2 3 2離散型隨機變量的方差 1 方差 標準差的定義及方差的性質(zhì) 1 方差及標準差的定義 設離散型隨機變量X的分布列為 方差D X 標準差為 2 方差的性質(zhì) D aX b a2D X 2 兩個常見分布的方差 1 若X服從兩點分布 則D X 2 若X B n p 則D X p 1 p np 1 p 1 判一判 正確的打 錯誤的打 1 離散型隨機變量的方差越大 隨機變量越穩(wěn)定 2 若a是常數(shù) 則D a 0 3 離散型隨機變量的方差反映了隨機變量偏離于期望的平均程度 解析 1 錯誤 離散型隨機變量的方差越大 隨機變量越不穩(wěn)定 2 正確 因為E a a 所以D a 0 3 正確 由離散型隨機變量的方差的幾何意義可知 其反映了隨機變量偏離于期望的平均程度 答案 1 2 3 2 做一做 請把正確的答案寫在橫線上 1 若隨機變量X服從兩點分布 且成功的概率p 0 5 則E X 和D X 分別為 2 設隨機變量 B 則D 3 如果X是離散型隨機變量 Y 3X 2 那么D Y D X 解析 1 因為X服從兩點分布 所以X的概率分布為所以E X 0 0 5 1 0 5 0 5 D X 0 52 0 5 1 0 5 2 0 5 0 25 答案 0 5和0 25 2 因為隨機變量 B 所以D 答案 3 由于X是離散型隨機變量 Y 3X 2呈線性關系 代入公式 則E Y 3E X 2 D Y 32D X 9D X 答案 9 要點探究 知識點方差 標準差的定義及方差的性質(zhì)1 對隨機變量X的方差 標準差的五點說明 1 隨機變量X的方差的定義與一組數(shù)據(jù)的方差的定義是相同的 2 隨機變量X的方差和標準差都反映了隨機變量X取值的穩(wěn)定性和波動 集中與離散程度 3 D X 越小 隨機變量X的取值就越穩(wěn)定 波動就越小 4 標準差與隨機變量本身有相同的單位 所以在實際問題中應用更廣泛 5 方差也可用公式D X E X2 E X 2計算 可由 pi展開整理得 2 隨機變量的方差和樣本方差之間的關系 3 方差具有的性質(zhì)當a b均為常數(shù)時 隨機變量 a b的方差D D a b a2D 特別地 1 當a 0時 D b 0 即常數(shù)的方差等于0 2 當a 1時 D b D 即隨機變量與常數(shù)之和的方差等于這個隨機變量的方差本身 3 當b 0時 D a a2D 即隨機變量與常數(shù)之積的方差 等于這個常數(shù)的平方與這個隨機變量方差的乘積 4 當a b均為非零常數(shù)時 隨機變量 a b的方差D D a b a2D 知識拓展 證明公式D X E X2 E X 2證明 D X x1 E X 2p1 x2 E X 2p2 xn E X 2pn p1 p2 pn 2E X x1p1 x2p2 xnpn E X 2 p1 p2 pn E X2 2 E X 2 E X 2 E X2 E X 2 利用公式D X E X2 E X 2可以簡化求方差的過程 微思考 1 數(shù)學期望與方差表示的含義相同嗎 提示 不同 數(shù)學期望是概率意義下的平均值 而方差體現(xiàn)了隨機變量偏離于期望的平均程度 2 兩點分布的方差同二項分布的方差存在什么關系 提示 由于兩點分布是特殊的二項分布 故兩點分布的方差同二項分布的方差存在特殊與一般的關系 即時練 2014 杭州高二檢測 某班從4名男生 2名女生中選出3人參加志愿者服務 若選出的男生人數(shù)為 則 的方差D 解析 依題意得 隨機變量 服從超幾何分布 隨機變量 表示其中男生的人數(shù) 可能取的值為1 2 3 所以X的分布列為 由分布列可知E 2 又E 2 所以D E 2 E 2 22 0 4 答案 0 4 題型示范 類型一離散型隨機變量的方差及標準差的計算 典例1 1 同時拋擲兩枚均勻的硬幣10次 設兩枚硬幣同時出現(xiàn)反面的次數(shù)為 則D 2 已知X的分布列為設Y 2X 3 求E Y D Y 解題探究 1 題 1 中兩枚硬幣同時出現(xiàn)反面的次數(shù) 服從什么分布 2 題 2 中 可以根據(jù)分布列直接計算出哪個量的期望與方差 探究提示 1 兩枚硬幣同時出現(xiàn)反面的次數(shù) B 2 可以利用公式計算出E X 與D X 自主解答 1 選A 兩枚硬幣同時出現(xiàn)反面的概率為故 B 因此D 