提分專練(六)以平行四邊形為背景的中檔計算題與證明題|類型1|四邊形綜合運用問題1.xx酒泉 如圖T6-1,矩形ABCD中,AB=6,BC=4,過對角線BD中點O的直線分別交AB,CD邊于點E,F. (1)求證:四邊形BEDF是平行四邊形; (2)當四邊形BEDF是菱形時,求EF的長.圖T6-12.閱讀下面材料: 在數學課上老師請同學們思考如下問題:如圖T6-3,我們把一個四邊形ABCD的四邊中點E,F,G,H依次連接起來得到 的四邊形EFGH是平行四邊形嗎? 小敏在思考問題時,有如下思路:連接AC,圖T6-2 結合小敏的思路作答: (1)若只改變圖中四邊形ABCD的形狀(如圖),則四邊形EFGH還是平行四邊形嗎?說明理由. 參考小敏思考問題的方法,解決問題: (2)如圖,在(1)的條件下,若連接AC,BD. 當AC與BD滿足什么條件時,四邊形EFGH是菱形?寫出結論并證明.當AC與BD滿足什么條件時,四邊形EFGH是矩形?直接寫出結論.圖T6-3|類型2|四邊形的折疊問題3.xx寧夏 將一張矩形紙片按如圖T6-4所示折疊,若1=40,則2的度數是()圖T6-4 A.40 B.50 C.60 D.704.xx貴港 如圖T6-5,將矩形ABCD折疊,折痕為EF,BC的對應邊BC與CD交于點M,若BMD=50,則BEF的度 數為.圖T6-55.如圖T6-6,矩形ABCD中,AB>AD,把矩形沿對角線AC所在直線折疊,使點B落在點E處,AE交CD于點F,連接DE. (1)求證:ADECED; (2)求證:DEF是等腰三角形.圖T6-66.xx淮安 如圖T6-7,在ABC中,AD平分BAC,將ABC折疊,使點A與點D重合,展開后折痕分別交AB,AC于點 E,F,連接DE,DF.求證:四邊形AEDF是菱形.圖T6-77.如圖T6-8,在矩形紙片ABCD中,已知AB=1,BC=3,點E在邊CD上移動,連接AE,將四邊形ABCE沿直線AE折疊,得 到四邊形ABCE,點B,C的對應點分別為點B,C. (1)當BC恰好經過點D時(如圖),求線段CE的長; (2)若BC分別交邊AD,CD于點F,G,且DAE=22.5(如圖),求DFG的面積; (3)在點E從點C移動到點D的過程中,求點C運動的路徑長.圖T6-88.xx威海 如圖T6-9,四邊形ABCD為一個矩形紙片,AB=3,BC=2,動點P自D點出發(fā)沿DC方向運動至C點后停 止.ADP以直線AP為軸翻折,點D落到點D1的位置.設DP=x,AD1P與原紙片重疊部分的面積為y. (1)當x為何值時,直線AD1過點C? (2)當x為何值時,直線AD1過BC的中點E? (3)求出y與x的函數關系式.圖T6-9|類型3|四邊形的平移、旋轉問題9.問題:如圖T6-10,點E,F分別在正方形ABCD的邊BC,CD上,EAF=45,試判斷BE,EF,FD之間的數量關系. 【發(fā)現證明】 小聰把ABE繞點A逆時針旋轉90至ADG,從而發(fā)現EF=BE+FD,請你利用圖證明上述結論. 【類比引申】 如圖,四邊形ABCD中,BAD90,AB=AD,B+D=180,點E,F分別在邊BC,CD上,則當EAF與BAD滿足 關系時,仍有EF=BE+FD. 【探究應用】 如圖,在某公園的同一水平面上,四條通道圍成四邊形ABCD.已知AB=AD=80米,B=60,ADC=120,BAD =150,道路BC,CD上分別有景點E,F,且AEAD,DF=40(3-1)米,現要在E,F之間修一條筆直道路,求這條道路EF的 長(結果取整數,參考數據:21.41,31.73).圖T6-10參考答案1.解:(1)證明:四邊形ABCD是平行四邊形,O是BD的中點,ABDC,OB=OD,OBE=ODF,又BOE=DOF,BOEDOF(ASA),EO=FO,四邊形BEDF是平行四邊形.(2)當四邊形BEDF是菱形時,設BE=x則DE=x,AE=6-x,在RtADE中,DE2=AD2+AE2,x2=42+(6-x)2,x=133,S菱形BEDF=BEAD=1334=523=12BDEF,又BD=AB2+AD2=62+42=213,12213EF=523,EF=4133.2.解:(1)四邊形EFGH還是平行四邊形,理由如下:連接AC,E,F分別是AB,BC的中點,EFAC,EF=12AC.G,H分別是CD,AD的中點,GHAC,GH=12AC,EFGH,EF=GH,四邊形EFGH是平行四邊形.(2)當AC=BD時,四邊形EFGH是菱形,理由如下:由(1)可知四邊形EFGH是平行四邊形,當AC=BD時,FG=12BD,EF=12AC,FG=EF,四邊形EFGH是菱形.當ACBD時,四邊形EFGH是矩形.3.D解析 如圖,易知23=1+180=220,從而3=110,又由平行線的性質,得2+3=180,進而2=70,故選D.4.705.