3 1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用 第一課時 1 通過典型案例的探究 進(jìn)一步了解回歸分析的基本思想 方法及其初步應(yīng)用 2 讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)據(jù)處理的過程 培養(yǎng)他們對數(shù)據(jù)的直觀感覺 體會統(tǒng)計方法的特點(diǎn) 認(rèn)識統(tǒng)計方法的應(yīng)用 通過使用轉(zhuǎn)化后的數(shù)據(jù) 求相關(guān)指數(shù) 運(yùn)用相關(guān)指數(shù)進(jìn)行數(shù)據(jù)分析 處理的方法 3 從實(shí)際問題中發(fā)現(xiàn)已有知識的不足 激發(fā)好奇心 求知欲 通過尋求有效的數(shù)據(jù)處理方法 開拓學(xué)生的思路 培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和轉(zhuǎn)化能力 通過案例的分析使學(xué)生了解回歸分析在實(shí)際生活中的應(yīng)用 增強(qiáng)數(shù)學(xué)取之生活 用于生活的意識 提高學(xué)習(xí)興趣 本節(jié)課通過必修3熟悉有例題回顧線性相關(guān)關(guān)系知識 通過實(shí)際問題中發(fā)現(xiàn)已有知識的不足 引出隨機(jī)誤差 殘差 殘差分析的概念 進(jìn)而運(yùn)用殘差來進(jìn)行數(shù)據(jù)分析 通過例題講解掌握用殘差分析判斷線性回歸模型的擬合效果 掌握建立回歸模型的步驟 本節(jié)內(nèi)容學(xué)生內(nèi)容不易掌握 通過知識整理與比較引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行區(qū)分 理解 通過對典型案例的探究 練習(xí)進(jìn)行鞏固了解回歸分析的基本思想方法和初步應(yīng)用 從某大學(xué)中隨機(jī)選取8名女大學(xué)生 其身高和體重數(shù)據(jù)如下表所示 怎樣根據(jù)一名女大學(xué)生的身高預(yù)報她的體重 并預(yù)報一名身高為172cm的女大學(xué)生的體重 根據(jù)必修32 3變量相關(guān)關(guān)系解決這個問題的方法 1 先判斷是兩個變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系 1 作散點(diǎn)圖 如圖所示 見課本P82 圖3 1 1 2 根據(jù)線性回歸的系數(shù)公式 求回歸直線方程 0 849x 85 712 3 由線性回歸方程可以估計其位置值為 60 316 千克 左右 具有較好的線性相關(guān)關(guān)系 性質(zhì) 回歸直線一定過樣本中心點(diǎn) 2 計算相關(guān)系數(shù) 這些點(diǎn)并不都在同一條直線上 上述直線并不能精確地反映x與y之間的關(guān)系 y的值不能完全由x確定 它們之間是統(tǒng)計相關(guān)關(guān)系 y的實(shí)際值與估計值之間存在著誤差 因此 在統(tǒng)計學(xué)中設(shè)它們的線性回歸模型為 其中a b為模型的未知參數(shù) e為y與bx a之間的誤差 稱它為隨機(jī)誤差 它是隨機(jī)變量 且 線性回歸模型完整表達(dá)式為 x稱為變量 y稱為變量 解釋 預(yù)報 線性回歸模型中隨機(jī)誤差的主要來源 線性回歸模型中的預(yù)報值與真實(shí)情況y引起的誤差 觀測與計算 用代替ba 產(chǎn)生的誤差 省略了一些因素的影響 如生活習(xí)慣等 產(chǎn)生的誤差 在線性回歸模型中 e為用bx a的預(yù)報真實(shí)值y的隨機(jī)誤差 它是一個不可觀測的量 那么應(yīng)該怎樣研究隨機(jī)誤差 稱相應(yīng)于點(diǎn)的殘差 坐標(biāo)縱軸為殘差變量 橫軸可以有不同的選擇 若模型選擇的正確 殘差圖中的點(diǎn)應(yīng)該分布在以橫軸為中心的帶形區(qū)域 對于遠(yuǎn)離橫軸的點(diǎn) 要特別注意 身高與體重殘差圖 殘差的作用 1 通過殘差表或殘差圖發(fā)現(xiàn)原始數(shù)據(jù)中的可疑數(shù)據(jù) 通過殘差來判斷模型擬合的效果這種分析工作稱為殘差分析 通過殘差表或殘差圖判斷模型擬合的效果是直觀判斷 如何精確判斷模型擬合的效果 引入?yún)?shù)R2 來精確該畫模型擬合效果 對于己獲取的樣本數(shù)據(jù) 在上式子中是定值 越小 即殘差平方和越小 R2越大 說明模型擬合效果越好 引入例中參數(shù)R2計算得約為0 64說明女大學(xué)生體重差異有百分之六十四是由身高引起的 知識點(diǎn)線性回歸分析1 對線性回歸模型的三點(diǎn)說明 1 非確定性關(guān)系 線性回歸模型y bx a e與確定性函數(shù)y bx a相比 它表示y與x之間是統(tǒng)計相關(guān)關(guān)系 非確定性關(guān)系 其中的隨機(jī)誤差e提供了選擇模型的準(zhǔn)則以及在模型合理的情況下探求最佳估計值a b的工具 2 線性回歸方程中 的意義是 以為基數(shù) x每增加1個單位 y相應(yīng)地平均增加個單位 3 線性回歸模型中隨機(jī)誤差的主要來源 