第二節(jié)平面向量的基本定理及坐標表示總綱目錄教材研讀1.平面向量的基本定理考點突破2.平面向量的坐標運算3.平面向量共線的坐標表示考點二平面向量的坐標運算考點二平面向量的坐標運算考點一平面向量基本定理及其應(yīng)用考點三平面向量共線的坐標表示考點三平面向量共線的坐標表示教材研讀教材研讀1.平面向量的基本定理平面向量的基本定理如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a,有且只有有且只有一對實數(shù)1、2,使a=1e1+2e2.其中,不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底基底.2.平面向量的坐標運算平面向量的坐標運算(1)向量加法、減法、數(shù)乘及向量的模設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2)(b0),則a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),a=(x1,y1),|a|=.(2)向量坐標的求法(i)若向量的起點是坐標原點,則終點坐標即為向量的坐標.(ii)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則=(x2-x1,y2-y1),|=.2211xyABAB222121()()xxyy3.平面向量共線的坐標表示平面向量共線的坐標表示設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2)(b0),則abx1y2-x2y1=0.1.已知點A(1,3),B(4,-1),則與向量同方向的單位向量為()A.B.C.D.AB34,5543,553 4,5 54 3,5 5A答案答案AA(1,3),B(4,-1),=(3,-4),又|=5,與同向的單位向量為=.故選A.ABABAB|ABAB34,552.(2018北京海淀期中,3)已知向量a=(1,0),b=(-1,1),則()A.abB.abC.(a-b)bD.(a+b)aD答案答案Da+b=(0,1),又(a+b)a=0,(a+b)a,故選D.3.在平面直角坐標系xOy中,向量=(-1,2),=(2,m),若O,A,B三點能構(gòu)成三角形,則()A.m=-4B.m-4C.m1D.mROAOBB答案答案B因為O,A,B三點能構(gòu)成三角形,所以向量與不共線,所以,即m-4.OAOB2m214.設(shè)e1,e2是平面內(nèi)一組基底,若1e1+2e2=0,則1+2=0.答案答案0解析解析假設(shè)10,由1e1+2e2=0,得e1=-e2,e1與e2共線,這與e1,e2是平面內(nèi)一組基底矛盾,故1=0,同理,2=0,1+2=0.215.已知向量a=(1,1),點A(3,0),點B是直線y=2x上的一個動點,若a,則點B的坐標為(-3,-6).AB答案答案(-3,-6)解析解析設(shè)點B的坐標為(x,2x),則=(x-3,2x),ABa,(x-3)1-2x1=0,x=-3,故點B的坐標為(-3,-6).AB6.(2017北京朝陽期中)設(shè)平面向量a=(1,2),b=(-2,y),若ab,則y=-4.解析解析a=(1,2),b=(-2,y),ab,1y=2(-2),y=-4.答案答案-4考點一平面向量基本定理及其應(yīng)用考點一平面向量基本定理及其應(yīng)用考點突破考點突破典例典例1(1)已知e1,e2為平面上的單位向量,e1與e2的起點均為坐標原點O,e1與e2的夾角為,平面區(qū)域D由所有滿足=e1+e2的點P組成,其中那么平面區(qū)域D的面積為()A.B.C.D.(2)在ABC中,點P是AB上一點,且=+,Q是BC的中點,AQ與CP的交點為M,又=t,則實數(shù)t的值為.3OP1,0,0,1233234CP23CA13CBCMCP34D答案答案(1)D(2)34解析解析(1)如圖,設(shè)=e1,=e2,則=e1+e2=+,當+=1時,0,0表示點P在線段AB上,所以+1,0,0表示點P在正三角形OAB上或其內(nèi)部,故平面區(qū)域D的面積等于以1為邊長的正三角形的面積,即為.(2)因為=+,OAOBOPOAOB34CP23CA13CB所以3=2+,即2-2=-,所以2=,即P為AB的一個三等分點(靠近A點),又因為A,M,Q三點共線,設(shè)=,所以=-=-=-=+,CPCACBCPCACBCPAPPBAMAQCMAMACAQAC1122ABACAC2AB22AC又=t=t(-)=t=-t,故解得故t的值是.CMCPAPAC13ABAC3tABAC,232,2tt 3,41.2t34規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié)(1)用平面向量基本定理解決問題的一般思路是先選擇一組基底,并運用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式,再通過向量的運算來解決.(2)平面上A、B、C三點共線的充要條件:對于平面內(nèi)任意一點P,存在唯一的一對實數(shù)x,y,使=x+y,且x+y=1.PAPBPC1-1在ABC中,點D在BC邊上,且=2,=r+s,則r+s=()A.B.C.