA的距離是d=t21+t2,設(shè)PAB的面積為S(t),所以S(t)= |AP|d=t32.評(píng)析本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì),直線與圓的位置關(guān)系,直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí).考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力.B組統(tǒng)一命題、省(區(qū)、市)卷題組考點(diǎn)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系1.(2018課標(biāo)全國(guó)理,6,5分)直線x+y+2=0分別與x軸,y軸交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P在圓(x-2)2+y2=2上,則ABP面積的取值范圍是() A.2,6B.4,8C.2,32D.22,32答案A2.(2015課標(biāo),7,5分)過(guò)三點(diǎn)A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圓交y軸于M,N兩點(diǎn),則|MN|=()A.26B.8C.46D.10答案C3.(2018江蘇,12,5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A為直線l:y=2x上在第一象限內(nèi)的點(diǎn),B(5,0),以AB為直徑的圓C與直線l交于另一點(diǎn)D.若ABCD=0,則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為.答案34.(2018課標(biāo)全國(guó)文,15,5分)直線y=x+1與圓x2+y2+2y-3=0交于A,B兩點(diǎn),則|AB|=.答案225.(2016課標(biāo)全國(guó),16,5分)已知直線l:mx+y+3m-3=0與圓x2+y2=12交于A,B兩點(diǎn),過(guò)A,B分別作l的垂線與x軸交于C,D兩點(diǎn).若|AB|=23,則|CD|=.答案4C組教師專用題組考點(diǎn)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系1.(2015重慶,8,5分)已知直線l:x+ay-1=0(aR)是圓C:x2+y2-4x-2y+1=0的對(duì)稱軸.過(guò)點(diǎn)A(-4,a)作圓C的一條切線,切點(diǎn)為B,則|AB|=() A.2B.42C.6D.210答案C2.(2015廣東,5,5分)平行于直線2x+y+1=0且與圓x2+y2=5相切的直線的方程是()A.2x+y+5=0或2x+y-5=0B.2x+y+5=0或2x+y-5=0C.2x-y+5=0或2x-y-5=0D.2x-y+5=0或2x-y-5=0答案A3.(2014江西,9,5分)在平面直角坐標(biāo)系中,A,B分別是x軸和y軸上的動(dòng)點(diǎn),若以AB為直徑的圓C與直線2x+y-4=0相切,則圓C面積的最小值為()A.B.C.(6-25)D.答案A4.(2017江蘇,13,5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A(-12,0),B(0,6),點(diǎn)P在圓O:x2+y2=50上.若PAPB20,則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是.答案-52,15.(2015江蘇,10,5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以點(diǎn)(1,0)為圓心且與直線mx-y-2m-1=0(mR)相切的所有圓中,半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.答案(x-1)2+y2=26.(2015湖北,14,5分)如圖,圓C與x軸相切于點(diǎn)T(1,0),與y軸正半軸交于兩點(diǎn)A,B(B在A的上方),且|AB|=2.(1)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為;(2)過(guò)點(diǎn)A任作一條直線與圓O:x2+y2=1相交于M,N兩點(diǎn),下列三個(gè)結(jié)論:|NA|NB|=|MA|MB|;|NB|NA|-|MA|MB|=2;|NB|NA|+|MA|MB|=22.其中正確結(jié)論的序號(hào)是.(寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào))答案(1)(x-1)2+(y-2)2=2(2)7.(2014湖北,12,5分)直線l1:y=x+a和l2:y=x+b將單位圓C:x2+y2=1分成長(zhǎng)度相等的四段弧,則a2+b2=.答案28.(2014重慶,13,5分)已知直線ax+y-2=0與圓心為C的圓(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B兩點(diǎn),且ABC為等邊三角形,則實(shí)數(shù)a=.答案4159.