線性回歸模型與真實(shí)情況引起的誤差 觀測與計算產(chǎn)生的誤差 省略了一些因素的影響產(chǎn)生的誤差 2 線性回歸模型的模擬效果 1 殘差圖法 觀察殘差圖 如果殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中 說明選用的模型比較合適 這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄 說明模型擬合精度越高 回歸方程的預(yù)報精度越高 2 殘差的平方和法 一般情況下 比較兩個模型的殘差比較困難 某些樣本點(diǎn)上一個模型的殘差的絕對值比另一個模型的小 而另一些樣本點(diǎn)的情況則相反 故通過比較兩個模型的殘差的平方和的大小來判斷模型的擬合效果 殘差平方和越小的模型 擬合的效果越好 3 R2法 R2的值越大 說明殘差平方和越小 也就是說模型擬合的效果越好 3 相關(guān)系數(shù)與R2 1 R2是相關(guān)系數(shù)的平方 其變化范圍為 0 1 而相關(guān)系數(shù)的變化范圍為 1 1 2 相關(guān)系數(shù)可較好地反映變量的相關(guān)性及正相關(guān)或負(fù)相關(guān) 而R2反映了回歸模型擬合數(shù)據(jù)的效果 3 當(dāng) r 接近于1時說明兩變量的相關(guān)性較強(qiáng) 當(dāng) r 接近于0時說明兩變量的相關(guān)性較弱 而當(dāng)R2接近于1時 說明線性回歸方程的擬合效果較好 微思考 1 殘差與我們平時說的誤差是一回事兒嗎 提示 這兩個概念在某程度上具有很大的相似性 都是衡量不確定性的指標(biāo) 二者的區(qū)別是 誤差與測量有關(guān) 誤差可以衡量測量的準(zhǔn)確性 誤差越大表示測量越不準(zhǔn)確 殘差與預(yù)測有關(guān) 殘差大小可以衡量預(yù)測的準(zhǔn)確性 殘差越大表示預(yù)測越不準(zhǔn)確 2 R2與原來學(xué)過的相關(guān)系數(shù)r有區(qū)別嗎 提示 它們都是刻畫兩個變量之間的的相關(guān)關(guān)系的 區(qū)別是R2表示解釋變量對預(yù)報變量變化的貢獻(xiàn)率 其表達(dá)式為R2 1 相關(guān)系數(shù)r是檢驗(yàn)兩個變量相關(guān)性的強(qiáng)弱程度 其表達(dá)式為 建立回歸模型的基本步驟 1 確定研究對象 明確哪個變量是解釋變量 哪個變量是預(yù)報變量 2 畫出確定好的解釋變量和預(yù)報變量的散點(diǎn)圖 觀察它們之間的關(guān)系 如是否存在線性關(guān)系等 3 由經(jīng)驗(yàn)確定回歸方程的類型 如我們觀察到數(shù)據(jù)呈線性關(guān)系 則選用線性回歸方程 4 按一定規(guī)則 如最小二乘法 估計回歸方程中的參數(shù) 5 得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常 如個別數(shù)據(jù)對應(yīng)殘差過大 或殘差呈現(xiàn)不隨機(jī)的規(guī)律性等 若存在異常 則檢查數(shù)據(jù)是否有誤 或模型是否合適等 為研究重量x 單位 克 對彈簧長度y 單位 厘米 的影響 對不同重量的6個物體進(jìn)行測量 數(shù)據(jù)如下表所示 1 作出散點(diǎn)圖并求線性回歸方程 2 求出R2 3 進(jìn)行殘差分析 作殘差分析時 一般從以下幾個方面予以說明 1 散點(diǎn)圖 2 相關(guān)指數(shù) 3 殘差圖中的異常點(diǎn)和樣本點(diǎn)的帶狀分布區(qū)域的寬窄 解答 1 散點(diǎn)圖如圖 3 由殘差表中的數(shù)值可以看出第3個樣本點(diǎn)的殘差比較大 需要確認(rèn)在采集這個數(shù)據(jù)的時候是否有人為的錯誤 如果有的話 需要糾正數(shù)據(jù) 重新建立回歸模型 由表中數(shù)據(jù)可以看出殘差點(diǎn)比較均勻地落在不超過0 15的狹窄的水平帶狀區(qū)域中 說明選用的線性回歸模型的精度較高 由以上分析可知 彈簧長度與拉力成線性關(guān)系 規(guī)律方法當(dāng)資料點(diǎn)較少時 也可以利用殘差表進(jìn)行殘差分析 注意計算數(shù)據(jù)要認(rèn)真細(xì)心 殘差分析要全面 1 判一判 正確的打 錯誤的打 1 殘差平方和越小 線性回歸方程擬合效果越好 2 在畫兩個變量的散點(diǎn)圖時 預(yù)報變量在x軸上 解釋變量在y軸上 3 R2越接近于1 線性回歸方程的擬合效果越好 2 做一做 請把正確的答案寫在橫線上 1 從散點(diǎn)圖上看 點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi) 兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系為 2 在殘差分析中 殘差圖的縱坐標(biāo)為 3 如果發(fā)現(xiàn)散點(diǎn)圖中所有的樣本點(diǎn)都在一條直線上 則殘差平方和等于 解釋變量和預(yù)報變量之間的相關(guān)系數(shù)R等于 正相關(guān) 殘差 0 1或 1 3 已知某種商品的價格x 元 與需求量y 件 之間的關(guān)系有如下一組數(shù)據(jù) 求y對x的回歸直線方程 并說明回歸模型擬合效果的好壞