3數(shù)學(xué)歸納法與貝努利不等式 3 1數(shù)學(xué)歸納法 對數(shù)學(xué)歸納法的理解 1 數(shù)學(xué)歸納法原理 數(shù)學(xué)歸納法原理是設(shè)有一個關(guān)于正整數(shù)n的命題 若當(dāng)n取第1個值n0時該命題成立 又在假設(shè)當(dāng)n取第k個值時該命題成立后可以推出n取第k 1個值時該命題成立 則該命題對一切自然數(shù)n n0都成立 2 數(shù)學(xué)歸納法 數(shù)學(xué)歸納法可以用于證明與正整數(shù)有關(guān)的命題 證明需要經(jīng)過兩個步驟 驗證當(dāng)n取第一個值n0 如n0 1或2等 時命題正確 假設(shè)當(dāng)n k時 k N k n0 命題正確 證明當(dāng)n k 1時命題也正確 在完成了上述兩個步驟之后 就可以斷定命題對于從n0開始的所有正整數(shù)都正確 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等問題數(shù)學(xué)歸納法可以證明與自然數(shù)有關(guān)的恒等式問題 證明此類問題的關(guān)鍵在于第二步 它有一個基本格式 我們不妨設(shè)命題為P n f n g n 其第二步相當(dāng)于做一道條件等式的證明題 已知 f k g k 求證 f k 1 g k 1 通常可采用的格式分為三步 1 找出f k 1 與f k 的遞推關(guān)系 2 把歸納假設(shè)f k g k 代入 3 作恒等變形化為g k 1 示意圖為 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 點評用數(shù)學(xué)歸納法證明一個代數(shù)恒等式 解題前先要分析清楚等式兩邊的構(gòu)成情況 解這類題的關(guān)鍵在第二步 將式子轉(zhuǎn)化為與歸納假設(shè)的等式結(jié)構(gòu)相同的形式 湊假設(shè) 然后應(yīng)用歸納假設(shè) 經(jīng)過恒等變形得到結(jié)論所需形式 湊結(jié)論 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 探究二用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題利用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問題時 第二步一般先將n k 1代入原式 然后將原式作適當(dāng)?shù)暮愕茸冃?湊出歸納假設(shè) 這是證明的關(guān)鍵和難點 典型例題2求證 an 1 a 1 2n 1能被a2 a 1整除 n N 思路分析 對于多項式A B 如果A BC C也是多項式 那么A能被B整除 若A B都能被C整除 則A B A B也能被C整除 證明 1 當(dāng)n 1時 a1 1 a 1 2 1 1 a2 a 1 命題顯然成立 探究一 探究二 探究三 探究四 2 假設(shè)n k k N 且k 1 時 ak 1 a 1 2k 1能被a2 a 1整除 則當(dāng)n k 1時 ak 2 a 1 2k 1 a ak 1 a 1 2 a 1 2k 1 a ak 1 a 1 2k 1 a 1 2 a 1 2k 1 a a 1 2k 1 a ak 1 a 1 2k 1 a2 a 1 a 1 2k 1 由歸納假設(shè) 得上式中的兩項均能被a2 a 1整除 故n k 1時命題成立 由 1 2 知 對n N 命題成立 點評證明整除性問題的關(guān)鍵是 湊項 而采用增項 減項 拆項 因式分解等手段 湊出n k時的情形 從而利用歸納假設(shè)使問題得證 探究一 探究二 探究三 探究四 變式訓(xùn)練2求證 對任意正整數(shù)n 34n 2 52n 1能被14整除 證明 1 當(dāng)n 1時 34n 2 52n 1 36 53 854 14 61 能被14整除 命題成立 2 假設(shè)當(dāng)n k時命題成立 即34k 2 52k 1能被14整除 那么當(dāng)n k 1時 34 k 1 2 52 k 1 1 34k 2 34 52k 1 52 34k 2 34 52k 1 34 52k 1 34 52k 1 52 34 34k 2 52k 1 52k 1 34 52 34 34k 2 52k 1 56 52k 1 因為34k 2 52k 1能被14整除 56也能被14整除 所以34 k 1 2 52 k 1 1能被14整除 故命題成立 由 1 2 知 命題對任意正整數(shù)n都成立 探究一 探究二 探究三 探究四 探究三用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題對于幾何問題的證明 可以先從有限情形中歸納出一個變化的過程 或者說體會出是怎樣變化的 然后再去證明 也可以用 遞推 的方法來證明 證明的關(guān)鍵是尋找f k 1 與f k 之間的遞推關(guān)系 基本策略是 往后退 從f k 1 中將f k 分離出來 典型例題3平面內(nèi)有n個圓 任意兩個圓都相交于兩點 任意三個圓不相交于同一點 求證 這n個圓將平面分成f n n2 n 2個部分 n N 思路分析 因為f n 為n個圓把平面分割成的區(qū)域數(shù) 那么再有一個圓和這n個圓相交 就有2n個交點 這些交點將增加的這個圓分成2n段弧 且每一段弧又將原來的平面區(qū)域一分為二 因此 增加一個圓后 平面分成的區(qū)域數(shù)增加2n個 即f n 1 f n 2n 有了上述關(guān)系 數(shù)學(xué)歸納法的第二步證明可迎刃而解 探究一 探究二 探究三 探究四 證明 1 當(dāng)n 1時 一個圓將平面分成兩個部分 且f 1 1 1 2 2 所以n 1時命題成立 2 假設(shè)當(dāng)n k k N 且k 1 時命題成立 即k個圓把平面分成f k k2 k 2個部分 則當(dāng)n k 1時 在k 1個圓中任取一個圓O 剩下的k個圓將平面分成f k 個部分 而圓O與k個圓有2k個交點 這2k個點將圓O分成2k段弧 每段弧將原平面一分為二 故得f k 1 f k 2k k2 k 2 2k k 1 2 k 1 2 所以當(dāng)n k 1時 命題成立 綜合 1 2 可知 對一切n N 命題成立 點評證明幾何問題的難點是找出由f k 到f k 1 增加了幾個量 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 1234 1 下列代數(shù)式中 n N 則可能被13整除的是 A n3 5nB 34n 1 52n 1C 62n 1 1D 42n 1 3n 2解析 當(dāng)n 1時 只有D項能被13整除 答案 D 1234 2 凸n邊形有f n 條對角線 則凸 n 1 邊形的對角線的條數(shù)f n 1 為 A f n n 1B f n nC f n n 1D f n n 2解析 從凸n邊形到凸 n 1 邊形 對角線增加了 n 1 條 答案 C 1234 1234 1234