證明:(1)四邊形ABCD是矩形,AD=BC,AB=CD.由折疊的性質可得:BC=CE,AB=AE,AD=CE,AE=CD.在ADE和CED中,AD=CE,AE=CD,DE=ED,ADECED(SSS).(2)由(1)得ADECED,DEA=EDC,即DEF=EDF,EF=DF,DEF是等腰三角形.6.證明:由折疊可知AE=ED,AF=DF,1=2,3=4.又AD平分BAC,1=3.1=2=3=4,AEDF,AFED,四邊形AEDF為平行四邊形,又AE=ED,四邊形AEDF為菱形.7.解:(1)由折疊得,B=B=90,AB=AB=1,BC=BC=3,CE=CE,由勾股定理得,BD=AD2-AB2=(3)2-12=2,所以DC=3-2,因為ADE=90,所以ADB+EDC=90,又因為EDC+DEC=90,所以ADB=DEC,又B=C=90,所以ABDDCE,所以ABDC=BDCE,即13-2=2CE,所以CE=CE=6-2.(2)BAD=B=D=90,DAE=22.5,BAE=90-22.5=67.5,BAF=67.5-22.5=45,BAF=BFA=45,DFG=AFB=DGF=45,DF=FG.在RtABF中,AB=FB=1,AF=2AB=2,DF=DG=3-2,SDFG=12(3-2)2=52-6.(3)如圖,點C運動的路徑長為CC的長,在RtADC中,tanDAC=CDAD=33,DAC=30,AC=2CD=2.CAD=DAC=30,CAC=60,CC的長=602180=23 .8.解:(1)如圖,由題意得,ADPAD1P.AD1=AD=2,PD=PD1=x,PDA=PD1A=90.直線AD1過點C,PD1AC.在RtABC中,AB=3,BC=2,AC=22+32=13,CD1=13-2.在RtPCD1中,PC2=P12+CD12,即(3-x)2=x2+(13-2)2,解得x=213-43.當x=213-43時,直線AD1過點C.(2)如圖,連接PE.E為BC中點,BE=CE=1.在RtABE中,AE=AB2+BE2=10.AD1=AD=2,PD=PD1=x,D1E=10-2,PC=3-x.在RtPD1E和RtPCE中,x2+(10-2)2=(3-x)2+12,解得x=210-23.當x=210-23時,直線AD1過BC的中點E.(3)如圖,當0x2時,y=x.如圖,當2<x3時,點D1在矩形外部,PD1與AB交于點F.ABCD,1=2.1=3,2=3,FP=FA.作PGAB,垂足為點G,設FP=FA=a,由題意得,AG=DP=x,FG=x-a.在RtPFG中,由勾股定理,得(x-a)2+22=a2,解得a=4+x22x,y=1224+x22x=x2+42x.綜上所述,當0x2時,y=x;當2<x3時,y=x2+42x.9.解析 【發(fā)現證明】 根據旋轉的性質可以得到AE=AG,BE=DG,B=ADG=90,EAG=90,再根據“SAS”證明AFGAFE可得EF=GF,由此證得結論.【類比引申】 根據上面的特殊情況中EAF=12BAD,猜想一般情況下也應滿足EAF=12BAD才能得到結論,證明過程與上面類似.【探究應用】 連接AF.要運用這個幾何模型必須先證明EAF=75.過點A作AHCD于點H,解兩個直角三角形RtAHD和RtAHF來得以實現.解:【發(fā)現證明】 證明:由旋轉可得AE=AG,BE=DG,B=ADG=90,EAG=BAD=90.四邊形ABCD為正方形,ADC=90,ADC+ADG=180,G,D,C三點共線.EAF=45,GAF=45,GAF=FAE.又AF=AF,AFGAFE(SAS),GF=EF.GF=GD+DF,EF=BE+DF.【類比引申】 EAF=12BAD理由如下:如圖,將ABE繞點A逆時針旋轉BAD的度數至ADG,使AB與AD重合.由旋轉可得AE=AG,BE=DG,B=ADG,BAE=DAG.B+ADC=180,ADC+ADG=180,G,D,C三點共線.BAE=DAG,BAD=EAG.EAF=12BAD,GAF=FAE.又AF=AF,AFGAFE(SAS),GF=EF.GF=GD+DF,EF=BE+DF.故答案為EAF=12BAD.【探究應用】 BAD=150,DAE=90,BAE=60.又B=60,ABE是等邊三角形,BE=AB=80.如圖,連接AF,過點A作AHCD交CD的延長線于點H.在RtAHD中,ADH=180-ADC=60,AD=80,HAD=30,HD=12AD=40,AH=AD2-DH2=403.DF=40(3-1),HF=HD+DF=40+40(3-1)=403,在RtAHF中,AH=HF,HAF=45,DAF=15,EAF=90-15=75,EAF=12BAD.運用上面的結論可得EF=BE+DF=80+40(3-1)=40+403109.即這條道路EF的長約為109米.