2 由條件中所給的隨機變量的分布列可知E X D X 所以E Y E 2X 3 D Y D 2X 3 延伸探究 在題 1 的條件不變的情況下 求 兩枚硬幣不同時出現(xiàn)同面的次數(shù) 的方差 解題指南 不同時出現(xiàn)同面的次數(shù) B 解析 不同時出現(xiàn)同面的概率為 由題意可知 同時拋擲兩枚均勻的硬幣10次 不同時出現(xiàn)同面的次數(shù) B 故D 2 5 方法技巧 1 求離散型隨機變量的方差的類型及解決方法 1 已知分布列型 非兩點分布或二項分布 直接利用定義求解 先求均值 再求方差 2 已知分布列是兩點分布或二項分布型 直接套用公式求解 具體如下 若X服從兩點分布 則D X p 1 p 若X B n p 則D X np 1 p 3 未知分布列型 求解時可先借助已知條件及概率知識先求得分布列 然后轉(zhuǎn)化成 1 中的情況 4 對于已知D X 求D aX b 型 利用方差的性質(zhì)求解 即利用D aX b a2D X 求解 2 求離散型隨機變量 的方差 標準差的步驟 1 理解 的意義 寫出 可能取的全部值 2 求 取各個值的概率 寫出分布列 3 根據(jù)分布列 由期望的定義求出E 4 根據(jù)方差 標準差的定義求出D 若 B n p 則不必寫出分布列 直接用公式計算即可 變式訓練 2014 浙江高考 隨機變量 的取值為0 1 2 若P 0 E 1 則D 解題指南 根據(jù)離散型隨機變量的均值與方差的相關知識計算 解析 設 1時的概率為p 則解得p 故答案 補償訓練 一次數(shù)學測驗有25道選擇題構成 每個選擇題有4個選擇項 其中有且只有一個選項正確 每選一個正確答案得4分 不作出選擇或選錯的不得分 滿分100分 某學生選對任一題的概率為0 8 則此學生在這一次測試中的成績的D 解析 設學生答對題數(shù)為 成績?yōu)?則 B 25 0 8 4 則此學生在這一次測試中的成績的D D 4 16D 16 25 0 8 0 2 64 答案 64 類型二方差的應用 典例2 1 有甲 乙兩種水稻 測得每種水稻各10株的分蘗數(shù)據(jù) 計算出樣本方差分別為D X甲 11 D X乙 3 4 由此可以估計 A 甲種水稻比乙種水稻分蘗整齊B 乙種水稻比甲種水稻分蘗整齊C 甲 乙兩種水稻分蘗整齊程度相同D 甲 乙兩種水稻分蘗整齊程度不能比較 2 甲 乙兩射手在同一條件下進行射擊 分布列如下 射手甲擊中環(huán)數(shù)8 9 10的概率分別為0 2 0 6 0 2 射手乙擊中環(huán)數(shù)8 9 10的概率分別為0 4 0 2 0 4 用擊中環(huán)數(shù)的期望與方差比較兩名射手的射擊水平 解題探究 1 題 1 中樣本的方差與樣本的整齊程度有什么關系 2 題 2 中分析甲 乙的射擊水平差異需比較哪些量 探究提示 1 樣本的方差越小 大 則樣本越整齊 不整齊 2 通過比較甲 乙的期望與方差分別說明甲 乙的射擊技術平均水平及其穩(wěn)定性差異 自主解答 1 選B 因為D X甲 D X乙 所以乙種水稻比甲種水稻分蘗整齊 2 設甲擊中環(huán)數(shù)為 1 乙擊中環(huán)數(shù)為 2 E 1 8 0 2 9 0 6 10 0 2 9 D 1 8 9 2 0 2 9 9 2 0 6 10 9 2 0 2 0 4 同理有E 2 9 D 2 0 8 由上可知 E 1 E 2 D 1 D 2 所以 在射擊之前 可以預測甲 乙兩名射手所得的平均環(huán)數(shù)很接近 均在9環(huán)左右 但甲所得環(huán)數(shù)較集中 以9環(huán)居多 而乙得環(huán)數(shù)較分散 得8 10環(huán)的次數(shù)多些 故甲射手的射擊水平較高 方法技巧 利用均值和方差的意義解決實際問題的步驟 1 比較均值 離散型隨機變量的均值反映了離散型隨機變量取值的平均水平 因此 在實際決策問題中 需先計算均值 看一下誰的平均水平高 2 在均值相等的情況下計算方差 方差反映了離散型隨機變量取值的穩(wěn)定與波動 集中與離散的程度 通過計算方差 分析一下誰的水平發(fā)揮相對穩(wěn)定 3 下結論 依據(jù)均值和方差的幾何意義做出結論 變式訓練 有甲乙兩個單位都愿意聘用你 而你能獲得如下信息 根據(jù)工資待遇的差異情況 你愿意選擇哪家單位 