成才之路 數(shù)學(xué) 路漫漫其修遠(yuǎn)兮吾將上下而求索 人教A版 必修5 數(shù)列 第二章 2 2等差數(shù)列 第二章 第1課時(shí)等差數(shù)列的概念與通項(xiàng)公式 1 理解等差數(shù)列的定義 掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 2 會(huì)推導(dǎo)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 能運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題 3 掌握等差中項(xiàng)的概念 并能運(yùn)用 按一定順序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列 項(xiàng)an與項(xiàng)數(shù)n 項(xiàng)與項(xiàng) 1 觀察下列各組數(shù)據(jù) 1 有一座樓房第一層的每級(jí)臺(tái)階與地面的高度 單位 cm 依次為16 32 48 64 80 96 112 128 320 2 鞋的尺碼 按照國(guó)家規(guī)定 有 22 22 5 23 23 5 24 24 5 3 奧運(yùn)會(huì)每4年舉行一屆 2008年在北京舉行 此后的奧運(yùn)會(huì)舉辦年份依次為 2012 2016 2020 思考 1 它們構(gòu)成數(shù)列嗎 2 這些數(shù)列的項(xiàng)有何特點(diǎn) 算一算從第2項(xiàng)起每項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差 你發(fā)現(xiàn)了什么 3 從這些數(shù)列中任取一項(xiàng) 如果它既有前項(xiàng)又有后項(xiàng) 算一算它與前后項(xiàng)之間具有什么關(guān)系 4 你能用一個(gè)遞推關(guān)系式來(lái)表示它們嗎 2 等差數(shù)列的定義是怎樣的 對(duì)于等差數(shù)列定義的理解應(yīng)注意什么 定義 一般地 如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起 每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù) 那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列 這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差 公差通常用字母d表示 若公差d 0 則這個(gè)數(shù)列為常數(shù)列 1 從第2項(xiàng)起 也就是說(shuō)等差數(shù)列中至少含有三項(xiàng) 2 每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差 不可理解為 每相鄰兩項(xiàng)的差 3 同一個(gè)常數(shù)d d是等差數(shù)列的公差 即d an an 1 d可以為零 當(dāng)d 0時(shí) 等差數(shù)列為常數(shù)列 也就是說(shuō) 常數(shù)列是特殊的等差數(shù)列 4 等差數(shù)列的定義是判斷 證明一個(gè)數(shù)列為等差數(shù)列的重要依據(jù) 即an 1 an d 常數(shù) n N an 是等差數(shù)列 答案 D 等差數(shù)列 an 中 a3 5 a7 13 求通項(xiàng)公式an 注意 在一個(gè)等差數(shù)列中 從第2項(xiàng)起 每一項(xiàng) 有窮數(shù)列的末項(xiàng)除外 都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng) 即2an an 1 an 1 實(shí)際上 等差數(shù)列中的某一項(xiàng)是與其等距離的前后兩項(xiàng)的等差中項(xiàng) 即2an an m an m m n N m n 已知 1 x y 10構(gòu)成等差數(shù)列 則x y的值分別為 答案 4 7 解析 由已知 x是1和y的等差中項(xiàng) 即2x 1 y y是x和10的等差中項(xiàng) 即2y 2x 10 由 可解得x 4 y 7 判斷下列數(shù)列是否為等差數(shù)列 1 an 3 2n 2 an n2 n 分析 本題考察判斷數(shù)列是否是等差數(shù)列 即判斷an 1 an n N 是否為同一個(gè)常數(shù) 等差數(shù)列的判斷與證明 解析 1 an 1 an 3 2 n 1 3 2n 2 是常數(shù) 數(shù)列 an 是等差數(shù)列 2 an 1 an n 1 2 n 1 n2 n 2n 不是常數(shù) 數(shù)列 an 不是等差數(shù)列 方法規(guī)律總結(jié) 定義法是判定 或證明 數(shù)列 an 是等差數(shù)列的基本方法 其步驟為 1 作差an 1 an 2 對(duì)差式進(jìn)行變形 3 當(dāng)an 1 an是一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù)時(shí) 數(shù)列 an 是等差數(shù)列 當(dāng)an 1 an不是常數(shù) 是與n有關(guān)的代數(shù)式時(shí) 數(shù)列 an 不是等差數(shù)列 已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為an 6n 1 問(wèn)這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列嗎 若是等差數(shù)列 其首項(xiàng)與公差分別是多少 解析 an 1 an 6 n 1 1 6n 1 6 常數(shù) an 是等差數(shù)列 其首項(xiàng)a1 6 1 1 5 公差為6 分析 由于所求證的是三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列 所以可用等差中項(xiàng)來(lái)證明 等差數(shù)列的證明 在等差數(shù)列 an 中 1 已知a5 1 a8 2 求a1與d 2 已知a1 a6 12 a4 7 求a9 分析 根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an a1 n 1 d 由條件可建立關(guān)于a1 d的二元一次方程組解出a1 d 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 1 求等差數(shù)列10 8 6 的第20項(xiàng) 2 100是不是等差數(shù)列2 9 16 的項(xiàng) 如果是 是第幾項(xiàng) 如果不是 說(shuō)明理由 解析 1 a1 10 d 8 10 2 an 10 n 1 2 2n 12 a20 2 20 12 28 2 a1 2 d 9 2 7 an 2 n 1 7 7n 5 由7n 5 100 得n 15 100是這個(gè)數(shù)列的第15項(xiàng) 分析 可用列舉觀察法求解 也可用變形構(gòu)造法求解 構(gòu)造解題法 答案 A 莫弄混項(xiàng)數(shù)與序號(hào)已知數(shù)列 an bn 均為等差數(shù)列 且 an 為2 5 8 bn 為1 5 9 它們的項(xiàng)數(shù)均為40 則它們有多少個(gè)彼此具有相同數(shù)值的項(xiàng) 錯(cuò)解 由已知兩等差數(shù)列的前3項(xiàng) 容易求得它們的通項(xiàng)公式分別為 an 3n 1 bn 4n 3 1 n 40 且n N 令an bn 得3n 1 4n 3 n 2 兩數(shù)列只有第2項(xiàng)數(shù)值彼此相同 辨析 本題所說(shuō)的數(shù)值相同的項(xiàng) 在各自數(shù)列中的序號(hào)不一定相同 只是在這兩個(gè)數(shù)列中找數(shù)值相同的項(xiàng) 已知數(shù)列 an 中 a1 1 a2 2 2an 1 2an 3 n 2 n N 判斷 an 是否是等差數(shù)列