-3D.0CDDBCDABAC2343答案答案D由題意知=(-)=-,又=r+s,所以r=,s=-,所以r+s=0,故選D.CD23CB23ABAC23AB23ACCDABAC2323D1-2已知M為ABC所在平面內(nèi)的一點,且=+n.若點M在ABC的內(nèi)部(不含邊界),則實數(shù)n的取值范圍是.AM14ABAC解析解析根據(jù)平面向量基本定理可知,當n+=1時,M點在直線BC上,又點M在ABC的內(nèi)部(不含邊界),n0,且n+1,0n,n的取值范圍是.14143430,4答案答案30,430,4典例典例2(1)如圖,在等腰梯形ABCD中,AB=8,BC=4,CD=4.點P在線段AD上運動,則|+|的取值范圍是()A.6,4+4B.4,8C.4,8D.6,12PAPB323考點二平面向量的坐標運算考點二平面向量的坐標運算C(2)如圖,在正方形ABCD中,P為DC邊上的動點,設(shè)向量 = + ,則+的最大值為3.ACDBAP解析解析(1)以AB所在直線為x軸,AB的垂直平分線為y軸,AB的中點為坐標原點建立平面直角坐標系,則A(-4,0),B(4,0),C(2,2),D(-2,2).由題意可知向量與向量共線,設(shè)P(p,p+4)(-4p-2),則=(-4-p,-p-4),=(4-p,-p-4),|+|=4=4(-4p-2),|+|4,8,故選C.(2)以A為原點,AB、AD所在直線分別為x軸、y軸,建立平面直角坐標系,設(shè)正方形的邊長為2,則C(2,2),B(2,0),D(0,2),P(x,2),x0,2,=(2,2),=(2,-2),=(x,2),33APAD33PA33PB33PAPB2612pp2(3)3pPAPB3ACDBAP22,222,x2,24.2xxx答案答案(1)C(2)3+=,令f(x)=(0 x2),f(x)在0,2上單調(diào)遞減,f(x)max=f(0)=3,即+的最大值為3.62xx62xx方法技巧方法技巧平面向量坐標運算的技巧(1)利用向量加、減、數(shù)乘運算的法則來進行求解,若已知有向線段兩端點的坐標,則應(yīng)先求向量的坐標.(2)解題過程中,常利用“向量相等,則坐標相同”這一結(jié)論,由此可列方程(組)進行求解.2-1如圖,在66的網(wǎng)格中,若起點和終點均在格點的向量a,b,c滿足c=xa+yb(x,yR),則=.xy112答案答案112解析解析以小正方形的邊長為長度單位建立如圖所示的平面直角坐標系,則有a=(1,2),b=(2,-1),c=(3,4),又c=xa+yb,所以解得所以=.32 ,42,xyxy11,52,5xyxy1122-2如圖,在四邊形ABCD中,BAD=90,ADC=120,AD=DC=2,AB=4,動點M在BCD內(nèi)(含邊界)運動,設(shè)=+,則+的取值范圍是.AMABAD331,42解析解析以點A為原點,AB所在直線為x軸,AD所在直線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標系.由題意知B(4,0),D(0,2),C(,3),設(shè)M(x,y),則有34 ,2 ,xy,4.2xy答案答案331,42+=+,設(shè)目標函數(shù)z=+.由于點M在BCD內(nèi)(含邊界)運動,所以當目標直線經(jīng)過線段BD上任意一點時,z取最小值1;當目標直線經(jīng)過點C(,3)時,z取最大值+,即+的取值范圍為.2y4x2y33432331,424x典例典例3平面內(nèi)給定三個向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).(1)求滿足a=mb+nc的實數(shù)m,n;(2)若(a+kc)(2b-a),求實數(shù)k.考點三平面向量共線的坐標表示考點三平面向量共線的坐標表示解析解析(1)由題意得(3,2)=m(-1,2)+n(4,1),解得(2)a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),由題意得2(3+4k)-(-5)(2+k)=0,k=-.43,22,mnmn5,98.9mn1613規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié)1.向量共線的兩種表示形式若ab(b0),則a=b;x1y2-x2y1=0(a=(x1,y1),b=(x2,y2).至于使用哪種形式,應(yīng)視題目的具體條件而定,一般涉及坐標時應(yīng)用.2.與向量共線有關(guān)的題型(1)證三點共線;(2)已知兩向量共線,求相關(guān)參數(shù).解決第(1)種問題時,可先證明相關(guān)兩向量共線,再說明兩向量有公共點;解決第(2)種問題時,可先利用向量共線的充要條件列方程(組),再求解.3-1已知向量a=(1,0),b=(2,1),c=(x,1),若3a-b與c共線,則x的值為()A.1B.-3C.-2D.-1答案答案D3a-b=(1,-1),c=(x,1),又3a-b與c共線,(-1)x=11,即x=-1,故選D.D3-2已知向量=(k,12),=(4,5),=(-k,10),且A,B,C三點共線,則k的值是()A.-B.C.D.OAOBOC23431213答案答案A=-=(4-k,-7),=-=(-2k,-2).因為A,B,C三點共線,所以,共線,所以-2(4-k)=-7(-2k),解得k=-.ABOBOAACOCOAABAC23A