(2014江蘇,9,5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線x+2y-3=0被圓(x-2)2+(y+1)2=4截得的弦長(zhǎng)為.答案255510.(2014課標(biāo),16,5分)設(shè)點(diǎn)M(x0,1),若在圓O:x2+y2=1上存在點(diǎn)N,使得OMN=45,則x0的取值范圍是.答案-1,111.(2013浙江文,13,4分)直線y=2x+3被圓x2+y2-6x-8y=0所截得的弦長(zhǎng)等于.答案4512.(2015課標(biāo),20, 12分)已知過(guò)點(diǎn)A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N兩點(diǎn).(1)求k的取值范圍;(2)若OMON=12,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn),求|MN|.解析(1)由題設(shè),可知直線l的方程為y=kx+1.因?yàn)閘與C交于兩點(diǎn),所以|2k-3+1|1+k2<1.解得4-73<k<4+73.所以k的取值范圍為4-73,4+73.(2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2).將y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1,整理得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0.所以x1+x2=4(1+k)1+k2,x1x2=71+k2.OMON=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=4k(1+k)1+k2+8.由題設(shè)可得4k(1+k)1+k2+8=12,解得k=1,所以l的方程為y=x+1.故圓心C在l上,所以|MN|=2.【三年模擬】一、選擇題(每小題4分,共20分)1.(2019屆浙江高考模擬試卷(二),3)已知圓M:(x-2)2+y2=1和直線l:y=kx,則“k=33”是“直線l與圓M相切”的() A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件答案A2.(2019屆浙江高考模擬試卷(二),9)如圖,已知F1,F2為橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn),P為橢圓上一點(diǎn),過(guò)F2作直線PF1的垂線交橢圓于P,Q兩點(diǎn),設(shè)橢圓的離心率為e,若圓x2+y2=1與直線PF1相切,且|QF1|=6,則e2等于()A.134B.5-12C.5-217D.23-5174答案D3.(2018浙江新高考調(diào)研卷三(杭州二中),6)已知直線ax+y-2=0與圓x2+y2=b總有2個(gè)不同的交點(diǎn),則b的取值范圍是() A.(2,+)B.(4,+)C.(0,+)D.(2,+)答案B4.(2018浙江鎮(zhèn)海中學(xué)階段性測(cè)試,9)與直線x-y=0和圓C:(x+4)2+(y-4)2=8都相切的半徑最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A.(x-1)2+(y-1)2=2B.(x-1) 2+(y+1)2=2C.(x+1)2+(y+1)2=2D.(x+1)2+(y-1)2=2答案D5.(2018浙江“七彩陽(yáng)光”聯(lián)盟期中,8)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)P(3,-1)在圓C:x2+y2-2mx-2y+m2-15=0內(nèi),動(dòng)直線AB過(guò)點(diǎn)P且交圓C于A,B兩點(diǎn),若ABC的面積的最大值為8,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.(3-23,3+23)B.1,5C.(3-23,15,3+23)D.(-,15,+)答案C二、填空題(單空題4分,多空題6分,共20分)6.(2019屆浙江高考模擬試卷(一),14)已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,以|F1F2|為直徑的圓與雙曲線漸近線的一個(gè)交點(diǎn)為(3,4),則此雙曲線的焦距為,方程為.答案10;x29-y216=17.(2018浙江高考模擬卷一,15)已知直線2ax+by=1(其中a,b為非零實(shí)數(shù))與圓x2+y2=1相交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),且AOB為直角三角形,則1a2+2b2的最小值為.答案48.(2018浙江高考模擬訓(xùn)練沖刺卷一,16)已知圓C:x2+y2-2y-9=0,點(diǎn)A(3,0),B(1,4).對(duì)于線段AC上的任意一點(diǎn)P,若在以B點(diǎn)為圓心的圓上存在不同的兩點(diǎn)M,N,使得點(diǎn)M是線段PN的中點(diǎn),則圓B的半徑r的取值范圍是.答案253r<109.(2018浙江高考模擬卷,14)已知曲線C:(mx-y-m)(x+my-1)=0,則曲線C過(guò)定點(diǎn);若x,y滿足x2+y24,則曲線C長(zhǎng)度的取值范圍是.答案(1,0);4+23,214