解析 根據(jù)月工資的分布列 利用計算器可算得E X1 1200 0 4 1400 0 3 1600 0 2 1800 0 1 1400 D X1 1200 1400 2 0 4 1400 1400 2 0 3 1600 1400 2 0 2 1800 1400 2 0 1 40000 E X2 1000 0 4 1400 0 3 1800 0 2 2200 0 1 1400 D X2 1000 1400 2 0 4 1400 1400 2 0 3 1800 1400 2 0 2 2200 1400 2 0 1 160000 因為E X1 E X2 D X1 D X2 所以兩家單位的工資均值相等 但甲單位不同職位的工資相對集中 乙單位不同職位的工資相對分散 這樣 如果你希望不同職位的工資差距小一些 就選擇甲單位 如果你希望不同職位的工資差距大一些 就選擇乙單位 補償訓練 A B兩臺機床同時加工零件 每生產(chǎn)一批數(shù)量較大的產(chǎn)品時 出次品的概率如下表所示 A機床B機床問哪一臺機床加工質(zhì)量較好 解析 E 1 0 0 7 1 0 2 2 0 06 3 0 04 0 44 E 2 0 0 8 1 0 06 2 0 04 3 0 10 0 44 它們的期望相同 再比較它們的方差 D 1 0 0 44 2 0 7 1 0 44 2 0 2 2 0 44 2 0 06 3 0 44 2 0 04 0 6064 D 2 0 0 44 2 0 8 1 0 44 2 0 06 2 0 44 2 0 04 3 0 44 2 0 10 0 9264 所以D 1 D 2 故A機床加工較穩(wěn)定 質(zhì)量較好 規(guī)范解答 方差的實際應用 典例 12分 某花店每天以每枝5元的價格從農(nóng)場購進若干枝玫瑰花 然后以每枝10元的價格出售 如果當天賣不完 剩下的玫瑰花作垃圾處理 1 若花店一天購進16枝玫瑰花 求當天的利潤y 單位 元 關于當天需求量n 單位 枝 n N 的函數(shù)解析式 2 花店記錄了100天玫瑰花的日需求量 單位 枝 整理得下表 以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率 若花店一天購進16枝玫瑰花 X表示當天的利潤 單位 元 求X的數(shù)學期望 若花店計劃一天購進16枝或17枝玫瑰花 你認為應購進16枝還是17枝 請說明理由 審題 抓信息 找思路 解題 明步驟 得高分 點題 警誤區(qū) 促提升失分點1 若對題中信息把握不到位 導致 處利潤y與當天需求量n的函數(shù)關系是y 5n 5 16 n 10n 80 致使本例得2分 失分點2 若對變量X理解不到位 導致 處錯誤 致使均值錯誤 本例最多得4分 失分點3 若對期望的實際意義理解不到位 而沒有得到 處的式子 則會導致至少丟掉3分 悟題 提措施 導方向1 建模信息的提取熟讀題設信息 把實際問題數(shù)學模型化是解決該類問題的關鍵 如本例的函數(shù)模型的建立用到了分段函數(shù)的建模思想 2 理解期望的實際意義期望是隨機變量的數(shù)字特征 能夠反映數(shù)據(jù)的整體情況 理解期望的實際意義是求解此類問題的關鍵 如本例 2 類題試解 多向飛碟是奧運會的競賽項目 它是由拋靶機把碟靶 射擊的目標 在一定范圍內(nèi)從不同的方向飛出 每拋出一個碟靶 就允許運動員射擊兩次 直到擊中為止 一運動員在進行訓練時 每一次射擊命中碟靶的概率P與運動員離碟靶的距離S 米 成反比 現(xiàn)有一碟靶拋出的距離S 米 與飛行時間t 秒 滿足S 15 t 1 0 t 4 假設運動員在碟靶飛出后0 5秒進行第一次射擊 且命中的概率為0 8 如果發(fā)現(xiàn)沒有命中 則通過迅速調(diào)整 在第一次射擊后經(jīng)過0 5秒進行第二次射擊 1 設該運動員命中碟靶的次數(shù)為 求 的分布列 2 求E 和D 解析 1 設P 常數(shù)k 0 則P 當t 0 5秒時 P1 0 8 代入上式得k 18 所以 所以當t 1秒時 P2 0 6 可能取值為0 1 由題意P 0 0 2 0 4 0 08 P 1 0 8 0 2 0 6 0 92 那么 的分布列為 2 E 0 0 08 1 0 92 0 92 D 0 0 92 2 0 08 1 0 92 2 0 92 0 0736