第三章不等式 3 2一元二次不等式及其解法 本節(jié)主要講解一元二次不等式的解法 利用網(wǎng)絡(luò)公司的收費(fèi)問(wèn)題引入新課 比較新穎 問(wèn)題探究一利用三個(gè)二次的關(guān)系講解一元二次不等式解法 表格演示直觀具體強(qiáng)調(diào)圖像和求根的重要性和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想 利用2個(gè)例題和1個(gè)變式加以鞏固 并總結(jié)解一元二次不等式的步驟問(wèn)題探究二借助一元二次不等式的解法研究分式不等式和高次不等式的解法 用2個(gè)例題和2個(gè)變式加以鞏固 問(wèn)題探究三是不等式的恒成立問(wèn)題 通過(guò)例5強(qiáng)調(diào)了借助圖象和討論參數(shù)兩個(gè)要點(diǎn) 并且例5是含參問(wèn)題 需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論 滲透分類討論的數(shù)學(xué)思想 恒成立問(wèn)題也是高考的一個(gè)熱點(diǎn) 兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)服務(wù)公司 InternetSericeProvider 的資費(fèi)標(biāo)準(zhǔn) 電信 每小時(shí)收費(fèi)1 5元網(wǎng)通 用戶上網(wǎng)的第一小時(shí)內(nèi)收費(fèi)1 7元 第二小時(shí)內(nèi)收費(fèi)1 6元 以后每小時(shí)減少0 1元 若用戶一次上網(wǎng)時(shí)間超過(guò)17小時(shí) 按17小時(shí)計(jì)算 一次上網(wǎng)在多長(zhǎng)時(shí)間以內(nèi)能夠保證選擇電信比選擇網(wǎng)通所需費(fèi)用少 分析 假設(shè)一次上網(wǎng)x小時(shí) 網(wǎng)通公司的收取費(fèi)用為 如果能夠保證選擇電信公司比選擇網(wǎng)通公司所需費(fèi)用少 則 整理得 則電信公司的收取費(fèi)用為1 5x 根據(jù)題意知 網(wǎng)通收費(fèi)1 7 1 6 1 5 1 4 這是什么 考察下面含未知數(shù)x的不等式 15x2 30 x 1 0和3x2 6x 1 0 這兩個(gè)不等式有兩個(gè)共同特點(diǎn) 1 含有一個(gè)未知數(shù)x 2 未知數(shù)的最高次數(shù)為2 一般地 含有一個(gè)未知數(shù) 且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整式不等式 叫做一元二次不等式 一元二次不等式f x 0 或f x 0 a 0 的解集 就是分別使二次函數(shù)f x 的函數(shù)值為正值或負(fù)值時(shí)自變量x的取值的集合 一元二次方程f x 0 a 0 的解集 就是使二次函數(shù)f x 為零時(shí)自變量x的取值的集合 因此二次函數(shù) 一元二次方程 一元二次不等式之間有非常密切的聯(lián)系 我們來(lái)考察它與其所對(duì)的二次函數(shù)的關(guān)系 1 當(dāng)或時(shí) 2 當(dāng)或時(shí) 3 當(dāng)時(shí) y 0 x軸上方 y 0 x軸下方 y 0 x軸上 5 一元二次不等式的解法 思考 那么一元二次不等式怎樣去求解呢 下結(jié)論 結(jié)合圖像知不等式的解集是 推廣 那么對(duì)于一般的不等式或又怎樣去尋求解集呢 一元二次不等式的解法 0 0 0 有兩相異實(shí)根x1 x2 x1 x2 有兩相等實(shí)根x1 x2 沒(méi)有實(shí)根 x xx2 x x1 x x2 R x x 求解一元二次不等式ax2 bx c 0 a 0 的程序框圖 是 否 是 否 解 1 因?yàn)?16 16 0 方程4x2 4x 1 0的解是x1 x2 1 2 故原不等式的解集為 x x 1 2 2 解不等式 x2 2x 3 0 解 整理 得x2 2x 3 0 因?yàn)?4 12 8 0 方程2x2 3x 2 0無(wú)實(shí)數(shù)根 所以原不等式的解集為 例1 1 解不等式4x2 4x 1 0 解 2 由于4x2 4x 1 2x 1 2 0 變式 解不等式 2x2 3x 5 0 解 整理 得2x2 3x 5 0 因?yàn)?9 40 49 0 方程2x2 3x 5 0的解是x1 2 5 x2 1 故原不等式的解集為 x 1 x 2 5 解一元二次不等式的步驟 化標(biāo)準(zhǔn) 將不等式化成標(biāo)準(zhǔn)形式 右邊為0 最高次的系數(shù)為正 考慮判別式 計(jì)算判別式的值 若值為正 則求出相應(yīng)方程的兩根 下結(jié)論 注意結(jié)果要寫(xiě)成集合或者區(qū)間的形式 例2 求函數(shù)的定義域 解 由函數(shù)f x 的解析式有意義得 即 解得 因此1 x 3 所求函數(shù)的定義域是 1 3 分式不等式和高次不等式解法 例3 C 或 例5 函數(shù)f x lg kx2 6kx k 8 的定義域?yàn)镽 求k的取值范圍 分析 令u kx2 6kx k 8 函數(shù)f x 的定義域?yàn)镽 對(duì)任意的x u kx2 6kx k 8的值恒大于0 函數(shù)u kx2 6kx k 8的圖象恒在x軸的上方 不等式恒成立的問(wèn)題 解 f x lg kx2 6kx k 8 的定義域?yàn)镽 即 6k 2 4k k 8 32k2 32k 0 0 k 1 k 0 當(dāng)k 0時(shí) f x lg8滿足條件 當(dāng)k 0時(shí) 只要 0 f x 的定義域?yàn)镽時(shí) k的取值范圍為0 k 1 例5 函數(shù)f x lg kx2 6kx k 8 的定義域?yàn)镽 求k的取值范圍 2 解一元二次不等式的步驟 3 解分式不等式和高次不等式的方法 4 解含有參數(shù)的不等式對(duì)參數(shù)的討論 5 不等式中的恒成立問(wèn)題 1 三個(gè)二次的關(guān)系 注意結(jié)合圖像